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1、1 4 2 正弦函数 余弦函数的性质 一 第一章 1 4 三角函数的图象与性质 学习目标 1 了解周期函数 周期 最小正周期的定义 2 会求函数y Asin x 及y Acos x 的周期 3 掌握函数y sin x y cos x的奇偶性 会判断简单三角函数的 奇偶性 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 函数的周期性 思考1 如果函数f x 满足f x 3 f x 那么3是f x 的周期吗 答案 不一定 必须满足当x取定义域内的每一个值时 都有f x 3 f x 才可以说3是f x 的周期 思考2 所有的函数都具有周期性吗 答案 不是 只有同时符合周期函数定义中的两个
2、条件的函数才具有 周期性 梳理 函数的周期性 1 对于函数f x 如果存在一个 使得当x取定义域内的 值时 都有 那么函数f x 就叫做周期函数 叫做这个函数的周期 2 如果在周期函数f x 的所有周期中存在一个 那么这个最 小正数叫做f x 的 非零常数T每一 个f x T f x 非零常数T 最小的正数 最小正周期 知识点二 正弦函数 余弦函数的周期性 思考1 证明函数y sin x和y cos x都是周期函数 答案 sin x 2 sin x cos x 2 cos x y sin x和y cos x都是周期函数 且2 就是它们的一个周期 思考2 证明函数f x Asin x 或f x
3、Acos x A 0 是周 期函数 答案 由诱导公式一知 对任意x R 都有Asin x 2 Asin x 同理 函数f x Acos x A 0 也是周期函数 梳理 由sin x 2k cos x 2k k Z 知 y sin x与y cos x都是 函数 都是它们的周期 且它们的 最小正周期都是 sin xcos x 周期2k k Z且k 0 2 知识点三 正弦函数 余弦函数的奇偶性 思考 对于x R sin x sin x cos x cos x 这说明正弦函 数 余弦函数具备怎样的性质 答案 奇偶性 梳理 1 对于y sin x x R 恒有sin x sin x 所以正弦函数y si
4、n x是 函数 正弦曲线关于 对称 2 对于y cos x x R 恒有cos x cos x 所以余弦函数y cos x是 函数 余弦曲线关于 对称 奇原点 偶y轴 思考辨析 判断正误 1 函数f x x2满足f 3 6 f 3 所以f x x2是以6为周期的周期 函数 提示 周期函数需满足对定义域内每一个值x 都有f x T f x 对于 f x x2 f 0 0 f 0 6 f 6 36 f 0 f 0 6 f x x2不是以6 为周期的周期函数 2 周期函数y f x 的定义域可以为 a b a b R 提示 周期函数的定义域一定为无限集 且无上下界 3 任何周期函数都有最小正周期 提
5、示 常函数f x c 任意一个正实数都是其周期 因而不存在最小正 周期 答案提示 题型探究 类型一 三角函数的周期性 例1 求下列函数的最小正周期 解答 函数f x sin z的最小正周期是2 即变量z只要且至少要增加到z 2 函数f x sin z z R 的值才能重复取得 2 y sin x x R 解答 解 因为y sin x 其图象如图所示 所以该函数的最小正周期为 反思与感悟 对于形如函数y Asin x A 0时的最小正周期的 求法常直接利用T 来求解 对于y Asin x 的周期情况常结合图象 法来求解 跟踪训练1 2017 大同检测 下列函数是以 为周期的函数是 A y sin
6、 x B y sin x 2 C y cos 2x 2 D y cos 3x 1 答案解析 类型二 三角函数的奇偶性 例2 判断下列函数的奇偶性 解答 解 f x sin 2x x2sin x x R f x sin 2x x 2sin x sin 2x x2sin x f x f x 是奇函数 f x 既是奇函数又是偶函数 解答 反思与感悟 判断函数奇偶性应把握好两个关键点 关键点一 看函数的定义域是否关于原点对称 关键点二 看f x 与f x 的关系 对于三角函数奇偶性的判断 有时可根据诱导公式先将函数式化简后再 判断 跟踪训练2 若函数y cos x 是奇函数 则 A 0 B k k Z
7、 C k k Z D k 答案解析 解析 由函数y cos x 是奇函数 可知y cos x sin x或y cos x sin x 由诱导公式 得 k k Z 类型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用 解 f x 的最小正周期是 又 f x 是R上的偶函数 解答 解答 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 0 同理 可得每连续六项的和均为0 f 1 f 2 f 3 f 2 020 f 2 017 f 2 018 f 2 019 f 2 020 反思与感悟 当函数值的出现具有一定的周期性时 可以首先研究它在 一个周期内的函数值的变化情况 再给予推广求值 答案解析 f 1 f 2 f
8、 3 f 2 015 f 2 016 f 2 017 f 2 018 336 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 2 017 f 2 018 f 336 6 1 f 336 6 2 336 0 f 1 f 2 达标检测 答案解析 1 2017 金华十校期末 设函数f x cos x 0 则f x 的奇偶性 A 与 有关 且与 有关 B 与 有关 但与 无关 C 与 无关 且与 无关 D 与 无关 但与 有关 12345 解析 因为当 k k Z时 函数f x cos x cos x 为偶函 数 sin x 为奇函数 所以f x 的奇偶性与 无关 但与 有关 A 最小正周期为 的
9、奇函数 B 最小正周期为 的偶函数 答案解析 12345 f x cos 2x 又f x cos 2x cos 2x f x f x 是最小正周期为 的偶函数 答案解析 12345 答案解析 12345 12345 5 2017 广州六中期末 已知函数f x ax bsin x 1 若f 2 018 7 则 f 2 018 解析 由f 2 018 2 018a bsin 2 018 1 7 得2 018a bsin 2 018 6 f 2 018 2 018a bsin 2 018 1 2 018a bsin 2 018 1 6 1 5 5 答案解析 规律与方法 1 求函数的最小正周期的常用方法 1 定义法 即观察出周期 再用定义来验证 也可由函数所具有的某些 性质推出使f x T f x 成立的T 2 图象法 即作出y f x 的图象 观察图象可求出T 如y sin x 3 结论法 一般地 函数y Asin x 其中A 为常数 A 0 0 x R 的周期T 2 判断函数的奇偶性 必须坚持 定义域优先 的原则 准确求函数定 义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键 如果定义域关于原点对 称 再看f x 与f x 的关系 从而判断奇偶性
