同济大学_正交试验设计说明

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1、第二章 正交试验设计 同济大学 城市轨道与铁道工程系 参考教材 本章内容 n第一节 正交试验及正交表 n第二节 正交试验设计及极差分析 单 多指标 n第三节 正交试验设计及极差分析 交互 混合 n第四节 正交试验结果的方差分析 第一节 正交试验与正交表 一 基本概念 二 正交试验原理解析 三 正交表 四 正交试验设计基本步骤 1 正交试验设计的任务 以概率论与数理统计知识为理论基础 结合专业知识 和实践经验 经济的 科学的 合理地安排试验 有效地 控制试验干扰 力求用较少的人力 物力 财力和时间 最大限度地获得丰富而可靠的资料 充分利用和科学地分 析所获取的试验信息 从而达到能明确回答研究项目

2、所提 出的问题和尽快获得最优方案的目的 一 基本概念 2 试验指标 experimental index 在试验设计中 根据试验的目的而选定的用来衡量试 验结果好坏或处理效应高低的质量指标称为试验指标 由 于试验目的不同 选择的试验指标亦不相同 试验指标可分为定量指标和定性指标两类 能用数量 表示的指标称为定量指标或数量指标 不能用数量表示的 指标称为定性指标 试验指标只有一个时的试验成为单指标试验 否则成为 多指标试验 一 基本概念 3 试验因素 experimental factor 凡对试验指标可能产生影响的原因或要素都称为因素 或因子 因素分为不可控因素和不可控因素 可控因素 在 试验

3、中可以人为地加以调节和控制的因素 常用大写字母A B C 等表示 试验设计都是针对可控因素 当试验中考察的因素只有一个时 称为单因素试验 若同时研究两个或两个以上的因素对试验指标的影响时 则称为两因素或多因素试验 一 基本概念 4 因素水平 level of factor 试验因素所处的各种状态或数量等级称为因素水平 简称 水平 在试验设计中 1个因素选几个水平 就称该因素为几 水平因素 一 基本概念 5 正交试验设计 Orthogonal experimental design 正交试验设计是利用正交表来安排与分析多因素试验 的一种设计方法 它是由试验因素的全部水平组合中 挑 选部分有代表性

4、的水平组合进行试验的 通过对这部分试 验结果的分析了解全面试验的情况 找出最优的水平组合 正交试验设计的基本特点是 用代表性强部分试验来代替 全面试验 通过对部分试验结果的统计分析 了解全面试 验的情况 一 基本概念 6 正交表 Orthogonal table 正交表的构造需要用到组合数学和概率学知识 依据 正交原理构造的规范化表格 具有 均衡分散性 整齐可比 性 的特点 如果正交表类型不同 则构造方法差异很大 甚至有些正交表其构造方法到目前还未解决 20世纪上半叶 正交设计方法已经在数学界中提出 到40年代后期 日本统计学家田口玄一博士首次将正交设 计方法应用到日本的电话机试验上 首次制定

5、了正交表 一 基本概念 7 正交的含义 正交 意味着不同因素之间的均衡搭配 从而使计算 出来的各因素效应在统计上互相独立 广义的正交性指任意两列的每一种特征号码组合都出 现同样的次数 使试验点在试验范围内能均衡分散 也就 是使因素的不同水平组合在因素水平的变化范围内均衡分 散 一 基本概念 1 试验设计的分类 一般而言 试验设计方法分为 1 全面试验法 2 单因素轮换法 3 正交试验法 n 例 有一个三因素三水平试验 以符号A B C表示因素 以A1 A2 A3 B1 B2 B3 C1 C2 C3分别表示因素 A B C的三个水平 试比较三种方法的试验点 二 正交试验原理解析 2 全面实验法

6、内涵 将三因素三水平组合搭配而成的各种试验条件全 面进行试验而进行比较选优的方法 二 正交试验原理解析 2 全面实验法 试验次数 水平数因素个数 rm 33 27次 即立方体的27个交点 优点 全面剖析出事物内部规律性 缺点 试验次数太多 当水平较多 时试验量是惊人的 二 正交试验原理解析 A1 A2A3 B1 B2 B3 C2 C1 C3 B A C 3 单因素轮换法 n轮换方法 即B1C1 A3C1 A3B1 得到较优水平组合为A3B1C3 n试验次数 7次 n缺点 七个点完全分布在立方体的个别边 面上 在很大范围无试验 点 因此试验缺乏代表性 不能反映事物全貌 特别是因素间有交互 作用时

7、 更不易找到 最优方案 C3 C2 C1 B3 B2 B1 A3 A2 A1 A1 A2A3 B1 B2 B3 C2 C1 C3 B A C 二 正交试验原理解析 ABC 123 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 No 列号 因素 A1 A2A3 B1 B2 B3 C2 C1 C3 B A C 4 正交试验法 选用正交表L9 34 二 正交试验原理解析 1 A1B1C1 2 A2B1C2 3 A3B1C3 4 A1B2C2 5 A2B2C3 6 A3B2C1 7 A1B3C3 8 A2

8、B3C1 9 A3B3C2 ABC 123 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 No 列号 因素 5 正交表的特点 二 正交试验原理解析 1 正交表中任意一列中 不同的数字出现 的次数相等 表示 在试验安排中 所挑选出来的水平 组合是均匀分布的 每个因素的各水平出 现的次数相同 均衡分散性 2 正交表中任意两列 把同行的两个数字 看成有序数对时 所有可能的数对出现的 次数相同 表示 任意两因素的各种水平的搭配在所 选试验中出现的次数相等 整齐可比性 正交表L9 34 三 正交表 1 正交

9、表的分类 正 交 表 等水平正交表 混合水平正交表 各因数的水平数相同 各因数的水平数不 完全相同 三 正交表 2 等水平正交表 m为正交表的列数 最多能安排的因素个数 包括交互作用 误差等 n为正交表的行数 需要做的试验次数 L为正交表的代号 r为各因素的水平数 各因素的水平数相等 三 正交表 2 等水平正交表 表示各因素的水平 数为2 做8次试验 最多考虑7个因素 含交互作用 的 正交表 三 正交表 2 等水平正交表 n2水平的有L4 23 L8 27 L12 211 L16 215 等 这几张表中 数字2表示各因素是2水平的 试验要做的次数分别为4 8 12 16 最多可安排的因素分别为

10、3 7 11 15 n3水平的正交表有L9 34 L18 37 L27 313 这三张表中数字 3表示各因素是3水平的 试验要做的次数分别为9 18 27 最多可安排的因素分别为4 7 13 n4水平的正交表有L16 44 L32 49 L64 421 这三张表中数 字4表示各因素是4水平的 试验要做的次数分别为16 32 64 最多可安排的因素分别为4 9 21 三 正交表 3 混合水平正交表 该表表示需要做8次试验 最多考虑5个因素 其中1个是4水 平因素 4个2水平因素 三 正交表 3 混合水平正交表 n常见的混合水平正交表有 L12 31 24 L12 61 24 L16 41 212

11、 L16 42 29 L16 43 26 L16 44 23 等 四 正交试验设计基本步骤 对于多因素试验 正交试验设计是简单常用的一种试 验设计方法 其设计基本程序如图所示 正交试验设计的 基本程序包括试验方案设计及试验结果分析两部分 试验结果分析 试验目的与要求试验目的与要求 试验指标试验指标 选因素 定水平选因素 定水平 选正交表 表头设计 试验方案 试验 获得结果 验证试验 试 验 方 案 设 计 步 骤 四 正交试验设计基本步骤 四 正交试验设计基本步骤 1 明确试验目的 确定试验指标 试验设计前必须明确试验目的 即本次试验要解决 什么问题 试验目的确定后 对试验结果如何衡量 即 需

12、要确定出试验指标 试验指标可为定量指标 也可为 定性指标 一般为了便于试验结果的分析 定性指标可按相关 的标准打分或模糊数学处理进行数量化 将定性指标定 量化 四 正交试验设计基本步骤 2 选因素 定水平 根据专业知识 以往的研究结论和经验 从影响试验 指标的诸多因素中 选出主要因素作为试验因素 一般3 7个因素为宜 试验因素选定后 根据所掌握的信息资料和相关知识 确定每个因素的水平 一般以3 7个水平为宜 对主要 考察的试验因素 可以多取水平 各水平的数值应该适 当拉开 便于对试验结果的分析 四 正交试验设计基本步骤 3 选正交表 进行表头设计 正交表的选择原则是在能够安排下试验因素和交互作

13、用 的前提下 尽可能选用较小的正交表 以减少试验次数 一般情况下 试验因素的水平数应等于正交表中的水平数 因素个数 包括交互作用 应不大于正交表的列数 最低的 试验次数 行数 每列水平数一1 l 各因素及交互作用 的自由度之和要小于所选正交表的总自由度 以便估计试验误 差 表头设计就是把试验因素安排到所选正交表的列中 当试 验因素数等于正交表的列数时 优先将水平数变化困难的放在 第一列 水平变化容易的因素放在最后一列 当试验因素数小于 正交表的列数时 若不考虑交互作用 空列作为误差列 放在表 的中间或后面 四 正交试验设计基本步骤 4 编制试验方案 进行试验 得到结果编制试验方案 进行试验 得

14、到结果 把正交表中安排各因素的列 不包含欲考察的交互作用列 中的每个水平数字换成该因素的实际水平值 便形成了正交 试验方案 进行试验 得到试验试验指标形式表达的试验结果 5 对试验结果进行分析 主要有极差分析法和方差分析法 最终获得因素主次顺序 以及优方案等信息 6 验证试验 对优方案进行验证试验 进行试验 记录试验结果 试验结果极差分析试验结果极差分析 计计 算算 K K 值值 计计 算算 k k 值值 计计 算算 极极 差差 R R 绘制绘制 因素因素 指标指标 趋势趋势 图图 优水平优水平因素主次顺序因素主次顺序 优组合优组合 结结 论论 试试 验验 结结 果果 分分 析析 试验结果方差

15、分析 列方差分析表 进行F 检验 计算各列偏差平方 和 自由度 分析检验结果 写出结论 试验结果分析 试验目的与要求试验目的与要求 试验指标试验指标 选因素 定水平选因素 定水平 选正交表 表头设计 试验方案 试验 获得结果 验证试验 试 验 方 案 设 计 步 骤 正交试验设计基本步骤 进行试验 记录试验结果 试验结果极差分析试验结果极差分析 计计 算算 K K 值值 计计 算算 k k 值值 计计 算算 极极 差差 R R 绘制绘制 因素因素 指标指标 趋势趋势 图图 优水平优水平因素主次顺序因素主次顺序 优组合优组合 结结 论论 试试 验验 结结 果果 分分 析析 试验结果方差分析 列方

16、差分析表 进行F 检验 计算各列偏差平方 和 自由度 分析检验结果 写出结论 第二节 单指标 多指标正交 试验设计及极差分析 一 单指标正交试验设计及极差分析 二 多指标正交试验设计及综合平衡法 三 多指标正交试验设计及综合评分法 1 极差分析的任务 分清各因素及其交互作用的主次顺序 分清哪个是主要因素 哪个是 次要因素 判断因素对试验指标影响的显著程度 找出试验因素的优水平和试验范围内的最优组合 即试验因素各取什 么水平时 试验指标最好 分析因素与试验指标之间的关系 找出指标随因素变化的规律和趋势 为进一步试验指明方向 估计试验误差的大小或估计各因素之间的交互作用情况 一 单指标正交试验设计及极差分析 2 极差分析的基本方法 一 单指标正交试验设计及极差分析 K K jmjm k kjm jm 计算简便 直观 简单易懂 是正交试验结果分析最常用方法 以下说明极差分析过程 1 1 计算计算 2 2 判断判断 R R j j 因素主次因素主次 优水平优水平 优组合优组合 极差分析法 R法 K K jmjm为第 为第j j列因素列因素m m 水平所对应的试水平所对应的试 验指标和 验指标和