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1、第2课时排列的综合应用目标定位1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.自 主 预 习1.排列数公式An(n1)(n2)(nm1)(n，mN*，mn).An(n1)(n2)21n！(叫做n的阶乘).另外，我们规定0！1.2.应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤：即 时 自 测1.思考题(1)如何选取排列数公式使计算更简便？提示排列数的第一个公式An(n1)(n2)(nm1)(n，mN*，mn)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的方程和不等式；在运用该公式时要注意它的特点是：从n起连续写出m个自然数的乘积即可.排列
2、数的第二个公式A适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，则应注意先提取公因式再计算，同时还要注意隐含条件“mn且n，mN*”的运用.(2)有限制条件的排列问题的解题思路有哪些？提示所谓有限制条件的排列问题是指某些元素或位置有特殊要求.解决此类问题常从特殊元素或特殊位置入手进行解决，常用的方法有直接法和间接法，直接法又有分步法和分类法两种.(1)直接法分步法按特殊元素或特殊位置优先安排，再安排一般元素(位置)依次分步解决，特别地：()当某些特殊元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种分步法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑
3、法”.()当某些特殊元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空档，这种方法称为“插空法”，即“不相邻元素插空法”.分类法直接按特殊元素当选情况或特殊位置安排进行分类解决，即直接分类法.特别地当某些元素按一定顺序排列时可用“等机率法”，即n个不同元素参加排列，其中m个元素的顺序是确定的，这类问题的解法采用分类法：n个不同元素的全排列有A种排法，m个元素的排列有A种排法，因此A种排法中关于m个元素的不同分法有A类，而且每一分类的排法数是一样的，当这m个元素顺序确定时，共有种排法.(2)间接法符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差.故求符合条件的种数时，可先求与其对应的不符
4、合条件的种数，进而求解，即“间接法”.2.用1，2，3，4，5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A.30个 B.36个 C.40个 D.60个解析分2步完成：个位必为奇数，有A种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A种选法.由分步乘法计数原理，共有AA36(个)无重复数字的三位奇数.答案B3.6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A.720 B.144 C.576 D.684解析(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为AA；不考虑任何限制，6人的全排列有A.符合题意的排法种数为AAA576.答案C4.将序号分别为1，2，3，4，5
5、的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_.解析5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4A96种.答案96类型一数字排列的问题【例1】 用0，1，2，3，4，5这六个数字(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？(3)可以组成多少个数字不重复的三位奇数？(4)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？(5)可以组成多少个大于3 000，小于5 421的不重复的四位数？解(1)分三步：先选百位数字，由
6、于0不能作百位数字，因此有5种选法；十位数字有5种选法；个位数字有4种选法.由分步乘法计数原理知所求三位数共有554100(个).(2)分三步：百位数字有5种选法；十位数字有6种选法；个位数字有6种选法.故所求三位数共有566180(个).(3)分三步：先选个位数字，有3种选法；再选百位数字，有4种选法；选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有34448(个).(4)分三类：一位数共有6个；两位数共有5525(个)；三位数共有554100(个).因此，比1 000小的自然数共有625100131(个).(5)分四类：千位数字为3，4之一时，共有2543120(个)；千位数字为5，百位数字为
7、0，1，2，3之一时，共有44348(个)；千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有236(个)；还有5 420也是满足条件的1个.故所求四位数共1204861175(个).规律方法排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子上不排某个元素.解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论.【训练1】 用0，1，2，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数：(1)五位奇数；(2)大于30 000的五位偶数.解(1
8、)要得到五位奇数，末位应从1，3，5，7，9五个数字中取，有5种取法；取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法；首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有A种不同的排列方法.因此由分步乘法计数原理共有58A13 440个没有重复数字的五位奇数.(2)要得偶数，末位应从0，2，4，6，8中选取，而要得比30 000大的五位偶数，可分两类：末位数字从0，2中选取，则首位可取3，4，5，6，7，8，9中任一个，共有7种选取方法，其余三个数位可从除首末两个数位上的数字之外的八个数字中选取，共A种取法.所以共有27A种不同情况.末位数字从4，6，8中
9、选取，则首位应从3，4，5，6，7，8，9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有A种选法，所以共有36A种不同情况.由分类加法计数原理，比30 000大的无重复数字的五位偶数共有27A36A10 752(个).类型二排队问题(互动探究)【例2】 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选5名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男、女各站在一起；(6)全体站成一排，男生必须排在一起；(7)全体站成一排，男生不能排在一起
10、；(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；(12)排成前后两排，前排3人，后排4人.思路探究探究点一含有“在”与“不在”约束条件排列问题的求解原则和常用方法是什么？提示解决这类排列问题的原则主要是按“优先”原则，即按优先排特殊元素或优先满足特殊位子的分步计数，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时，应分类讨论.常用方法：直接法：直接根据约束条件分步或分类计数；间接法：问题的正面分的情况较多，或计算较复杂，而反面情况数较少或计算简单时选用间接法.探究点二
11、对于“相邻”与“不相邻”问题，常用的处理方法是什么？提示相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法.探究点三对于“定序”问题，常用的处理方法是什么？提示对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决，即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.解(1)无限制条件的排列问题，只要从7名同学中任选5名排列，即可得共有NA765432 520(种).(2)(直接分步法)先考虑甲有A种方案，再考虑其余6人全排A，故NAA2 160(种).(3)(直接分步法)先安排甲、乙有A种方案，再安排其余5人全排A，故NAA240(种).(4)法一(直接分类法)按甲是否在最右端分两类：第一类：甲在最右端有N1A(种)；第二类：甲不在
12、最右端时，甲有A个位置可选，而乙也有A个位置，而其余全排A，N2AAA.故NN1N2AAAA3 720(种).法二(间接法)无限制条件的排列数共有A，而甲或乙在左端(右端)的排法有A，且甲在左端且乙在右端的排法有A，故NA2AA3 720(种).法三(直接分步法)按最左端优先安排分步对于左端除甲外有A种排法，余下六个位置全排有A，但减去乙在最右端的排法AA种，故NAAAA3 720(种).(5)相邻问题(捆绑法)男生必须站在一起，是男生的全排列，有A种排法，女生必须站在一起，是女生的全排列，有A种排法，全体男生、女生各视为一个元素，有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有AAA288(种).(6
13、)(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，故NAA720(种).(7)即不相邻问题(插空法)：先排女生共A种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排有A种排法，故NAA1 440(种).(8)对比(7)让女生插空：NAA144(种).(9)(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排，故N(AA)A960(种).(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故N2 520(种).(11)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的，N840(种).(12)直接分步完成共有AA5 040(种).规律方法排队问题的解题策略排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，
14、还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题.(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行排列.(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决.即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中.(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.【训练2】 分别求出符合下列要求的不同排法的种数：(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻.解(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A种选法，然后其他5人排，有
15、A种排法，故排法种数为AA480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有AA480(种)排法.类型三排列的综合应用【例3】 从数字0，1，3，5，7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2bxc0？其中有实根的方程有多少个？解先考虑组成一元二次方程的问题.首先确定a，只能从1，3，5，7中选一个，有A种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有A种.由分步乘法计数原理知，共组成一元二次方程AA48(个)方程要有实根，必须满足b24ac0.分类讨论如下：当c0时，a，b可以从1，3，5，7中任取两个，
