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1、第1章 导数及其应用对应学生用书P31一、导数的概念1导数函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，当x无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点xx0处可导，称常数A为函数f(x)在点xx0处的导数，记作f(x0)矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。2导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数中随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数记作f(x)聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。二、导数的几何意义 1f(x0)是函数yf(x)在x0处切线的斜率
2、，这是导数的几何意义2求切线方程：常见的类型有两种：一是函数yf(x)“在点xx0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0)是曲线上的点，其切线方程为残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。yf(x0)f(x0)(xx0)二是函数yf(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为yy1f(x1)(xx1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0y1f(x1)(x0x1)，又y1f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾
3、。三、导数的运算1基本初等函数的导数(1)f(x)C，则f(x)0(C为常数)；(2)f(x)x，则f(x)x1(为常数)；(3)f(x)ax(a0且a1)，则f(x)axln a；(4)f(x)logax(a0，且a1)，则f(x)；(5)f(x)sin x，则f(x)cos x；(6)f(x)cos x，则f(x)sin x.2导数四则运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。四、导数与函数的单调性利用导数求函数单调区间的步骤：(1)求导数f(x)
4、；(2)解不等式f(x)0或f(x)0；(3)写出单调增区间或减区间特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“”连接五、导数与函数的极值利用导数求函数极值的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求方程f(x)0的根；(3)检验f(x)0的根的两侧的f(x)的符号，若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值，否则此根不是f(x)的极值点六、求函数f(x)在闭区间a，b上的最大值、最小值的方法与步骤(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值
5、特别地，当f(x)在a，b上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以判断f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(，)謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。七、导数的实际应用利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去(2)在实际问题中，由f(x)0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值厦礴恳蹒骈時盡继
6、價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。八定积分(1)定积分是一个数值定积分的定义体现的基本思想是：先分后合、化曲为直(以不变代变)定积分的几何意义是指相应直线、曲线所围曲边梯形的面积要注意区分f(x)dx，|f(x)|dx及三者的不同茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。(2)微积分基本定理是计算定积分的一般方法，关键是求被积函数的原函数而求被积函数的原函数和求函数的导函数恰好互为逆运算，要注意它们在计算和求解中的不同，避免混淆鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。一、填空题(
7、本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)1已知函数f(x)ax2c，且f(1)2，则a的值为_解析：f(x)ax2c，f(x)2ax，f(1)2a，又f(1)2，a1.答案：12曲线yx34x在点(1，3)处的切线的倾斜角为_解析：y3x24，当x1时，y1，即tan 1.又(0，)，.答案：3已知函数f(x)x3ax2x18在(，)上是单调函数，则实数a的取值范围是_預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅绌鳆現檳硯遙枨纾釕鴨鋃蠟总鴯询喽箋。解析：由题意得f(x)3x22ax10在(，)上恒成立，因此4a2120a，所以实数a的取值范围是，渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞陉鳅陸蹕銻桢龕嚌
8、谮爺铰苧芻鞏東誶葦。答案：，4y2x33x2a的极大值为6，则a_.解析：y6x26x6x(x1)，令y0，则x0或x1.当x0时，ya，当x1时，ya1.由题意知a6.答案：65函数y的导数为_解析：y铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴楓鳄烛员怿镀鈍缽蘚邹鈹繽駭玺礙層談。.答案：6若(xk)dx，则实数k的值为_擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无貽鳃闳职讳犢繒笃绨噜钯組铷蟻鋨赞釓。解析：(xk)dxk，贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉匮鲻潰馒鼋餳攪單瓔纈釷祕譖钭弯惬閻。解得k1.答案：17函数f(x)x2ln x的单调递减区间是_解析：f(x)2x.令f(x)0，因为x(0，)，2x210，即0x0，当0x时，f
9、(x)时，f(x)0，f(x)为增函数，依题意得1k.恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦聰櫻郐燈鲦軫惊怼骥饌誚層糾袄颧颅氢檣亿撐。答案：13周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_解析：设矩形一边长为x cm，则邻边长为(10x)cm；体积Vx2(10x)(10x2x3)，由V(20x3x2)0得x0(舍去)，x可以判断x时，Vmax(cm3)鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫摇饬缗釷鲤怃诖讳緘貞楼剂镂蝕阔釔縮賭鶯燙。答案： cm314已知f(x)定义域为(0，)，f(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)xf(x)，则不等式f(x1)(x1)f(x21)的解集是_硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹鸶胶据
10、实鲣赢虧黾买硤鬓鸭怄萧锹诈趸办勞繞。解析：令g(x)xf(x)则g(x)f(x)xf(x)0.g(x)在(0，)上为减函数又f(x1)(x1)f(x21)，(x1)f(x1)(x21)f(x21)，阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖輛埙鵜蔹鲢幟簞硨虑嬰訖領袞薈铍綿頦统议蠱。x2.答案：x|x2二、解答题(本大题共6个小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分14分)已知函数f(x)ax2axb，f(1)2，f(1)1.氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩纷釓鄧鳌鲡貼閂銻響颟晋铴鲵舻邝滥臥阗块賃。(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在(1,2)处的切线方程解：(1)f(x)2axa，由已知得解得釷鹆資贏車贖孙滅獅赘慶獷緞瑋鲟将摇怼諳调馍躓潆脅踌懟档擻諞銖。所以f(x)x22x.(2)函数f(x)在(1,2)处的切线方程为y2x1，即xy10.16(本小题满分14分)求下列定积分(1)(1t3)dt；(2)(cos xex)dx；(3)dx.怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉馴鸨撟鉍鲞谣谧讳开疠蟯许轡缴谰刘緄諫巒題。解：(1)1t3，谚辞調担鈧谄动禪泻類谨觋鸾帧鲜奧淨黾违坛拦聰囈編诖骈贰伤踪鸛。(1t3)dt(24).嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩癱恳迹见鲛請綃硨標霽颌穑缂绷蝾鑄陝筚扫咛。(2)(sin xex)cos xex，(cos xex)dx
