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1、3.4幂函数与二次函数最新考纲考情考向分析1.了解幂函数的概念，掌握幂函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象和性质2.了解幂函数的变化特征3.了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系会解一元二次不等式.以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.1幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如yx的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较函数yxyx2yx3yyx1图象性质定义域RRRx
2、|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R上单调递增在(，0上单调递减；在(0，)上单调递增在R上单调递增在0，)上单调递增在(，0)和(0，)上单调递减公共点(1,1)2.二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0且0.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)二次函数yax2bxc(a0)，xa，b的最值一定是.()(2)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()(3)函数y2是幂函数()(4)幂函数的图象一定经过点(1,1)和点
3、(0,0)()(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点()(6)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数()题组二教材改编2P79B组T1已知幂函数f(x)kx的图象过点，则k等于()A.B1C.D2答案C解析由幂函数的定义，知k1，.k.3P44A组T9已知函数f(x)x24ax在区间(，6)内单调递减，则a的取值范围是()Aa3Ba3Ca3Da3答案D解析函数f(x)x24ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x2a，由函数在区间(，6)内单调递减可知，区间(，6)应在直线x2a的左侧，2a6，解得a3，故选D.题组三易错自纠4幂函数f(x)(aZ)为偶函数，且f(x)在区间
4、(0，)上是减函数，则a等于()A3B4C5D6答案C解析因为a210a23(a5)22，f(x)(aZ)为偶函数，且在区间(0，)上是减函数，所以(a5)221，函数y2x26x3在1,1上单调递减，ymin2631.6设二次函数f(x)x2xa(a0)，若f(m)”“解析f(x)x2xa图象的对称轴为直线x，且f(1)0，f(0)0，而f(m)0，m(0,1)，m10.题型一幂函数的图象和性质1若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是()A(0，) B0，)C(，) D(，0)答案D解析设f(x)x，则2，2，即f(x)x2，它是偶函数，单调递增区间是(，0)故选D.2若四个幂函数yxa
5、，yxb，yxc，yxd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是()AdcbaBabcdCdcabDabdc答案B解析由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知abcd，故选B.3已知幂函数f(x)(n22n2)(nZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上是减函数，则n的值为()A3B1C2D1或2答案B解析由于f(x)为幂函数，所以n22n21，解得n1或n3，经检验只有n1符合题意，故选B.4若，则实数a的取值范围是_答案(，1)解析不等式32a0或32aa10或a1032a，解得a1或a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax2
6、bxc的图象开口向上，故可排除A；若a0，b0，从而0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.命题点2二次函数的单调性例3函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是递减的，则实数a的取值范围是()A3,0) B(，3C2,0 D3,0答案D解析当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足题意当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上单调递减，知解得3a0.综上，a的取值范围为3,0引申探究若函数f(x)ax2(a3)x1的单调减区间是1，)，则a_.答案3解析由题意知f(x)必为二次函数且a0时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a
7、；(3)当a0时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.综上可知，a的值为或3.引申探究将本例改为：求函数f(x)x22ax1在区间1,2上的最大值解f(x)(xa)21a2，f(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴为xa.(1)当a时，f(x)maxf(2)4a5，(2)当a即a时，f(x)maxf(1)22a，综上，f(x)max命题点4二次函数中的恒成立问题例5(1)已知二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1，若不等式f(x)2xm在区间1,1上恒成立，则实数m的取值范围为_答案(，1)解析设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)1，得c1，又f(x1)f(x)2x，得2axab2x，所以a1，b1，所以f(x)x2x1.f(x)2xm在区间1,1上恒成立，即x23x1m0在1,1上恒成立，令g(x)x23x1m2m，x1,1，g(x)在1,1上单调递减，所以g(x)ming(1)131m0，所以m1)，若在区间1,1上f(x)8恒成立，则a的最大值为_答案2解析令axt，因为a1，x1,1，所以ta，原函数化为g(t)t23t2，t，显然g(t)在上单调递增，所以f(x)8恒成立，即g(t)maxg(a)8恒成立，所以有a2
