《高考数学文科一轮复习（北京卷B）课件：10.1 椭圆及其性质 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学文科一轮复习（北京卷B）课件：10.1 椭圆及其性质 .pptx（80页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 10 1 椭圆及其性质 高考文数 北京市专用 考点一 椭圆的定义和标准方程 2017北京 19 14分 已知椭圆C的两个顶点分别为A 2 0 B 2 0 焦点在x轴上 离心率为 1 求椭圆C的方程 2 点D为x轴上一点 过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M N 过D作AM的垂线交BN于点E 求证 BDE与 BDN的面积之比为4 5 解析 本题考查椭圆的方程和性质 直线的方程等知识 考查运算求解能力 1 设椭圆C的方程为 1 a b 0 由题意得 解得c A组 自主命题 北京卷题组 五年高考 所以b2 a2 c2 1 所以椭圆C的方程为 y2 1 2 设M m n 则D m 0 N m n
2、由题设知m 2 且n 0 直线AM的斜率kAM 故直线DE的斜率kDE 所以直线DE的方程为y x m 直线BN的方程为y x 2 联立 解得点E的纵坐标yE 由点M在椭圆C上 得4 m2 4n2 所以yE n 又S BDE BD yE BD n S BDN BD n 所以 BDE与 BDN的面积之比为4 5 易错警示 在设直线方程时 若设方程为y kx m 则要考虑斜率不存在的情况 若设方程为x ty n 则要考虑斜率为0的情况 考点二 椭圆的性质 2015北京 20 14分 0 47 已知椭圆C x2 3y2 3 过点D 1 0 且不过点E 2 1 的直线与椭圆C交于A B两点 直线AE与
3、直线x 3交于点M 1 求椭圆C的离心率 2 若AB垂直于x轴 求直线BM的斜率 3 试判断直线BM与直线DE的位置关系 并说明理由 解析 1 椭圆C的标准方程为 y2 1 所以a b 1 c 所以椭圆C的离心率e 2 因为AB过点D 1 0 且垂直于x轴 所以可设A 1 y1 B 1 y1 直线AE的方程为y 1 1 y1 x 2 令x 3 得M 3 2 y1 所以直线BM的斜率kBM 1 3 解法一 直线BM与直线DE平行 证明如下 当直线AB的斜率不存在时 由 2 可知kBM 1 又因为直线DE的斜率kDE 1 所以BM DE 当直线AB的斜率存在时 设其方程为y k x 1 k 1 设
4、A x1 y1 B x2 y2 则直线AE的方程为y 1 x 2 令x 3 得点M 由 得 1 3k2 x2 6k2x 3k2 3 0 所以x1 x2 x1x2 直线BM的斜率kBM 因为kBM 1 0 所以kBM 1 kDE 所以BM DE 综上可知 直线BM与直线DE平行 解法二 设A x1 y1 B x2 y2 当x1 x2 1 由 2 知 kBM 1 又kDE 1 所以BM DE 当x1 1时 因为直线AB经过点D 1 0 所以y2 x1 1 y1 x2 1 两边平方并把 i 1 2 代入 得到 3 x1 1 2 3 x2 1 2 化简得x1x2 2 x1 x2 3 0 直线AE的方程
5、为y 1 x 2 直线AE与x 3的交点M 直线BM的斜率kBM 由x1 1得y2 代入kBM的表达式 得到 kBM 1 所以 kBM kDE 1 综上 直线BM与直线DE平行 解法三 设A x1 y1 B x2 y2 当直线AB的斜率不存在时 AB x轴 此时 x1 x2 1 y1 y2 所以D E分别为线段AB AM的中点 所以DE BM 当直线AB的斜率存在时 设其方程为y k x 1 k 1 联立得 消去y并整理 得 1 3k2 x2 6k2x 3k2 3 0 所以x1 x2 x1x2 因为 2 x1 所以 2 x1 0 所以 所以DE BM 综上 直线BM与直线DE平行 解法四 设A
6、 x1 y1 B x2 y2 如果过点D的直线为y 0 则A 0 B 0 所以 2 2 所以 即DE BM 设直线AB的方程为x ky 1 k 1 联立得 消去x并整理 得 k2 3 y2 2ky 2 0 所以y1 y2 y1y2 因为 2 x1 所以 2 x1 0 所以 所以DE BM 综上 直线BM与直线DE平行 评析 本题考查椭圆的离心率 直线的斜率以及直线与椭圆的位置关系等知识 考查学生的 运算求解能力和推理论证能力 是一道综合题 属于难题 考点一 椭圆的定义和标准方程 1 2015广东 8 5分 已知椭圆 1 m 0 的左焦点为F1 4 0 则m A 2 B 3 C 4 D 9 B组
7、 统一命题 省 区 市 卷题组 答案 B 依题意有25 m2 16 m 0 m 3 选B 2 2014大纲全国 9 5分 已知椭圆C 1 a b 0 的左 右焦点为F1 F2 离心率为 过F2 的直线l交C于A B两点 若 AF1B的周长为4 则C的方程为 A 1 B y2 1 C 1 D 1 答案 A 由椭圆的定义可知 AF1B的周长为4a 所以4a 4 故a 又由e 得c 1 所以b2 a2 c2 2 则C的方程为 1 故选A 3 2018浙江 17 4分 已知点P 0 1 椭圆 y2 m m 1 上两点A B满足 2 则当m 时 点B横坐标的绝对值最大 答案 5 解析 本题考查椭圆的标准
8、方程 向量的坐标运算 二次函数的最值 设B t u 由 2 易得A 2t 3 2u 点A B都在椭圆上 从而有 3u2 12u 9 0 即 u2 4u 3 即有4u 3 m u m t2 m2 m m 5 2 4 当m 5时 t2 max 4 即 t max 2 即当m 5时 点B横坐标的绝对值最大 思路分析 1 设出点B的坐标 利用向量的坐标运算得点A的坐标 2 利用点A B都在椭圆上得方程组 求得点B的横 纵坐标满足的关系式 3 利用 2 中的关系式及点B在椭圆上 把点B的横坐标的平方表示为关于m的函数 4 利用二次函数的最值得结论 4 2016天津 19 14分 设椭圆 1 a 的右焦点
9、为F 右顶点为A 已知 其中O为原点 e为椭圆的离心率 1 求椭圆的方程 2 设过点A的直线l与椭圆交于点B B不在x轴上 垂直于l的直线与l交于点M 与y轴交于点H 若 BF HF 且 MOA MAO 求直线l的斜率 解析 1 设F c 0 由 即 可得a2 c2 3c2 又a2 c2 b2 3 所以c2 1 因此a2 4 所以 椭圆的方程为 1 2 设直线l的斜率为k k 0 则直线l的方程为y k x 2 设B xB yB 由方程组 消去y 整理得 4k2 3 x2 16k2x 16k2 12 0 解得x 2 或x 由题意得xB 从而yB 由 1 知 F 1 0 设H 0 yH 有 1
10、yH 由BF HF 得 0 所以 0 解得yH 因此直线MH的方程为y x 设M xM yM 由方程组 消去y 解得xM 在 MAO中 MOA MAO MA MO 即 xM 2 2 化简得xM 1 即 1 解 得k 或k 所以 直线l的斜率为 或 评析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线方程等基础知识 考查用代数方法研究 圆锥曲线的性质 考查运算求解能力以及用方程思想解决问题的能力 5 2015天津 19 14分 已知椭圆 1 a b 0 的上顶点为B 左焦点为F 离心率为 1 求直线BF的斜率 2 设直线BF与椭圆交于点P P异于点B 过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q Q异于
11、点B 直线PQ与y轴交于点M PM MQ i 求 的值 ii 若 PM sin BQP 求椭圆的方程 解析 1 设F c 0 由已知离心率 及a2 b2 c2 可得a c b 2c 又因为B 0 b F c 0 故直线BF的斜率k 2 2 设点P xP yP Q xQ yQ M xM yM i 由 1 可得椭圆的方程为 1 直线BF的方程为y 2x 2c 将直线方程与椭圆方程联立 消去y 整理得3x2 5cx 0 解得xP 因为BQ BP 所以直线BQ的方程为y x 2c 与椭圆方程联立 消去y 整理得21x2 40cx 0 解得 xQ 又因为 及xM 0 可得 ii 由 i 有 所以 即 P
12、Q PM 又因为 PM sin BQP 所以 BP PQ sin BQP PM sin BQP 又因为yP 2xP 2c c 所以 BP c 因此 c 得c 1 所以 椭圆方程为 1 评析 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质 直线的方程 两条直线垂直等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质 考查运算求解能力 以及用方程思想和化归思想解决问 题的能力 6 2015重庆 21 12分 如图 椭圆 1 a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 过F2的直线交椭圆 于P Q两点 且PQ PF1 1 若 PF1 2 PF2 2 求椭圆的标准方程 2 若 PQ PF1 且 试确定椭圆离心率e的取值范
13、围 解析 1 由椭圆的定义 2a PF1 PF2 2 2 4 故a 2 设椭圆的半焦距为c 由已知PF1 PF2 因此 2c F1F2 2 即c 从而b 1 故所求椭圆的标准方程为 y2 1 2 如图 由PF1 PQ PQ PF1 得 QF1 PF1 由椭圆的定义 PF1 PF2 2a QF1 QF2 2a 进而 PF1 PQ QF1 4a 于是 1 PF1 4a 解得 PF1 故 PF2 2a PF1 由勾股定理得 PF1 2 PF2 2 F1F2 2 2c 2 4c2 从而 4c2 两边除以4a2 得 e2 若记t 1 则上式变成 e2 8 由 并注意到t 1 关于 的单调性 得3 t 4
14、 即 进而 e2 即 b 0 的左焦点为F 2 0 离心率为 1 求椭圆C的标准方程 2 设O为坐标原点 T为直线x 3上一点 过F作TF的垂线交椭圆于P Q 当四边形OPTQ是平行 四边形时 求四边形OPTQ的面积 解析 1 由已知可得 c 2 所以a 又由a2 b2 c2 解得b 所以椭圆C的标准方程是 1 2 设T点的坐标为 3 m 则直线TF的斜率kTF m 当m 0时 直线PQ的斜率kPQ 直线PQ的方程是x my 2 当m 0时 直线PQ的方程是x 2 也符 合x my 2的形式 设P x1 y1 Q x2 y2 将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立 得 消去x 得 m2 3 y2
15、4my 2 0 其判别式 16m2 8 m2 3 0 所以y1 y2 y1y2 x1 x2 m y1 y2 4 因为四边形OPTQ是平行四边形 所以 即 x1 y1 3 x2 m y2 所以 解得m 1 此时 S四边形OPTQ 2S OPQ 2 OF y1 y2 2 2 评析 本题主要考查椭圆的标准方程 直线与方程 直线与椭圆的位置关系等基础知识 考 查推理论证能力 运算求解能力 考查数形结合 转化与化归 分类与整合等数学思想 8 2014广东 20 14分 已知椭圆C 1 a b 0 的一个焦点为 0 离心率为 1 求椭圆C的标准方程 2 若动点P x0 y0 为椭圆C外一点 且点P到椭圆C
16、的两条切线相互垂直 求点P的轨迹方程 解析 1 由题意得c e a 3 b 2 椭圆C的标准方程为 1 2 当过P点的两条切线的斜率均存在时 不妨设为k1 k2 则过P点的切线方程可设为y y0 k x x0 y kx y0 kx0 由 消去y 有 4 9k2 x2 18k y0 kx0 x 9 y0 kx0 2 4 0 18k y0 kx0 2 4 4 9k2 9 y0 kx0 2 4 0 整理得 9 k2 2x0y0k 4 0 k1k2 x0 3 由已知得k1k2 1 1 13 即此时点P的轨迹方程为 13 当两条切线中有一条垂直于x轴时 此时两条切线方程应分别为x 3 y 2或x 3 y 2或x 3 y 2 或x 3 y 2 P点坐标为 3 2 或 3 2 或 3 2 或 3 2 均满足方程 13 x0 3 综上所述 所求P点的轨迹方程为 13 考点二 椭圆的性质 1 2018课标全国 4 5分 已知椭圆C 1的一个焦点为 2 0 则C的离心率为 A B C D 答案 C 本题主要考查椭圆的方程及其几何性质 由题意可知c 2 b2 4 a2 b2 c2 4 22 8 则a 2 e
