《数学新学案同步苏教必修二课件：第2章 平面解析几何初步2.2.2 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新学案同步苏教必修二课件：第2章 平面解析几何初步2.2.2 .pptx（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 2 2直线与圆的位置关系 第2章2 2圆与方程 学习目标1 掌握直线与圆的三种位置关系 相交 相切 相离 2 会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系 3 会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点直线与圆的三种位置关系及判定 思考用代数法如何根据方程判定直线与圆的位置关系 答案联立直线与圆的方程 根据方程组解的个数判定直线与圆的位置关系 当方程组无解时 相离 当方程组有一解时 相切 当方程组有两解时 相交 梳理 无解 只有一解 思考辨析判断正误 1 若直线与圆有公共点 则直线与圆相交 2 如果直线与圆组成的方程组有解 则直线和圆
2、相交或相切 3 若圆心到直线的距离大于半径 则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解 题型探究 例1求实数m的取值范围 使直线x my 3 0与圆x2 y2 6x 5 0分别满足 相交 相切 相离 类型一直线与圆的位置关系的判断 解圆的方程化为标准形式为 x 3 2 y2 4 解答 反思与感悟直线与圆的位置关系的判断方法 1 几何法 由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断 2 代数法 根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断 3 直线系法 若直线恒过定点 可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系 但有一定的局限性 必须是过定点的直线系 跟踪训练1过点P 1
3、的直线l与圆x2 y2 1有公共点 则直线l的倾斜角 的取值范围是 0 60 答案 解析 解析由题意知 直线l的斜率必存在 类型二切线问题 例2过点A 4 3 作圆 x 3 2 y 1 2 1的切线 求此切线方程 解答 解因为 4 3 2 3 1 2 17 1 所以点A在圆外 若所求直线的斜率存在 设切线斜率为k 则切线方程为y 3 k x 4 即kx y 4k 3 0 设圆心为C 因为圆心C 3 1 到切线的距离等于半径1 即15x 8y 36 0 若直线斜率不存在 圆心C 3 1 到直线x 4的距离为1 这时直线x 4与圆相切 所以另一条切线方程为x 4 综上 所求切线方程为15x 8y
4、36 0或x 4 引申探究若本例的条件不变 求其切线长 解答 解因为圆心C的坐标为 3 1 设切点为B 则 ABC为直角三角形 又BC r 1 所以切线长为4 反思与感悟求过某一点的圆的切线方程 首先判定点与圆的位置关系 以确定切线的数目 1 求过圆上一点P x0 y0 的圆的切线方程 如果斜率存在且不为0 先求切点与圆心连线的斜率k 则由垂直关系知 切线斜率为 由点斜式方程可求得切线方程 如果k 0或斜率不存在 则由图形可直接得切线方程为y y0或x x0 2 求过圆外一点P x0 y0 的圆的切线时 常用几何方法求解 设切线方程为y y0 k x x0 即kx y kx0 y0 0 由圆心
5、到直线的距离等于半径 可求得k 进而切线方程即可求出 但要注意 若求出的k值只有一个时 则另一条切线的斜率一定不存在 可由数形结合求出 跟踪训练2若点P 1 2 在以坐标原点为圆心的圆上 则该圆在点P处的切线方程为 x 2y 5 0 解析点P 1 2 在以坐标原点为圆心的圆上 可得此圆的方程为x2 y2 5 所以该圆在点P处的切线方程为1 x 2 y 5 即x 2y 5 0 答案 解析 例3 1 过圆x2 y2 8内的点P 1 2 作直线l交圆于A B两点 若直线l的倾斜角为135 则弦AB的长为 类型三弦长问题 答案 解析 解析方法一 交点法 由题意知 直线l的方程为y 2 x 1 即x y
6、 1 0 方法二 弦长公式 由题意知 直线l的方程为y 2 x 1 即x y 1 0 消去y 得2x2 2x 7 0 方法三 几何法 由题意知直线l的方程为y 2 x 1 即x y 1 0 2 圆心为C 2 1 截直线y x 1所得的弦长为2的圆的方程为 答案 解析 x 2 2 y 1 2 4 解析设圆的半径为r 由条件得 r2 2 2 4 得r 2 所求圆的方程为 x 2 2 y 1 2 4 3 直线l经过点P 5 5 且和圆C x2 y2 25相交于A B两点 截得的弦长为4 求直线l的方程 解答 解方法一若直线l的斜率不存在 则l x 5与圆C相切 不合题意 直线l的斜率存在 设其方程为
7、y 5 k x 5 即kx y 5 1 k 0 如图所示 OH是圆心到直线l的距离 OA是圆的半径 AH是弦长AB的一半 在Rt AHO中 OA 5 直线l的方程为x 2y 5 0或2x y 5 0 方法二若直线l的斜率不存在 则l x 5与圆C相切 不合题意 直线l的斜率存在 设直线l的方程为y 5 k x 5 且与圆相交于A x1 y1 B x2 y2 两点 得 k2 1 x2 10k 1 k x 25k k 2 0 10k 1 k 2 4 k2 1 25k k 2 0 解得k 0 由斜率公式 得y1 y2 k x1 x2 两边平方 整理得2k2 5k 2 0 直线l的方程为x 2y 5
8、0或2x y 5 0 反思与感悟求直线与圆相交时的弦长有三种方法 1 交点法 将直线方程与圆的方程联立 求出交点A B的坐标 根据两点间的距离公式AB 求解 2 弦长公式 如图所示 将直线方程与圆的方程联立 设直线与圆的两交点分别是A x1 y1 B x2 y2 通常采用几何法较为简便 跟踪训练3已知直线l kx y k 2 0与圆C x2 y2 8 1 证明 直线l与圆相交 证明 证明 l kx y k 2 0 直线l可化为y 2 k x 1 直线l经过定点 1 2 又 1 2 22 8 1 2 在圆C内 直线l与圆相交 2 当直线l被圆截得的弦长最短时 求直线l的方程 并求出弦长 解答 解
9、由 1 知 直线l过定点P 1 2 又圆C x2 y2 8的圆心为原点O 与OP垂直的直线截得的弦长最短 达标检测 答案 解析 1 直线3x 4y 12 0与圆 x 1 2 y 1 2 9的位置关系是 1 2 3 4 5 相交 直线与圆相交 答案 解析 2 若直线3x 4y m 0与圆x2 y2 2x 4y 4 0没有公共点 则实数m的取值范围是 1 2 3 4 5 0 10 解析将圆x2 y2 2x 4y 4 0化为标准方程为 x 1 2 y 2 2 1 则圆心坐标为 1 2 半径为1 若直线与圆没有公共点 则圆心到直线的距离大于半径 答案 解析 解析依题意可设所求切线方程为2x y c 0
10、 1 2 3 4 5 解得c 5 故所求切线的直线方程为2x y 5 0和2x y 5 0 3 平行于直线2x y 1 0且与圆x2 y2 5相切的直线方程为 和2x y 5 0 2x y 5 0 答案 解析 4 设A B为直线y x与圆x2 y2 1的两个交点 则AB 2 1 2 3 4 5 解析由直线y x过圆x2 y2 1的圆心C 0 0 得AB 2 1 2 3 4 5 5 直线y kx 3与圆 x 1 2 y 2 2 4相交于M N两点 且MN 2 则k的取值范围是 0 答案 解析 1 直线与圆位置关系的两种判断方法比较 1 若直线和圆的方程已知 或圆心到直线的距离易表达 则用几何法较
11、为简单 2 若直线或圆的方程中含有参数 且圆心到直线的距离较复杂 则用代数法较简单 2 过一点的圆的切线方程的求法 1 当点在圆上时 当切线的斜率存在且不为0时 由圆心与该点的连线与切线垂直 从而求得切线的斜率 用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程 如果切线斜率存在或为0 则切线方程可直接写出 规律与方法 2 若点在圆外时 过该点的切线将有两条 但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条 这是因为有一条过该点的切线的斜率不存在 3 与圆相关的弦长问题的两种解决方法 1 由于半径长r 弦心距d 弦长l的一半构成直角三角形 利用勾股定理可求出弦长 这是常用解法 2 联立直线与圆的方程 消元得到关于x 或y 的一元二次方程 利用根与系数的关系 得到两交点的横坐标 或纵坐标 之间的关系 代入两点间的距离公式求解 此法是通法
