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1、 1 第四讲 数学归纳法证明不等式 2 一 数学归纳法 3 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 4 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 数学归纳法的概念 一般地 当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数 n都成立时 可以用以下两个步骤 1 证明当n n0时命题成立 2 假设当n k k N 且k n0 时命题成立 证明n k 1时命题也 成立 在完成了这两个步骤后 就可以断定命题对于不小于n0的所有
2、正 整数都成立 这种证明方法称为数学归纳法 名师点拨数学归纳法与归纳法的关系 归纳法是由一系列特殊事例得出一个结论的推理方法 它属于归 纳推理 而数学归纳法是一种演绎推理方法 是一种证明命题的方 法 5 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 答案 D 6 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 2 数学归纳法的步骤 名师点拨1 数学归纳法的两个步骤缺一不可 第一步中验证n的 初始值至关重要 它是递推的基础 但n的初始值
3、不一定是1 而是n的 取值范围内的最小值 2 第二步证明的关键是运用归纳假设 在使用归纳假设时 应分析 p k 与p k 1 的差异与联系 利用拆 添 并 放 缩等手段 或从 归纳假设出发 从p k 1 中分离出p k 再进行局部调整 7 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 做一做2 利用数学归纳法证明不等式 n 2 n N 的过程中 由n k到n k 1时 左边增加了 A 1项 B k项 C 2k 1项D 2k项 答案 D 8 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIAN
4、CE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n 1时结论成立 2 所有与正整数有关的数学命题都可以用数学归纳法证明 3 用数学归纳法证明问题时 只要推理过程正确 归纳假设可以 不用 4 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1 时 项数都增加了一项 9 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 用数学归纳法证明整除问题 例1 用数学归纳法证明
5、3n 1 7n 1 n N 能被9整除 分析 在第二步证明中 注意利用归纳假设 对当n k 1时的式子 进行合理变形 证明 1 当n 1时 3 1 1 7 1 27能被9整除 命题成立 2 假设当n k k 1 时命题成立 即 3k 1 7k 1能被9整除 当n k 1时 3 k 1 1 7k 1 1 3k 1 7k 1 1 3 7k 1 3k 1 7k 1 6 3k 1 7k 3 7k 1 3k 1 7k 1 9 2k 3 7k 因为 3k 1 7k 1和9 2k 3 7k都能被9整除 所以 3k 1 7k 1 9 2k 3 7k能被9整除 即当n k 1时命题成立 由 1 2 可知 3n
6、1 7n 1 n N 能被9整除 10 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟用数学归纳法证明整除问题时 首先从要证的式子中拼 凑出假设成立的式子 然后证明剩余的式子也能被某式 数 整除 其 中的关键是 凑项 可采用增项 减项 拆项和因式分解等方法分 析出因子 从而利用归纳假设使问题得到解决 11 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练1 用数学
7、归纳法证明 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 其中n N a R 证明 1 当n 1时 an 1 a 1 2n 1即为a2 a 1 能够被a2 a 1整 除 命题成立 2 假设当n k k 1 时命题成立 即ak 1 a 1 2k 1能够被a2 a 1 整除 当n k 1时 ak 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 1 a 1 2k 1 a 1 2k 1 a2 a 1 由归纳假设知 上式能够被a2 a 1整除 即当n k 1时命题成立 由 1 2 可知 命题
8、对任意n N 都成立 12 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 用数学归纳法证明等式 例2 用数学归纳法证明 分析 按照数学归纳法的步骤进行证明 注意第二步中合理运用 归纳假设 13 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 1 左边 右边 命题成立 即当n k 1时命题成立 由 1 2 可知 命题对任意n N 都成立 14
9、一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 反思感悟应用数学归纳法证明等式时应注意的问题 1 第一步的验证 对于有些问题验证的并不是n 1 有时需验证 n 2或n 3等 2 注意当n k 1时式子的项数 特别是寻找n k与n k 1的关系式 之间的关系时 项数发生变化容易被弄错 因此对当n k与n k 1时 关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障 3 在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设 否则这样的证明 就不再是数学归纳法 15 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE
10、新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练2 用数学归纳法证明 1 3 2 5 22 2n 1 2n 1 2n 2n 3 3 n N 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 2 2 3 3 1 左边 右边 命题成 立 2 假设当n k k 1 时命题成立 即1 3 2 5 22 2k 1 2k 1 2k 2k 3 3 当n k 1时 1 3 2 5 22 2k 1 2k 1 2k 1 2k 2k 2k 3 3 2k 1 2k 2k 4k 2 3 2k 1 2 k 1 3 3 即当n k 1时命题成立 由 1 2 知
11、 命题对任何n N 都成立 16 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 用数学归纳法证明平面几何问题 例3 平面内有n个圆 任意两个圆都相交于两点 任意三个圆 不相交于同一点 求证这n个圆将平面分成f n n2 n 2 n N 个部 分 分析 因为f n 为n个圆把平面分割成的区域数 所以再有一个圆 和这n个圆相交 就有2n个交点 这些交点将增加的这个圆分成2n段 弧 且每一段弧又将原来的平面区域一分为二 所以增加一个圆后 平面分成的区域数增加2n个 即f n 1 f n 2n
12、 17 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 证明 1 当n 1时 一个圆将平面分成两个部分 且f 1 1 1 2 2 所以当n 1时命题成立 2 假设当n k k 1 时命题成立 即k个圆把平面分成f k k2 k 2 个部分 当n k 1时 在k 1个圆中任取一个圆O 剩下的k个圆将平面分成 f k 个部分 而圆O与这k个圆有2k个交点 这2k个点将圆O分成2k段 弧 每段弧将原平面一分为二 得f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 故当n k
13、 1时命题成立 由 1 2 可知 对一切n N 命题成立 即这n个圆将平面分成 f n n2 n 2个部分 n N 18 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 变式训练3 平面上有n n N 条直线 其中任意两条直线不平 行 任意三条直线不过同一点 求证 这n条直线把平面分成 个部分 证明 1 当n 1时 一条直线把平面分成2部分 2 假设当n k k 1 时命题成立 即k条直线把平面分成 当n k 1时 即增加一条直线l 因为任何两条直线都相交 所以l与 k条直线都相交 有k
14、个交点 又因为任何三条直线不共点 所以这k个 交点不同于k条直线的交点 且k个交点也互不相同 所以k个交点把 直线l分成 k 1 段 每一段把它所在的平面区域分成2部分 故新增 加了 k 1 个部分 19 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 即当n k 1时命题也成立 由 1 2 知 命题对任何n N 都成立 20 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 证明过
15、程中未用归纳假设致错 即当n k 1时命题成立 由 1 2 知 命题对n N 成立 21 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 探究一探究二探究三思维辨析 即当n k 1时命题成立 由 1 2 知 命题对n N 成立 纠错心得本题的错误在于证明当n k 1命题成立这一步骤时 没 有运用归纳假设 而是直接利用等比数列的前n项和公式求得 这不 是用数学归纳法证明问题 是错误的 22 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页
16、探究一探究二探究三思维辨析 即当n k 1时命题成立 由 1 2 知 命题对于任意的n N 都成立 23 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 1 在用数学归纳法证明凸多边形内角和定理时 第一步应验证 A n 1成立B n 2成立 C n 3成立D n 4成立 解析 凸n边形的内角和为 n 2 最少边的凸n边形为三角形 所以 应验证当n 3时成立 答案 C 24 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2 3 4 5 2 用数学归纳法证明1 a a2 an 1 n N a 1 在验证 当n 1时 左边所得的项为 A 1B 1 a a2 C 1 aD 1 a a2 a3 解析 因为当n 1时 an 1 a2 所以此时式子左边 1 a a2 答案 B 25 一 数学归纳法XINZHIDAOXUE 新知导学 DANGTANGJIANCE 当堂检测 DAYIJIEHUO 答疑解惑 首页 1 2
