《高考数学（理）创新大一轮江苏专课件：第六章 数列 第34讲 .ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（理）创新大一轮江苏专课件：第六章 数列 第34讲 .ppt（37页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第34讲讲 等比数列 考试要求 1 等比数列的概念 B级要求 2 等比数列的通项公式及前n项和公式 C 级要求 3 根据具体的问题情境中的等比关系解决相应的问题 B级要求 4 等比 数列与指数函数的关系 A级要求 1 思考辨析 在括号内打 或 1 满足an 1 qan n N q为常数 的数列 an 为等比数列 2 G为a b的等比中项 G2 ab 3 如果数列 an 为等比数列 bn a2n 1 a2n 则数列 bn 也是等比数列 4 如果数列 an 为等比数列 则数列 ln an 是等差数列 诊诊 断 自 测测 解析 1 若an 0则不成立 2 若G a b都为0 则G不为a b的等比中项
2、 3 若数列 an 为1 1 1 1 时 bn 不为等比数列 4 若an 2n 则ln an无意义 答案 1 2 3 4 2 必修5P49习题1改编 已知数列 an 为正项等比数列 a2 9 a4 4 则数列 an 的 通项公式an 3 2018 苏北四市模拟 已知等比数列 an 的前n项和为Sn 若S2 2a2 3 S3 2a3 3 则公比q的值为 解析 S2 2a2 3 S3 2a3 3 a1 a1q 3 a1 1 q a1q2 3 q2 2q 0 q 0 则公比q 2 答案 2 4 必修5P61习题3改编 若等比数列的通项公式为an 4 31 n 则数列 an 是 数列 填 递增 或 递
3、减 答案 递减 5 必修5P67习题3改编 设 an 是等比数列 给出下列四个命题 解析 是等差数列 答案 1 等比数列的定义 一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的比都等于 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 通 常用字母 表示 q 0 知 识识 梳 理 同一个常数 公比 q 2 等比数列的通项公式 设等比数列 an 的首项为a1 公比为q 则它的通项an 3 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G 使a G b成等比数列 那么G叫做a与b的 a1 qn 1 等比中项 4 等比数列 an 的单调性 5 等比数列的常用性质 qn m ak al am an 6 等比
4、数列的前n项和公式 7 等比数列前n项和的性质 公比不为 1的等比数列 an 的前n项和为Sn 则Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比数 列 其公比为 qn 考点一 等比数列基本量的运算 例1 1 2017 全国 卷 设等比数列 an 满足a1 a2 1 a1 a3 3 则a4 2 设 an 是由正数组成的等比数列 Sn为其前n项和 已知a2a4 1 S3 7 则S5 3 2016 全国 卷 设等比数列满足a1 a3 10 a2 a4 5 则a1a2 an的最大值为 解析 1 由 an 为等比数列 设公比为q 结合n N 可知n 3或4时 t有最大值6 又y 2t为增函数 所以a1a2
5、an的最大值为64 规律方法 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五 个量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 可迎刃而解 2 设数列 an 首项为a1 公比为q q 1 考点二 等比数列的判定与证明 例2 设数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 1 Sn 1 4an 2 1 设bn an 1 2an 证明 数列 bn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 1 证明 由a1 1及Sn 1 4an 2 得a1 a2 S2 4a1 2 a2 5 b1 a2 2a1 3 由 得an 1 4an 4an 1 n 2 an 1 2an 2 an 2an
6、1 n 2 bn an 1 2an bn 2bn 1 n 2 故 bn 是首项b1 3 公比为2的等比数列 2 解 由 1 知bn an 1 2an 3 2n 1 故an 3n 1 2n 2 规律方法 1 证明一个数列为等比数列常用定义法 作比 代入 得结论 与等 比中项法 其他方法只用于填空题中的判定 若证明某数列不是等比数列 则 只要证明存在连续三项不成等比数列即可 2 利用递推关系时要注意对n 1时的情况进行验证 训练2 2016 全国 卷 已知数列 an 的前n项和Sn 1 an 其中 0 1 证明 由题意得a1 S1 1 a1 解得 1 考点三 等比数列的通项及求和问题 1 求等比数
7、列 an 的通项公式及前n项和Sn 2 对n N 在an与an 1之间插入3n个数 使这3n 2个数成等差数列 记插入的这 3n个数的和为bn 求数列 bn 的前n项和Tn 解 1 设等比数列 an 的公比为q 因为a4 S4 a5 S5 a6 S6成等差数列 所以a5 S5 a4 S4 a6 S6 a5 S5 即2a6 3a5 a4 0 所以2q2 3q 1 0 因为q 1 规律方法 本题主要考查等比数列前n项和公式的运用 同时考查构造新数列 求通项 求和的方法 训练3 设数列 an 的前n项和Sn满足Sn 2an a3 且a1 a2 1 a3成等差数列 解 1 因为Sn 2an a3 所以
8、an Sn Sn 1 2an 2an 1 n 2 即an 2an 1 n 2 从而a2 2a1 a3 2a2 4a1 又因为a1 a2 1 a3成等差数列 即a1 a3 2 a2 1 所以a1 4a1 2 2a1 1 解得a1 2 所以数列 an 是首项为2 公比为2的等比数列 所以an 2n 考点四 等比数列性质的应用 例4 1 2017 南通二调 设 an 是公差为d的等差数列 bn 是公比为q q 1 的等比 数列 记cn an bn 1 求证 数列 cn 1 cn d 为等比数列 2 一题多解 已知数列 cn 的前4项分别为4 10 19 34 求数列 an 和 bn 的通 项公式 解
9、 1 由题意得cn 1 cn d an 1 bn 1 an bn d an 1 an d bn 1 bn bn q 1 0 又因为c2 c1 d b1 q 1 0 所以 cn 1 cn d 是首项为b1 q 1 公比为q的等比数列 2 法一 cn 1 cn d 的前3项为6 d 9 d 15 d 则 9 d 2 6 d 15 d 解得d 3 从而q 2 所以an 3n 2 bn 3 2n 1 消去b1得q 2 从而解得a1 1 b1 3 d 3 所以an 3n 2 bn 3 2n 1 例4 2 1 若等比数列 an 的各项均为正数 且a10a11 a9a12 2e5 则ln a1 ln a2
10、ln a20 解析 1 因为a10a11 a9a12 2a10a11 2e5 所以a10a11 e5 所以ln a1 ln a2 ln a20 ln a1a2 a20 ln a1a20 a2a19 a10a11 ln a10a11 10 10ln a10a11 10ln e5 50ln e 50 2 法一 S6 S3 1 2 an 的公比q 1 S3 S6 S3 S9 S6也成等比数列 即 S6 S3 2 S3 S9 S6 规律方法 1 在等比数列的基本运算问题中 一般利用通项公式与前n项和公式 建立方程组求解 但如果能灵活运用等比数列的性质 若m n p q 则有aman apaq 可以减少运算量 2 等比数列的项经过 适当的组合后构成的新数列也具有某种性质 例如数列Sk S2k Sk S3k S2k 成等比数列 公比为qk q 1 训练4 一题多解 2018 南通一调 设等比数列 an 的前n项和为Sn 若S2 3 S4 15 则S6的值为 法二 由S2 S4 S2 S6 S4成等比数列可得 S4 S2 2 S2 S6 S4 所以S6 63 答案 63
