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1、数学奥林匹克高中训练题（199）第一试一、填空题（每小题8分，共64分）1.三元函数的最小值为 2.设复数，其中，。当取到最小值时， 。3.设过原点的直线与函数的图像有且仅有三个交点，为交点横坐标中的最大者，则 。4.已知为空间直角坐标系内一定点，过作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于三点，则所有这样的四面体的体积V的最小值为 。5.设为满足的点构成的区域，则区域的面积为 （表示不超过实数的最大整数）。6.形如的函数图像类似于汉字“囧”，称其为“囧函数”，并把其与轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”。以囧点为圆心凡是与囧函数有公共点的圆，称为“囧圆”。当时，所有的囧圆中面积的最小值为 。7.已知
2、20块质量为整数克的砝码可称出1，1，2014克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量的最小值为 克。8.六名男生和名女生随机站成一排，每名男生均至少与另一名男生相邻，至少有四名男生站在一起的概率为，若则的最小值为 。二、解答题（共56分）9.（16分）已知.求的最小值。10.（20分）第一个月有一对大兔，每月繁殖出3只雄兔、2只雌兔，小雌兔隔月长大后也同样繁殖出3只雄兔、2只雌兔。问：第个月后共有多少只兔子？11.（20分）设为椭圆上任一点，为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆的另一个交点分别为。证明：为定值。加试一、（40分）如图1，凸四边形ABCD的对角线交于点M,P、Q分别为的重心，R、S分别为的垂心。证明：. 二、（40分）给定任正数和正整数。求最大下数，使得只要正数满足，则必有三、（50分）求方程的所有正整数解，其中，为奇素数，。四、（50分）给定正整数。从1，2，3n中任取m个数均必有四个两两不同的数，使。求m的最小值。
