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1、微专题三 带电粒子在有界磁场 中运动的临界问题的解题技巧 2 带电粒子 质量m 电荷量q确定 在有界磁场中运动时 涉及的可 能变化的参量有入射点 入射速度大小 入射方向 出射点 出 射方向 磁感应强度大小 磁场方向等 其中磁感应强度大小与入 射速度大小影响的都是轨道半径的大小 可归并为同一因素 以 入 射速度大小 代表 磁场方向在一般问题中不改变 若改变 也只需 将已讨论情况按反方向偏转再分析一下即可 在具体问题中 这五个参量一般都是已知两个 剩下其他参量不 确定 但知道变化范围 或待定 按已知参量可将问题分为如下10类 并可归并为6大类型 3 4 所有这些问题 其通用解法是 第一步 找准轨迹
2、圆圆心可能的位 置 第二步 按一定顺序尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆 一般 至少画5个轨迹圆 第三步 根据所作的图和题设条件 找出临界轨 迹圆 从而抓住解题的关键点 类型一 5 已知入射点和入射速度方向 但入射速度大小不确定 即轨道半径 不确定 这类问题的特点是 所有轨迹圆圆心均在过入射点 垂直入射速 度的同一条直线上 类型一 6 例1 如图所示 长为L的水平极板间有垂直于纸面向内的匀强 磁场 磁感应强度为B 板间距离也为L 极板不带电 现有质量为m 电荷量为q的带正电粒子 不计重力 从左边极板间中点处垂直磁 感线以速度v水平射入磁场 欲使粒子不打在极板上 可采用的办法 是 类型一 7 分析
3、 粒子初速度方向已知 故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心 均在垂直初速度的直线上 如图甲 在该直线上取不同点为圆心 半 径由小取到大 作出一系列圆 如图乙 其中轨迹圆 和 为临界轨 迹圆 轨道半径小于轨迹圆 或大于轨迹圆 的粒子 均可射出磁 场而不打在极板上 答案 AB 类型一 8 解析 粒子擦着上板从右边穿出时 圆心在O点 类型一 9 易错提醒容易漏选A 错在没有将r先取较小值再连续增大 从而 未分析出粒子还可以从磁场左边界穿出的情况 类型一 10 练1 如图所示 在平面直角坐标系xOy内 第一象限的射线OP与 x轴夹角为30 在 POx范围之外存在垂直xOy面向里的匀强磁场 磁感应强度为B 一
4、质量为m 带电荷量为q的带正电粒子从O点 以沿y轴负方向的速度v运动 1 粒子离开O点后 求第三次经过磁场边界时的位置坐标 2 求粒子在磁场中运动的总时间 类型一 11 类型一 12 类型二 13 已知入射点和入射速度大小 即轨道半径大小 但入射速度方向不 确定 这类问题的特点是 所有轨迹圆的圆心均在一个 圆心圆 上 所谓 圆心圆 是指以入射点为圆心 以r 为半径的圆 类型二 14 例2 如图所示 在0 x a 0 y 范围内有垂直于xOy平 面向外的匀强磁场 磁感应强度大小为B 坐标原点O处有一个粒 子源 在某时刻发射大量质量为m 电荷量为q的带正电粒子 它们 的速度大小相同 速度方向均在x
5、Oy平面内 与y轴正方向的夹角分 布在0 90 范围内 己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于 到a之间 从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子 在磁场中做圆周运动周期的四分之一 求最后离开磁场的粒子从 粒子源射出时的 不计重力及粒子间的相互作用 1 速度的大小 2 速度方向与y轴正方向夹角的正弦 类型二 15 分析 本题给定的情形是粒子轨道半径r大小确定但初速度方向 不确定 所有粒子的轨迹圆都要经过入射点O 入射点O到任一圆心 的距离均为r 故所有轨迹圆的圆心均在一个 圆心圆 以入射 点O为圆心 r为半径的圆周上 如图甲 考虑到粒子是向右偏转 我们从最左边的轨迹圆画起 取 圆心圆 上
6、不同点为圆心 r为 半径作出一系列圆 如图乙所示 其中 轨迹 对应弦长大于轨迹 对应弦长 半径一定 圆心角都较小时 均小于180 弦长越 长 圆心角越大 粒子在磁场中运动时间越长 故轨迹 对应圆 心角应为90 类型二 16 类型二 17 解析 设粒子的发射速度为v 粒子做圆周运动的轨道半径为R 类型二 18 易错提醒由于作图不仔细而把握不住 轨迹 对应弦长大于轨迹 对应弦长 半径一定 圆心角都较小时 均小于180 弦长越 长 圆心角越大 粒子在磁场中运动时间越长 从而误认为轨迹 对 应粒子在磁场中运动时间最长 这类题作图要讲一个小技巧 按粒子偏转方向移动圆心作图 类型二 19 练2 如图所示
7、圆形区域内有垂直纸面 磁感应强度为B的匀 强磁场 A为磁场边界上的一点 大量完全相同的带电粒子平行纸面 向各个方向以相同的速度大小v通过A点进入磁场 最后这些粒子全 部从右侧圆弧AC上射出磁场区域 有粒子从C点射出 AC圆弧的 弧长是圆周长的 不计粒子之间的相互作用 粒子的质量为m 电 荷量为q 1 求圆形磁场区域的半径R 2 求粒子在磁场中运动轨迹的最大长度 3 若只把磁场撤去 在圆形区域内加电场强度大小为E的平行于 纸面的匀强电场 从圆弧射出电场的粒子中 C点射出的粒子动能最 大 求最大动能Ek 类型二 20 类型二 21 类型三 22 已知入射点和出射点 但未知初速度大小 即未知半径大小
8、 和方向 这类问题的特点是 所有轨迹圆圆心均在入射点和出射点连线的 中垂线上 类型三 23 例3 如图所示 无重力空间中有一恒定的匀强磁场 磁感应强 度的方向垂直于xOy平面向外 大小为B 沿x轴放置一个垂直于xOy 平面的较大的荧光屏 P点位于荧光屏上 在y轴上的A点放置一放射 源 可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度放射出质量 为m 电荷量为 q的同种粒子 这些粒子打到荧光屏上能在屏上形 成一条亮线 P点处在亮线上 已知OA OP l 求 1 若能打到P点 则粒子速度的最小值为多少 2 若能打到P点 则粒子在磁场中运动的最长时间为多少 类型三 24 分析 粒子既经过A点又经过P点
9、因此AP连线为粒子轨迹圆的一 条弦 圆心必在该弦的中垂线OM上 如图甲 在OM上取不同点为 圆心 以圆心和A点连线长度为半径由小到大作出一系列圆 如图 乙 其中轨迹 对应半径最小 而轨迹 对应粒子是轨道半径最大 的 由图可知其对应圆心角也最大 类型三 25 解析 1 粒子在磁场中运动 洛伦兹力提供向心力 设粒子的速度 大小为v时 其在磁场中的运动半径为R 则由牛顿第二定律有 qBv m 若粒子以最小的速度到达P点时 其轨迹一定是以AP为直径的圆 如图中圆O1所示 类型三 26 类型三 27 练3 人类研究磁场的目的之一是通过磁场控制带电粒子的运 动 如图所示是通过磁场控制带电粒子运动的一种模型
10、 在 0 x d和d x0 的粒子 其速率有两种 分别为 不考虑粒 子的重力 粒子之间的相互作用 类型三 28 1 求两种速率的粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中做圆周运 动的半径大小R1和R2 2 求两种速率的粒子从x 2d的边界射出时 两射出点的距离 y 的大小 3 在x 2d的区域添加另一匀强磁场 使得从x 2d边界射出的两 束粒子最终汇聚成一束 并平行y轴正方向运动 在图中用实线画 出粒子的大致运动轨迹 无需通过计算说明 用虚线画出所添加磁 场的边界线 类型三 29 类型三 30 3 匀强磁场区域边界为直线 磁场方向向里 如图所示 类型四 31 已知初 末速度的方向 所在直线 但未知初速
11、度大小 即未知轨道 半径大小 这类问题的特点是 所有轨迹圆的圆心均在初 末速度延长线形 成的角的角平分线上 类型四 32 例4 在xOy平面上的某圆形区域内 存在一垂直纸面向里的匀 强磁场 磁感应强度大小为B 一个质量为m 电荷量为 q的带电 粒子 由原点O开始沿x轴正方向运动 进入该磁场区域后又射出该 磁场 后来 粒子经过y轴上的P点 此时速度方向与y轴的夹角为 30 如图所示 已知P到O的距离为L 不计重力的影响 1 若磁场区域的大小可根据需要而改变 试求粒子速度的最大可 能值 2 若粒子速度大小为v 试求该圆形磁场区域的最小面积 类型四 33 分析 初 末速度所在直线必定与粒子的轨迹圆相
12、切 轨迹圆圆 心到两条直线的距离 即轨道半径 相等 因此 圆心必位于初 末速 度延长线形成的角的角平分线QC上 如图甲 在角平分线QC上取 不同的点为圆心 由小到大作出一系列轨迹圆 如图乙 其中以C点 为圆心的轨迹 是可能的轨迹圆中半径最大的 其对应的粒子速度 也最大 甲 乙 类型四 34 解析 过P点作末速度所在直线 交x轴于Q点 经分析可知 粒子在 磁场中做圆周运动的轨迹的圆心必在 OQP的角平分线QC上 如 图甲所示 设粒子在磁场中作匀速圆周运动的轨道半径为r 则由 牛顿第二定律 由此可知粒子速度越大 其轨道半径越大 由图乙可知 速度最大 的粒子在磁场中运动轨迹的圆心是y轴上的C点 1
13、如图丙所示 速度最大时粒子的轨迹圆过O点 且与PQ相切于 A点 类型四 35 丙 丁 类型四 36 类型四 37 练4 如图所示 xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场 一 个质量为m 电荷量为 q的粒子从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向 开始运动 当它经过图中虚线上的M 2 a a 点时 撤去电场 粒子 继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域 图中未画出 又 从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点 已知 磁场方向垂直xOy平面 纸面 向里 磁感应强度大小为B 不计粒子的 重力 试求 1 电场强度的大小 2 N点的坐标 3 矩形磁场的最小面积 类型四 38 分析 粒子在电场
14、中偏转后进入MN右侧 初速度方向已知 另 一方面 粒子末速度由N指向M 初速度 末速度所在直线交于点 M 过M点作 NMP角平分线MO 粒子轨迹圆的圆心必在直线MO 上 取其上一点O 为圆心作出轨迹圆 如图所示 类型四 39 解析 1 粒子从O到M做类平抛运动 设时间为t 粒子从P点进入磁场 从N点离开磁场 粒子在磁场中以O 点为圆 心做匀速圆周运动 设半径为R 类型四 40 3 当矩形磁场为图示虚线矩形时的面积最小 则矩形的两个边 长分别为 类型五 41 已知初速度的大小 即已知轨道半径大小 和方向 但入射点不确定 这类问题的特点是 所有轨迹圆的圆心均在将入射点组成的边界 沿垂直入射速度方向
15、平移一个半径距离的曲线上 类型五 42 例5 如图所示 长方形abcd的长ad 0 6 m 宽ab 0 3 m O e分 别是ad bc的中点 以e为圆心 eb为半径的圆弧和以O为圆心 Od为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场 eb边 界上无磁场 磁感应强度B 0 25 T 一群不计重力 质量m 3 10 7 kg 电荷量q 2 10 3 C的带正电粒子以速度v 5 102 m s沿垂直 ad方向且垂直于磁场方向射入磁场区域 则下列判断正确的是 A 从Od边射入的粒子 出射点全部分布在Oa边 B 从aO边射入的粒子 出射点全部分布在ab边 C 从Od边射入的粒子 出射点分布在ab边
16、 D 从ad边射人的粒子 出射点全部通过b点 答案 D 类型五 43 的轨迹 圆心在O点 为从O点射入粒子的轨迹 圆心在a点 为 从a点射入粒子的轨迹 从d O之间入射粒子在磁场中转过 圆周 后沿eb边界做直线运动最终汇聚于b点 从O a之间入射粒子先做 直线运动再进入磁场做圆周运动 由作图易知这些粒子也汇聚于b 点 类型五 44 类型五 45 练5 如图所示 在xOy平面内有一半径为R 与x轴相切于原点的 圆形区域 该区域内有垂直于xOy平面的匀强磁场 在圆的左边 0 y0 和初速度v 的带电微粒沿x轴正方向射向该区域 其中沿半径AO 方向进入磁场 区域的带电微粒经磁场偏转后 从坐标原点O沿y轴负方向离开 不计重力及粒子间的相互作用 1 求磁感应强度B的大小和方向 2 请指出这束带电微粒与x轴相交的区域 并说明理由 类型五 46 类型六 47 已知初速度方向 所在直线 和出射点 但入射点不确定 这类问题的特点是 所有轨迹圆的圆心均在 以初速度所在直线 为准线 出射点为焦点的抛物线 上 类型六 48 例6 如图所示 现有一质量为m 电荷量为e的电子从y轴上的 P 0 a 点以初速度v0
