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1、 7 1 不等式及其解法 高考理数 课标专用 A组 统一命题 课标卷题组 考点 不等式的概念和性质 1 2018课标 12 5分 设a log0 20 3 b log20 3 则 A a b ab 0 B ab a b 0 C a b 0 ab D ab 0log0 21 0 b log20 3 log21 0 ab 0 排除C 0 log0 20 3 log0 20 2 1 log20 3 log20 5 1 即0 a 1 b 1 a b 0 排除D log20 2 b log20 3 log20 2 log2 1 b 1 ab a b 排除A 故选B 解法二 易知0 a 1 b 1 ab
2、0 a b 0 log0 30 2 log0 32 log0 30 4 1 即 ab ab a b 0 故选B 方法总结 比较代数式大小的常用方法 1 作差法 其基本步骤为作差 变形 判断符号 得出结论 用作差法比较大小的关键是判断 差的正负 变形常采用配方 因式分解 分子 分母 有理化等方法 2 作商法 即通过判断商与1的大小关系 得出结论 要特别注意当商与1的大小确定后 必须对 商式分子 分母的正负进行判断 这是用作商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤 3 单调性法 利用有关函数的单调性比较大小 4 特值验证法 对于一些给出取值范围的题目 可采用特值验证法比较大小 2 2014课标 9 5分
3、 0 700 不等式组 的解集记为D 有下面四个命题 p1 x y D x 2y 2 p2 x y D x 2y 2 p3 x y D x 2y 3 p4 x y D x 2y 1 其中的真命题是 A p2 p3 B p1 p2 C p1 p4 D p1 p3 答案 B 设x 2y m x y n x 2y 则 解得 x y x 2y x 2y x y x 2y 0 x 2y的取值范围为 0 故命题p1 p2正确 p3 p4错误 方法总结 由a f x y b c g x y b 0 且ab 1 则下列不等式成立的是 A a log2 a b B log2 a b a C a log2 a b
4、 D log2 a b a y 0 则 A 0 B sin x sin y 0 C 0 答案 C 函数y 在 0 上为减函数 当x y 0时 即 y 0 y 0时 不能比较sin x与sin y的大小 故B错误 当x 0且y 0时 ln x ln y 0 ln xy 0 xy 1 而x y 0 xy 1 故D错误 3 2014山东 5 5分 已知实数x y满足ax ay 0 a B ln x2 1 ln y2 1 C sin x sin y D x3 y3 答案 D ax ay 0 ay x3 y3 4 2014四川 4 5分 若a b 0 c d B D 答案 D 解法一 0 4 x ay
5、2 则 A 对任意实数a 2 1 A B 对任意实数a 2 1 A C 当且仅当a 结合四个选项 只有D说法正确 故选D 易错警示 注意区分集合条件中的 或 与 且 本题容易把三个不等式的中间联结词认 为是 或 而错选A 2 2014江苏 10 5分 已知函数f x x2 mx 1 若对于任意x m m 1 都有f x 0成立 则实数m的 取值范围是 答案 解析 要满足f x x2 mx 1 0对于任意x m m 1 恒成立 只需 即 解得 m 0 考点一 不等式的概念和性质 1 2016浙江 8 5分 已知实数a b c A 若 a2 b c a b2 c 1 则a2 b2 c2 100 B
6、 若 a2 b c a2 b c 1 则a2 b2 c2 100 C 若 a b c2 a b c2 1 则a2 b2 c2 100 D 若 a2 b c a b2 c 1 则a2 b2 c2 100 C组 教师专用题组 答案 D 利用特值法验证 令a 3 b 3 c 11 5 排除A 令a 4 b 15 5 c 0 排除B 令a 11 b 10 5 c 0 排除C 故选D 2 2015湖北 10 5分 设x R x 表示不超过x的最大整数 若存在实数t 使得 t 1 t2 2 tn n 则正整数n的最大值是 A 3 B 4 C 5 D 6 答案 B 若n 3 则 即 得9 t6 16 当 t
7、 时 有 t 1 t2 2 t3 3 n 3符合题意 若n 4 则 即 得34 t12 53 当 t 时 有 t 1 t2 2 t3 3 t4 4 故n 4符合题意 若n 5 则 即 63 35 故 无解 n 5不符合题意 则正整数n的最大值为4 考点二 不等式的解法 1 2013陕西 9 5分 在如图所示的锐角三角形空地中 欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园 阴 影部分 则其边长x 单位 m 的取值范围是 A 15 20 B 12 25 C 10 30 D 20 30 答案 C 矩形的一边长为x m 则由相似三角形得其邻边长为 40 x m 故矩形面积S x 40 x x2 40
8、x 由S 300得 x2 40 x 300 解得10 x 30 2 2014浙江 6 5分 已知函数f x x3 ax2 bx c 且0 f 1 f 2 f 3 3 则 A c 3 B 3 c 6 C 69 答案 C 由 得 解得 则有f 1 c 6 由0 f 1 3 得6 c 9 3 2013安徽 6 5分 已知一元二次不等式f x 0的解集为 A x x lg 2 B x 1 x lg 2 D x x0的解集为 令 1 10 x 解得x lg lg 2 4 2013广东 9 5分 不等式x2 x 2 0的解集为 答案 x 2 x 1 解析 由x2 x 2 0得 x 2 x 1 0 解得 2
9、 x 1 故不等式的解集为 x 2 x 1 5 2013四川 14 5分 已知f x 是定义域为R的偶函数 当x 0时 f x x2 4x 那么 不等式f x 2 5 的解集是 答案 7 3 解析 f x 是偶函数 f x f x 又x 0时 f x x2 4x 不等式f x 2 5 f x 2 5 x 2 2 4 x 2 5 x 2 5 x 2 1 0 x 2 5 0 x 2 5 5 x 2 5 7 x 3 故解集为 7 3 评析 本题综合考查函数的奇偶性以及不等式等知识 考查灵活应用知识的能力及转化与 化归思想 考点一 不等式的概念和性质 1 2018湖南衡阳一模 4 若a b c为实数
10、且a b 0 则下列结论正确的是 A ac2 bc2 B D a2 ab b2 A组 2016 2018年高考模拟 基础题组 三年模拟 答案 D 选项A c为实数 取c 0 得ac2 0 bc2 0 此时ac2 bc2 故选项A不正确 选项B a b0 ab 0 0 即 故选项B不正确 选项C a b 0 取a 2 b 1 则 2 此时 故选项C不正确 选项D a b0 a2 ab 又 ab b2 b a b 0 ab b2 故选项D正确 故选D 2 2018河南商丘4月联考 4 若a b B C b2 答案 B 对于A a b 故A成立 对于B a b 0 则a a b 0 两边同除 以a
11、a b 可得 故B不成立 对于C 根据幂函数的单调性可知C成立 对于D a bb 2 故D成立 故选B 3 2018江西南昌二中月考 4 若a 1 0 c blogb2 018 B logba c b ba D a c ac a c ab 答案 D a 1 0 c b 1 logab0 logb2 018 logab logac logba logca B正确 ca ba c b c b ba C正确 ac0 a c ac a c ab D错误 故选D 4 2017河南百校联盟模拟 6 设a b R 则 a b a2 0 是 a b 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D
12、 既不充分也不必要条件 答案 C 当 a b a2 0时 由a2 0得a b 0 即a b 反之也成立 故 a b a2 0 是 a b 的充要条件 5 2016河南洛阳期中 1 若a b B 0 C a2 b2 D a3 b3 答案 C a bb2 C错误 考点二 不等式的解法 1 2018福建四地六校4月联考 6 已知函数f x 若f 2 x2 f x 则实数x的取值范围 是 A 1 2 B 2 1 C 1 2 D 2 1 答案 D 易知f x 在R上是增函数 f 2 x2 f x 2 x2 x 解得 2 x0的解集为 A B C D 答案 B 2x2 x 3 0 x 1 2x 3 0 解
13、得x 或x0的解集为 x x 或x 0时 f x x2 2x 则不等式f x x的解集用区间表示为 答案 3 0 3 解析 设x0 因为f x 是奇函数 所以f x f x x2 2x 又f 0 0 于是不等式f x x等价 于 或 解得x 3或 3 x 0 故不等式的解集为 3 0 3 4 2016福建泉州3月质检 14 设函数f x 则使得f x 1成立的x的取值范围是 答案 1 9 解析 由 得0 x 9 由 得 1 x 0 故f x 1的解集为 1 9 1 2018湖南湘东4月联考 11 若 x R 函数f x 2mx2 2 4 m x 1与g x mx的值至少有一个为 正数 则实数m
14、的取值范围为 A 0 4 B 0 8 C 2 5 D 0 B组 2016 2018年高考模拟 综合题组 时间 15分钟 分值 30分 选择题 每题5分 共30分 答案 B 当m0 易知f x 的图象的对称轴为x f 0 1 0 当 0 即0 m 4时 函数f x 的图象 与x轴的交点都在y轴右侧 如图1所示 符合题意 当 4时 要满足题意 需f x 的图象在x轴上方 如图2所示 则 4 4 m 2 8m 4 m 8 m 2 0 则4 m 8 综上可得0 m0时满足条件的范围 m 0时 要讨论f x 的图象相对g x 图象的位置 此时应从f x 图象的对称轴入手 结合具体图象求解 2 2018山
15、东聊城一模 10 已知函数f x x 10 x 10 x 不等式f 1 2x f 3 0的解集为 A 2 B 2 C 1 D 1 答案 A 由于f x f x 所以函数为奇函数 且为单调递增函数 故f 1 2x f 3 0 f 1 2x f 3 f 3 所以1 2x 3 故选A 思路分析 根据条件判断函数的奇偶性和单调性 结合奇偶性和单调性的性质将不等式进行 转化求解即可 解题关键 本题主要考查不等式的求解 结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的 关键 3 2018河南豫北名校4月联考 10 已知函数f x e1 x e1 x 则满足f x 2 e2 1的x的取值范围是 A x 3 B
16、0 x 3 C 1 x e D 1 x 3 答案 D f x e1 x e1 x e ex e 令t ex 可得y e 内函数t ex为增函数 而外 函数y e 在 0 1 上为减函数 在 1 上为增函数 函数f x e1 x e1 x的减区间为 0 增区间为 0 又f x e1 x e1 x为偶函数 由f x 2 e2 1 得f x 2 f 1 得 x 2 1 解得1 x 3 故 选D 思路分析 由已知可得原函数的单调性与奇偶性 把f x 2 e2 1转化为f x 2 f 1 进一步转化 为含有绝对值的不等式求解 方法点拨 本题利用复合函数的单调性求解不等式 4 2017广东清远一中一模 5 关于x的不等式ax b0的解集是 A 1 3 B 1 3 C 1 3 D 1 3 答案 C 关于x的不等式ax b 0的解集是 1 即不等式ax b的解集是 1 a b0可化为 x 1 x 3 0 解得 1 x 3 所求解集是 1 3 故选C 解题关键 根据不等式ax b 0的解集得出a b 0是解题的关键 5 2016湖北优质高中联考 7 已知g x 是R上的奇函数 当xf x 则实数x的取值
