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1、第8讲函数的图象 考试要求1 点的坐标与函数图象的关系 A级要求 2 图象的平移 对称 伸缩变换及应用 B级要求 3 函数图象的应用 研究函数的性质 求解方程解的个数 不等式的解等 B级要求 知识梳理 1 利用描点法作函数的图象步骤 1 确定函数的定义域 2 化简函数解析式 3 讨论函数的性质 奇偶性 单调性 周期性 对称性等 4 列表 尤其注意特殊点 最大值点 最小值点 与坐标轴的交点等 描点 连线 2 利用图象变换法作函数的图象 1 平移变换 f x k f x f x f x logax 3 伸缩变换 f x f x 重要结论 若函数y f x 满足f a x f a x 即f x f
2、2a x 则f x 的图象关于直线x a对称 函数y f x 与y f 2a x 的图象关于直线x a对称 函数y f x 与y 2b f 2a x 的图象关于点 a b 对称 诊断自测 1 思考辨析 在括号内打 或 1 函数y f 1 x 的图象 可由y f x 的图象向左平移1个单位得到 2 函数y f x 的图象关于y轴对称即函数y f x 与y f x 的图象关于y轴对称 3 当x 0 时 函数y f x 的图象与y f x 的图象相同 4 若函数y f x 满足f 1 x f 1 x 则函数f x 的图象关于直线x 1对称 解析 1 y f x 的图象向左平移1个单位得到y f 1
3、x 故 1 错 2 两种说法有本质不同 前者为函数自身关于y轴对称 后者是两个函数关于y轴对称 故 2 错 3 令f x x 当x 0 时 y f x x y f x x 两函数图象不同 故 3 错 答案 1 2 3 4 2 教材改编 设M x 0 x 2 N y 0 y 2 给出如图四个图形 其中 能表示从集合M到集合N的函数关系的有 填序号 解析 中 因为在集合M中 当1 x 2时 在N中无元素与之对应 所以 不是函数 符合函数的定义 所以 是函数 中 x 2对应的元素y 3 N 所以 不是函数 中 当x 1时 在N中有两个元素与之对应 所以 不是函数 因此只有 是从集合M到集合N的函数
4、答案 3 2019 泰州一检 函数f x 的图象向右平移1个单位长度 所得图象与曲线y ex关于y轴对称 则f x 的解析式为 解析依题意 与曲线y ex关于y轴对称的曲线是y e x 于是f x 相当于y e x向左平移1个单位的结果 f x e x 1 e x 1 答案f x e x 1 4 2018 浙江卷改编 函数y 2 x sin2x的图象可能是 填序号 答案 5 若函数y f x 在x 2 2 的图象如图所示 则当x 2 2 时 f x f x 解析由于y f x 的图象关于原点对称 f x f x f x f x 0 答案0 考点一作函数的图象 例1 作出下列函数的图象 规律方法
5、画函数图象的一般方法 1 直接法 当函数解析式 或变形后的解析式 是熟悉的基本函数时 就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出 2 图象变换法 若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移 翻折 对称得到 可利用图象变换作出 并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 训练1 分别画出下列函数的图象 1 y lgx 2 y sin x 函数y lgx 的图象 如图 2 当x 0时 y sin x 与y sinx的图象完全相同 又y sin x 为偶函数 图象关于y轴对称 其图象如图 考点二函数图象的辨识 2 如图 长方形ABCD的边AB 2 BC 1 O是AB的中点 点P沿着边
6、BC CD与DA运动 记 BOP x 将动点P到A B两点距离之和表示为x的函数f x 则y f x 的图象大致为 填序号 答案 1 2 规律方法 1 抓住函数的性质 定性分析 从函数的定义域 判断图象的左右位置 从函数的值域 判断图象的上下位置 从函数的单调性 判断图象的变化趋势 从周期性 判断图象的循环往复 从函数的奇偶性 判断图象的对称性 2 抓住函数的特征 定量计算从函数的特征点 利用特征点 特殊值的计算分析解决问题 训练2 1 函数y 2x2 e x 在 2 2 的图象大致为 填序号 解析 1 f x 2x2 e x x 2 2 是偶函数 又f 2 8 e2 0 1 排除 设g x
7、2x2 ex x 0 则g x 4x ex 又g 0 0 g 2 0 g x 在 0 2 内至少存在一个极值点 f x 2x2 e x 在 0 2 内至少存在一个极值点 排除 故填 不正确 只有 满足 答案 1 2 考点三函数图象的应用角度1研究函数的性质 例3 1 1 已知函数f x x x 2x 则下列结论正确的是 填序号 f x 是偶函数 递增区间是 0 f x 是偶函数 递减区间是 1 f x 是奇函数 递减区间是 1 1 f x 是奇函数 递增区间是 0 2 2018 全国 卷改编 下列函数中 其图象与函数y lnx的图象关于直线x 1对称的是 填序号 y ln 1 x y ln 2
8、 x y ln 1 x y ln 2 x 画出函数f x 的图象 如图 观察图象可知 函数f x 的图象关于原点对称 故函数f x 为奇函数 且在 1 1 上单调递减 2 法一设所求函数图象上任一点的坐标为 x y 则其关于直线x 1的对称点的坐标为 2 x y 由对称性知点 2 x y 在函数f x lnx的图象上 所以y ln 2 x 故填 法二由题意知对称轴上的点 1 0 在函数y lnx的图象上也在所求函数的图象上 代入各函数表达式逐一检验 排除 填 答案 1 2 角度2解不等式 2 已知函数y f x 的图象是圆x2 y2 2上的两段弧 如图所示 则不等式f x f x 2x的解集是
9、 解析 1 作出函数f x 的图象如图所示 所以f x 是定义域为R的奇函数也是增函数 不等式f x2 2 f x 0 f x2 2 f x 即x2 2 x 解得 2 x 1 所以原不等式的解集为 2 1 角度3求参数的取值或范围 图 当0 a 1时 f x 的图象如图 所示 易知函数y f x b最多有一个零点 当a 1时 f x 的图象如图 所示 图 综上 a 0 1 图 答案 1 0 1 2 图 规律方法 1 利用函数的图象研究函数的性质 一定要注意其对应关系 如 图象的左右范围对应定义域 上下范围对应值域 上升 下降趋势对应单调性 对称性对应奇偶性 2 研究不等式的解 当不等式问题不能
10、用代数法求解 但其对应函数的图象可作出时 常将不等式问题转化为两函数图象的上 下关系问题 从而利用数形结合求解 训练3 1 设函数y f x 的图象与y 2x a的图象关于直线y x对称 且f 2 f 4 1 则a 解析 1 设 x y 是函数y f x 图象上任意一点 它关于直线y x的对称点为 y x 由y f x 的图象与y 2x a的图象关于直线y x对称 可知 y x 在y 2x a的图象上 即 x 2 y a 解得y log2 x a 所以f 2 f 4 log22 a log24 a 1 解得a 2 2 如图 当x m时 f x x 当x m时 f x x2 2mx 4m 在 m 为增函数 若存在实数b 使方程f x b有三个不同的根 则m2 2m m 4m0 m2 3m 0 解得m 3 3 函数g x f x x a存在2个零点 即关于x的方程f x x a有2个不同的实根 即函数f x 的图象与直线y x a有2个交点 作出直线y x a与函数f x 的图象 如图所示 由图可知 a 1 解得a 1 答案 1 2 2 3 3 1
