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1、第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 最新考纲 1 理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理 2 会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些 简单的实际问题 1 分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案 在第1类方案中有m种不同的方法 在第2类方案中有n种不同的方法 那么完成这件事共有N 种不同的方法 2 分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤 做第1步有m种不同的方法 做第2 步有n种不同的方法 那么完成这件事共有N 种不同 的方法 知 识 梳 理 m n m n 3 分类加法和分步乘法计数原理 区别在于 分类加法 计数原理针对 分类 问题 其中各种方法相互独立 用其中任何
2、一种方法都可以做完这件事 分步乘法 计数原理针对 分步 问题 各个步骤相互依存 只 有各个步骤都完成了才算完成这件事 常用结论与微点提醒 1 切实理解 完成一件事 的含义 以确定需要分类还是需要 分步进行 2 分类的关键在于要做到 不重不漏 分步的关键在于要正 确设计分步的程序 即合理分类 准确分步 1 思考辨析 在括号内打 或 1 在分类加法计数原理中 两类不同方案中的方法可以相 同 2 在分类加法计数原理中 每类方案中的方法都能直接完 成这件事 3 在分步乘法计数原理中 每个步骤中完成这个步骤的方 法是各不相同的 4 在分步乘法计数原理中 事情是分两步完成的 其中任 何一个单独的步骤都能完
3、成这件事 诊 断 自 测 解析 分类加法计数原理 每类方案中的方法都是不同的 每一种方法都能完成这件事 分步乘法计数原理 每步的方 法都是不同的 每步的方法只能完成这一步 不能完成这件 事 所以 1 4 均不正确 答案 1 2 3 4 2 从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会 则不同的 选法种数为 A 6 B 5 C 3 D 2 解析 5个人中每一个都可主持 所以共有5种选法 答案 B 3 选修2 3P28B2改编 现有4种不同颜色要 对如图所示的四个部分进行着色 要求有 公共边界的两块不能用同一种颜色 则不 同的着色方法共有 A 24种 B 30种 C 36种 D 48种解析 需要先
4、给C块着色 有4种结果 再给A块着色 有 3种结果 再给B块着色 有2种结果 最后给D块着色 有2种结果 由分步乘法计数原理知共有4 3 2 2 48 种 答案 D 4 5位同学报名参加两个课外活动小组 每位同学限报其中一 个小组 则不同的报名方法有 种 用数字作答 解析 每位同学都有2种报名方法 因此 可分五步安排5名 同学报名 由分步乘法计数原理 总的报名方法共 2 2 2 2 2 32 种 答案 32 5 2018 西安月考 已知某公园有5个门 从任一门进 另一门 出 则不同的走法的种数为 用数字作答 解析 分两步 第一步选一个门进有5种方法 第二步再选 一个门出有4种方法 所以共有5
5、4 20种走法 答案 20 考点一 分类加法计数原理的应用 例1 1 满足a b 1 0 1 2 且关于x的方程ax2 2x b 0有实数解的有序数对 a b 的个数为 2 在所有的两位数中 个位数字大于十位数字的两位数的个 数为 解析 1 当a 0时 b的值可以是 1 0 1 2 故 a b 的 个数为4 当a 0时 要使方程ax2 2x b 0有实数解 需 使 4 4ab 0 即ab 1 若a 1 则b的值可以是 1 0 1 2 a b 的个数为4 若a 1 则b的值可以是 1 0 1 a b 的个数为3 若a 2 则b的值可以是 1 0 a b 的个数为2 由分类加法计数原理可知 a b
6、 的个数为4 4 3 2 13 2 当个位数字为2时 十位数字为1 共1个 当个位数字为3时 十位数字为1 2 共2个 当个位数字为4时 十位数字为1 2 3 共3个 当个位数字为9时 十位数字为1 2 3 4 7 8 共8 个 由分类加法计数原理可知满足条件的两位数的个数为1 2 3 8 36 答案 1 13 2 36 规律方法 分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在 应 抓住题目中的关键词 关键元素和关键位置 1 根据题目特点恰当选择一个分类标准 2 分类时应 注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类 并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法 不能重复 3 分类时除了不能交叉重复外
7、 还不能有遗漏 如本例 1 中易 漏a 0这一类 训练1 1 从集合 1 2 3 10 中任意选出三个不同 的数 使这三个数成等比数列 这样的等比数列的个数为 A 3 B 4 C 6 D 8 2 如图 从A到O有 种不同的走法 不重复过一点 解析 1 以1为首项的等比数列为1 2 4 1 3 9 以2为首项的等比数列为2 4 8 以4为首项的等比数列为4 6 9 把这4个数列的顺序颠倒 又得到另外的4个数列 所求的数列共有2 2 1 1 8个 2 分3类 第一类 直接由A到O 有1种走法 第二类 中间 过一个点 有A B O和A C O共2种不同的走法 第三类 中间过两个点 有A B C O和
8、A C B O共2种不同的 走法 由分类加法计数原理可得共有1 2 2 5种不同的走 法 答案 1 D 2 5 考点二 分步乘法计数原理的应用 例2 1 2018 石家庄模拟 教学大楼共有五层 每层均有 两个楼梯 由一层到五层的走法有 A 10种 B 25种 C 52种 D 24种 2 2016 全国 卷 如图 小明从街道的E处出发 先到F处 与小红会合 再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动 则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A 24 B 18 C 12 D 9 解析 1 每相邻的两层之间各有2种走法 共分4步 由分步乘法计数原理 共有24种不同的走法 2 分两步 第一步 从E F
9、 有6条可以选择的最短路径 第二步 从F G 有3条可以选择的最短路径 由分步乘法计 数原理可知有6 3 18条可以选择的最短路径 故选B 答案 1 D 2 B 规律方法 1 在第 1 题中 易误认为 分5步完成 错选B 2 利用分步乘法计数原理应注意 要按事件发生的过程合 理分步 即分步是有先后顺序的 各步中的方法互相依存 缺一不可 只有各步骤都完成才算完成这件事 训练2 1 用0 1 2 3 4 5可组成无重复数字的三位数 的个数为 2 2018 合肥质检 五名学生报名参加四项体育比赛 每人 限报一项 则不同的报名方法的种数为 五名学生 争夺四项比赛的冠军 冠军不并列 则获得冠军的可能性有
10、 种 解析 1 可分三步给百 十 个位放数字 第一步 百位数字 有5种放法 第二步 十位数字有5种放法 第三步 个位数字 有4种放法 根据分步乘法计数原理 三位数的个数为5 5 4 100 2 五名学生参加四项体育比赛 每人限报一项 可逐个学生 落实 每个学生有4种报名方法 共有45种不同的报名方法 五 名学生争夺四项比赛的冠军 可对4个冠军逐一落实 每个冠 军有5种获得的可能性 共有54种获得冠军的可能性 答案 1 100 2 45 54 考点三 两个计数原理的综合应用 多维维探究 命题角度1 组数 组点 组线 组对及抽取问题 例3 1 如果一条直线与一个平面垂直 那么称此直线与 平面构成一
11、个 正交线面对 在一个正方体中 由两个顶 点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的 正交线面对 的个数是 A 48 B 18 C 24 D 36 解析 在正方体中 每一个表面有四条棱与之垂直 六个 表面 共构成24个 正交线面对 而正方体的六个对角 面中 每个对角面有两条面对角线与之垂直 共构成12个 正交线面对 所以共有36个 正交线面对 答案 D 命题角度2 涂色 种植问题 例3 2 一题多解 如图所示 将一个四 棱锥的每一个顶点染上一种颜色 并使同 一条棱上的两端异色 如果只有5种颜色可 供使用 求不同的染色方法种数 法二 以S A B C D顺序分步染色 第一步 S点染色 有5种方法 第
12、二步 A点染色 与S在同一条棱上 有4种方法 第三步 B点染色 与S A分别在同一条棱上 有3种方法 第四步 C点染色 也有3种方法 但考虑到D点与S A C相 邻 需要针对A与C是否同色进行分类 当A与C同色时 D点 有3种染色方法 当A与C不同色时 因为C与S B也不同色 所以C点有2种染色方法 D点也有2种染色方法 由分步乘法 分类加法计数原理得不同的染色方法共有5 4 3 1 3 2 2 420 种 规律方法 1 注意在综合应用两个原理解决问题时 一 般是先分类再分步 在分步时可能又用到分类加法计数原理 注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题 可恰当地 列出示意图或列出表格 使问题形象
13、化 直观化 2 解决涂色问题 可按颜色的种数分类 也可按不同的区 域分步完成 例题中 相邻顶点不同色 要按A C和B D是否同色分类 处理 训练3 1 一题多解 2018 大同质检 如图 所示 用4种不同的颜色涂入图中的矩形A B C D中 要求相邻的矩形涂色不同 则 不同的涂法有 A 72种 B 48种 C 24种 D 12种 2 如图所示 在连结正八边形的三个顶点而 成的三角形中 与正八边形有公共边的三角 形有 个 用数字作答 解析 1 法一 首先涂A有4种涂法 则涂B有3种涂法 C与A B相邻 则C有2种涂法 D只与C相邻 则D有3种涂法 所 以共有4 3 2 3 72种涂法 法二 按要求涂色至少需要3种颜色 故分两类 一是4种颜 色都用 这时A有4种涂法 B有3种涂法 C有2种涂法 D有1 种涂法 共有4 3 2 1 24 种 涂法 二是用3种颜色 这 时A B C的涂法有4 3 2 24 种 D只要不与C同色即可 故D有2种涂法 所以不同的涂法共有24 24 2 72 种 2 把与正八边形有公共边的三角形分为两类 第一类 有一条公共边的三角形共有8 4 32 个 第二类 有两条公共边的三角形共有8个 由分类加法计数原理知 共有32 8 40 个 答案 1 A 2 40
