《高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数讲义（含解析）苏教版选修2_2.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数讲义（含解析）苏教版选修2_2.doc（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12.3 简单复合函数的导数对应学生用书P11已知函数f(x)sin，g(x)(3x2)2.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。问题1：这两个函数是复合函数吗？提示：是复合函数问题2：试说明g(x)(3x2)2是如何复合的？提示：函数g(x)(3x2)2是由 g(u)u2，u3x2复合而成的问题3：试求g(x)(3x2)2，g(u)u2，u3x2的导数提示：g(x)(3x2)29x212x418x12.g(u)2u，u3.聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。问题4：观察问题3中导数有何关系？提示：g(x)g(u)u.若yf(u)，uaxb，则
2、yxyuux，即yxyua.1求复合函数的导数，关键在于分清函数的复合关系，选好中间变量2利用复合关系求导前，若函数关系可以化简，则先化简再求导会更简单3判断复合函数的复合关系的一般方法是：从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数 残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。复合函数的求导例1求下列函数的导数(1)y；(2)ye0.05x1；(3)ycos(x)(其中、为常数)；(4)ylog2(53x)思路点拨先分清
3、函数自身结构，再合理地选取中间变量，利用复合函数的求导法则求解精解详析(1)y(2x3)是函数yu，u2x3的复合函数，酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。所以yxyuux(u)(2x3)u23u3(2x3).彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。(2)ye0.05x1是函数yeu，u0.05x1的复合函数，所以yxyuux(eu)(0.05x1)謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。0.05eu0.05e0.05x1.(3)ycos(x)是ycos u，ux的复合函数，所以yxyuux(cos u)(x)sin usi
4、n(x)(4)ylog2(53x)是ylog2u，u53x的复合函数，所以yxyuux(log2u)(53x)3厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。.一点通对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解求导回代”，即：(1)弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。1若函数f(x)ln，则f(x)_.解析：f(x)ln是f(u)ln u与u的复合函数，鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。所以yxyuux(ln u)籟
5、丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅绌鳆現檳硯遙枨纾釕鴨鋃蠟总鴯询喽箋。答案：2函数ysin3xsin x3的导数为_解析：y(sin3xsin x3)(sin3x)(sin x3)3sin2xcos xcos x33x23sin2xcos x3x2cos x3.答案：3sin2xcos x3x2cos x33求下列函数的导数：(1)ye2x23x；(2)y.解：(1)yeu，u2x23x，所以yxyuuxeu(2x23x)eu(4x3)(4x3)e2x23x.(2)y(13x)4，可设yu4，u13x，yu4u5，ux3，yxyuux4u5
6、(3)12(13x)5.求导法则的综合应用例2求下列函数的导数(1)y31xsin(2x1)；(2)y.思路点拨根据导数的运算法则及复合函数的求导公式求解精解详析(1)y(31x)sin(2x1)31xsin(2x1)31xln 3sin(2x1)31x2cos(2x1)31x2cos(2x1)sin(2x1)ln 3(2)y渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞陉鳅陸蹕銻桢龕嚌谮爺铰苧芻鞏東誶葦。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴楓鳄烛员怿镀鈍缽蘚邹鈹繽駭玺礙層談。擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无貽鳃闳职讳犢繒笃绨噜钯組铷蟻鋨赞釓。 .一点通(1)利用加减乘除四则运算与复合生成函数的方法，都能由基本初等函数生成一些新
7、的函数，认清这一点可帮助我们分析函数结构贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉匮鲻潰馒鼋餳攪單瓔纈釷祕譖钭弯惬閻。(2)认清函数结构之后，不要急于求导，应注意恰当利用代数、三角变换方法，化简函数解析式，以达到准确套用法则，明确求导过程的目的坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱釣缋鲸鎦潿硯级鹉鄴椟项邬瑣脐鯪裣鄧鯛。4若函数f(x)xcos 2x，则f(x)_.解析：f(x)xcos 2xx(cos 2x)cos 2x2xsin 2x.答案：cos 2x2xsin 2x5求下列函数的导数：(1)y；(2)ysin2(1x)蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦繯颓鲷洁遲銻鹂迳睁張晕辯滾癰學鸨朮刭。解：(1)y .(2)ysin2(1x
8、)1cos(22x)買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄届嬌擻歿鲶锖够怿輿绸養吕諄载殘撄炜豬铥嵝。cos(22x)cos(2x2)綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴飙钪麦蹣鲵殘荩讳创户軾鼹麗躑時嘮犖鈞泞椁。ysin(2x2)复合函数导数的应用例3已知函数f(x)ax22ln(2x)(aR)，设曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线为l，若l与圆C：x2y2相切，求a的值驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦諑琼针咙鲲鏵鲠黾诂鰒猫餑矫赖懾鷗邻嫱鏹癣。思路点拨.猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑献鵬缩职鲱样犧硯嬸軼產锺銪貸崳门騭荧愛缪。精解详析f(x)a(x2)2(2x)2ax，f(1)2a2，又f(1)a2ln 1a，切线l的方程为ya2(a1)(x1)
9、，即2(a1)xya20.直线l与圆C：x2y2 相切，圆心(0,0)到直线l的距离为，所以有，解得a.锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔嗚訝摈馍鲰钵鈳銻趨線賜辭尋谳殼車墾骝颁许。a的值为.一点通有了复合函数的求导法则，可以求导的函数类型更加丰富了在实际应用中，先要准确求出函数的导数，然后注意切线的定义，导数的几何意义以及直线方程的求法的综合应用構氽頑黉碩饨荠龈话骛門戲鷯瀏鲮晝崃怿挟懺潆说荚諼嘰虽涤漬确轾。6函数ycos 2x在点处的切线方程是_輒峄陽檉簖疖網儂號泶蛴镧釃邊鲫釓袜讳铈骧鹳蔦馳诸寫簡腦轅騁镀。解析：y2sin 2x，k2sin2.切线方程为y02，尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅瀝纰縭垦鲩换鹊黾淺赖謬纩斃
10、誅兩欤辈啬紳骀。即2xy0.答案：2xy07求yln(2x3)的导数，并求在点处切线的倾斜角识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒侬减攙苏鲨运著硯闋签泼熾赇讽鸩憲餘羁鸲傘。解：令yln u，u2x3，则yxyuux(ln u)(2x3)2.凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴铍賄鹗骥鲧戲鋃銻瞩峦鳜晋净觸骝乌噠飑罗奐。当x时，y1，即在处切线的倾斜角的正切值为1，恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦聰櫻郐燈鲦軫惊怼骥饌誚層糾袄颧颅氢檣亿撐。所以倾斜角为.8设曲线yex(x0)在点M(t，et)处的切线l与x轴，y轴围成的三角形面积为S(t)(1)求切线l的方程；(2)求S(t)的解析式解：yex，y(ex)ex，y|xtet.故切线方程为yet
11、et(xt)，即xety(t1)0.(2)令y0得xt1.令x0得yet(t1)S(t)(t1)et(t1)(t1)2et(t0)求复合函数导数的技巧及注意点(1)对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数，关键仍然在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，熟用复合函数求导法则，迅速正确地求出导数鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫摇饬缗釷鲤怃诖讳緘貞楼剂镂蝕阔釔縮賭鶯燙。(2)在复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数，可以直接应用公式和法则，从最外层开始由表及里逐层求异硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹鸶胶据实鲣赢虧黾买硤鬓鸭怄萧锹诈趸
12、办勞繞。(3)灵活运用复合函数的求导法则，正确地进行求导运算，树立多角度、换方位思考问题的意识，达到优化解题思维、简化解题过程的目的阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖輛埙鵜蔹鲢幟簞硨虑嬰訖領袞薈铍綿頦统议蠱。对应课时跟踪训练(五)一、填空题1设函数f(x)sin(4x2)，则f(x)_.解析：f(x)sin(4x2)，f(x)sin(4x2)4cos(4x2)答案：4cos(4x2)2(全国大纲卷改编)曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于_解析：yex1xex1，故曲线在点(1,1)处切线的斜率为y|x12.答案：23设曲线yf(x)eax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_.氬嚕躑竄
13、贸恳彈瀘颔澩纷釓鄧鳌鲡貼閂銻響颟晋铴鲵舻邝滥臥阗块賃。解析：切线与直线x2y10垂直，切线的斜率k2.又f(x)(eax)aeax，kf(0)a2.答案：24函数yxsincos的导数为_釷鹆資贏車贖孙滅獅赘慶獷緞瑋鲟将摇怼諳调馍躓潆脅踌懟档擻諞銖。解析：yxsincossin(4x)sin 4x，怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉馴鸨撟鉍鲞谣谧讳开疠蟯许轡缴谰刘緄諫巒題。ysin 4x(sin 4x)谚辞調担鈧谄动禪泻類谨觋鸾帧鲜奧淨黾违坛拦聰囈編诖骈贰伤踪鸛。sin 4x2xcos 4x.答案：sin 4x2xcos 4x5已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为_解析：设切点为(x0，y0)，则y0x01，且y0ln(x0a)，所以x01ln(x0a)对yln(xa)求导得y，则1，x0a1，
