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1、第一章 计数原理 1 2 2组合 二 学习目标 1 理解组合的两个性质 并能解决简单组合数问题 2 能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 1 满足什么条件的两个组合是相同的组合 答如果两个组合中的元素完全相同 不管它们的顺序如何 就是相同的组合 否则就是两个不相同的组合 即使只有一个元素不同 2 组合数公式的两种形式在应用中如何选择 预习导引 1 组合的有关概念从n个不同元素中 任意 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 取出m m n 个元素并成一组 组合数 用符号表示 其公式
2、为 n m N m n 特别地 3 组合应用题的解法 1 无限制条件的组合应用题的解法步骤为 一 判断 二 转化 三 求值 四 作答 2 有限制条件的组合应用题的解法常用解法有 直接法 间接法 可将条件视为特殊元素或特殊位置 一般地按从不同位置选取元素的顺序分步 或按从同一位置选取的元素个数的多少分类 要点一组合数的两个性质例1计算下列各式的值 161700 规律方法第一个性质常用于m 时组合数的计算 该性质可较大幅度地减少运算量 第二个性质常用于恒等式变形和证明等式 要点二分组 分配问题例26本不同的书 按下列要求各有多少种不同的选法 1 分给甲 乙 丙三人 每人两本 2 分为三份 每份两本
3、 第一步分为三份 每份两本 设有x种方法 因此分为三份 每份两本一共有15种方法 3 分为三份 一份一本 一份两本 一份三本 4 分给甲 乙 丙三人 一人一本 一人两本 一人三本 5 分给甲 乙 丙三人 每人至少一本 所以一共有90 360 90 540种方法 规律方法 分组 与 分配 问题的解法 1 分组问题属于 组合 问题 常见的分组问题有三种 完全均匀分组 每组的元素个数均相等 部分均匀分组 应注意不要重复 有n组均匀 最后必须除以n 完全非均匀分组 这种分组不考虑重复现象 2 分配问题属于 排列 问题 分配问题可以按要求逐个分配 也可以分组后再分配 跟踪演练2有4个不同的球 4个不同的
4、盒子 把球全部放入盒内 1 共有多少种放法 解一个球一个球地放到盒子里去 每个球都可有4种独立的放法 由分步乘法计数原理知 放法共有44 256 种 2 恰有1个盒内不放球 有多少种放法 解为保证 恰有1个盒子不放球 先从4个盒子中任意拿去1个 即将4个球分成2 1 1的三组 有C种分法 然后再从3个盒子中选1个放2个球 其余2个球 2个盒子 全排列即可 由分步乘法计数原理知 共有放法 144 种 3 恰有1个盒内放2个球 有多少种放法 解 恰有1个盒内放2个球 即另外的3个盒子放剩下的2个球 而每个盒子至多放1个球 即另外3个盒子中恰有1个空盒 因此 恰有1个盒子放2个球 与 恰有1个盒子不
5、放球 是一回事 故也有144种放法 4 恰有2个盒内不放球 有多少种放法 解先从4个盒子中任意拿走2个 有C种拿法 问题转化为 4个球 2个盒子 每盒必放球 有几种放法 从放球数目看 可分为 3 1 2 2 两类 第1类 可从4个球中先选3个 然后放入指定的一个盒子中即可 有种放法 由分步乘法计数原理得 恰有2个盒子不放球 的放法有C 14 84 种 要点三与几何图形有关的组合问题例3已知平面 平面 在 内有4个点不共线 在 内有6个点不共线 1 过这10个点中的3点作一平面 最多可作多少个不同平面 解所作出的平面有三类 所以最多可作98个不同的平面 2 以这些点为顶点 最多可作多少个三棱锥
6、解所作的三棱锥有三类 所以最多可构成194个三棱锥 3 上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积 解 当等底面积 等高的情况下三棱锥体积才能相等 所以最多有114个体积不同的三棱锥 规律方法解决与几何图形有关的问题时 要善于利用几何图形的性质和特征 充分挖掘图形的隐含条件 转化为有限制条件的组合问题 跟踪演练3在 MON的边OM上有5个异于点O的点 在边ON上有4个异于点O的点 以这10个点 含O 为顶点 可以得到多少个三角形 解方法一 直接法 分几种情况考虑 O为顶点的三角形中 必须另外两个顶点分别在OM ON上 方法二也可以这样考虑 把O看成是OM边上的点 先从OM上的6个点 含O 中取两点
7、 ON上的4点 不含O 中取一点 再从OM上的5点 不含O 中取一点 从ON上的4点 不含O 中取两点 方法三 间接法 先不考虑共线点的问题 但从OM上的6个点 含O 中任取三点不能得到三角形 从ON上的5个点 含O 中任取3点也不能得到三角形 要点四排列 组合的综合应用例4有5个男生和3个女生 从中选出5人担任5门不同学科的课代表 求分别符合下列条件的选法数 1 有女生但人数必须少于男生 解先选后排 先取可以是2女3男 也可以是1女4男 2 某女生一定担任语文课代表 3 某男生必须包括在内 但不担任数学课代表 4 某女生一定要担任语文课代表 某男生必须担任课代表 但不担任数学课代表 规律方法
8、解决有关排列与组合的综合应用问题尤其应注意两点 1 审清题意 区分哪是排列 哪是组合 2 往往综合问题会有多个限制条件 应认真分析确定分类还是分步 跟踪演练4有五张卡片 它们的正 反面分别写着0与1 2与3 4与5 6与7 8与9 将其中任意三张并排放在一起组成三位数 共可组成多少个不同的三位数 解方法一从0和1这个特殊情况考虑 可分三类 又除含0的那张外 其他两张都有正面或反面两种可能 1 2 3 4 2x 6或2x 6 18 x 3或6 3或6 1 2 3 4 165 1 2 3 4 3 某学校开设A类选修课3门 B类选修课4门 一位同学从中共选3门 若要求两类课程中各至少选一门 则不同的选法共有 种 用数字作答 解析分两类 A类选修课2门 B类选修课1门 或者A类选修课1门 B类选修课2门 30 4 正六边形顶点和中心共7个点 可组成 个三角形 解析不共线的三个点可组成一个三角形 7个点中共线的是 正六边形过中心的3条对角线 即共有3种情况 1 2 3 4 32 课堂小结1 应用组合知识解决实际问题的四个过程 2 注意结合知识背景理解 有序 无序 是排列问题还是组合问题 问法的细微变化就可能导致问题性质的变化 解题时要注意审题
