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1、第三章圆1.解决与弦有关的问题垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、圆心到弦的距离等问题的方法构造直角三角形;在圆中解决与弦有关问题经常作的辅助线圆心到弦的距离.矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。【例】如图,平面直角坐标系中,P与x轴分别交于A,B两点,点P的坐标为(3,-1),AB=2.(1)求P的半径.(2)将P向下平移,求P与x轴相切时平移的距离.【标准解答】(1)作PCAB于C,连接PA.AC=CB=AB.AB=2,AC=.点P的坐标为(3,-1),PC=1.在RtPAC中,PCA=90,PA=2.P的半径为2.(2)将P向下平移,P与x轴相切时平移的距
2、离为2-1=1.1.如图,O的直径CD=5cm,AB是O的弦,ABCD,垂足为M,OMOD=35.则AB的长是()聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.2cm1题图2题图2.如图O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,A=22.5,OC=4,则CD的长为()A.2B.4C.4D.83.O过点B,C,圆心O在等腰直角ABC内部,BAC=90,OA=1,BC=6,则O的半径为()残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。A.B.2C.D.32.与圆心角、圆周角有关的问题(1)利用圆周角定理将圆心角与圆周角进行转化.(2
3、)利用同弧所对的圆周角相等进行角与角的转化.(3)利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形,为勾股定理、解直角三角形等知识的应用创造条件.(4)利用圆内接四边形的性质求圆心角或圆周角.【例1】如图,O中,弦AB,CD相交于点P,若A=30,APD=70,则B等于()A.30B.35C.40D.50【标准解答】选C.APD是APC的外角,APD=C+A;A=30,APD=70,C=APD-A=40.B=C=40.【例2】如图,将三角板的直角顶点放在O的圆心上,两条直角边分别交O于A,B两点,点P在优弧AB上,且与点A,B不重合,连接PA,PB,则APB的大小为度.酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄
4、粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。【标准解答】AOB与APB为所对的圆心角和圆周角,APB=AOB=90=45.答案:45【例3】如图,O是ABC的外接圆,CD是直径,B=40,则ACD的度数是.【标准解答】连接AD,CD是直径,CAD=90,B=40,D=40,ACD=50.答案:50【例4】如图,四边形ABCD内接于O,ADBC,DAB=49,则AOC的度数为.【标准解答】如图,在上取点M,连接AM,CM,ADBC,DAB=49,ABC=131,M=49,AOC=98.答案:981.如图,O的直径CDAB,AOC=50,则CDB的大小为()A.25B.30C.40D.501题图2题图3题图2.
5、如图,AB是O的直径,C,D,E都是O上的点,则ACE+BDE=()A.60B.75C.90D.1203.如图,在O的内接五边形ABCDE中,CAD=35,则B+E=.4.如图,AB是O的直径,C是弧AE的中点,CDAB于D,交AE于F,连接AC,试证明AF=CF.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。3.切线的判定与性质(1)切线的三种判定方法从公共点的个数来判断:直线与圆有且只有一个公共点;从圆心到直线的距离来判断:圆心到直线的距离等于圆的半径;应用判定定理:经过半径外端且与半径垂直.(2)利用切线的判定定理的两个思路连半径,证垂直:若已知直线与圆有公共点,则连接圆
6、心和公共点,证明垂直.作垂线,证等径:若直线与圆的公共点没有确定,则过圆心作直线的垂线,证明圆心到直线的距离等于半径.(3)切线性质应用的两个思路有切点:连接切点和半径,必垂直,建直角三角形;无切点:过圆心作半径,必垂直,得切点,建直角三角形.【例1】如图,在ABC中,C=90,ABC的平分线交AC于点E,过点E作BE的垂线于点F,O是BEF的外接圆.謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。(1)求证:AC是O的切线.(2)过点E作EHAB于点H,求证:CD=HF.【信息解读破译解题秘钥】条件直译为:CBE=FBE.条件翻译为:BF为圆O的直径.破译:连接OE,则可得OB
7、E=OEB,整合条件,可得OEBC.破译:整合条件得到OEAC,进而得到AC是O的切线.条件翻译为:=,进而得到DE=EF.破译:整合条件,得到CE=EH.破译:整合条件,得到ECDEHF,进而得到CD=HF.【标准解答】(1)连接OE.BEEF,BEF=90,BF为O的直径.BE平分ABC,OBE=CBE.OB=OE,OBE=OEB.CBE=OEB.OEBC.OEA=C=90.OEAC.AC是O的切线.(2)连接DE.OBE=CBE,=.DE=EF.BE平分ABC,ECBC,EHAB,EC=EH.又C=EHF=90,DE=EF,RtDCERtFHE.CD=HF.【例2】如图,在O中,AB,C
8、D是直径,BE是切线,B为切点,连接AD,BC,BD.(1)求证:ABDCDB.(2)若DBE=37,求ADC的度数.【标准解答】(1)AB,CD是直径,ADB=CBD=90,在ABD和CDB中,RtABDRtCDB(HL).(2)BE是切线,ABBE,ABE=90,DBE=37,ABD=53,OA=OD,BAD=ODA=90-53=37,ADC的度数为37.1.如图,以ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连接AD交BC于F,若AC=FC.厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。(1)求证:AC是O的切线.(2)
9、若BF=8,DF=,求O的半径r.2.如图,AB为O的直径,PD切O于点C,交AB的延长线于点D,且D=2CAD.(1)求D的度数.(2)若CD=2,求BD的长.3.如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,过点D作DFAC于点F.茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。(1)试说明DF是O的切线.(2)若AC=3AE,求tanC.4.三角形的外接圆与内切圆(1)三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形三个顶点的距离都相等.直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半.鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维
10、覦門剛慘。(2)三角形的内心是三角形三条角平分线的交点,它到三角形三条边的距离相等.直角三角形内切圆的半径r=(其中a,b为直角边,c为斜边).籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。【例1】如图,ABC的外心坐标是.【标准解答】ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,作图如图,EF与MN的交点O即为所求的ABC的外心,ABC的外心坐标是(-2,-1).答案:(-2,-1)【例2】ABC的内切圆O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=9cm,BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的长.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅绌鳆現檳硯遙枨纾釕鴨鋃蠟总鴯询喽箋
11、。【标准解答】根据切线长定理,设AE=AF=xcm,BF=BD=ycm,CE=CD=zcm.根据题意,得渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞陉鳅陸蹕銻桢龕嚌谮爺铰苧芻鞏東誶葦。解得即AF=4cm,BD=5cm,CE=9cm.1.如图所示,ABC内接于O,若OAB=28,则C的大小是()A.56B.62C.28D.321题图2题图2.如图,已知O是边长为2的等边ABC的内切圆,则O的面积为.5.正多边形的有关计算正多边形的半径、边心距、边长的一半构成一个直角三角形.正多边形的有关计算问题都可归结到这个直角三角形中.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴楓鳄烛员怿镀鈍缽蘚邹鈹繽駭玺礙層談。【例】一个正三角形和一个正六边
12、形的面积相等,求它们边长的比.【标准解答】如图,设O,O分别是正三角形ABC、正六边形EFGHIJ的中心,分别作ODBC于D,作OKGH于K,连接OB,OG,则在RtODB中,BOD=擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无貽鳃闳职讳犢繒笃绨噜钯組铷蟻鋨赞釓。60,BD=a3,OBD=30.OB=2OD=2r3,由勾股定理得OB2=OD2+BD2,即(2r3)2=+(a3)2解得r3=a3,S3=6SBOD=6BDOD=6a3a3=.同理可得S6=12SOGK=12GKOK=12a6a6=,贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉匮鲻潰馒鼋餳攪單瓔纈釷祕譖钭弯惬閻。S3=S6,=,=.=,即a3a6=1.1.如图,正六边
13、形ABCDEF内接于O,若直线PA与O相切于点A,则PAB=()A.30B.35C.45D.601题图2题图2.如图,O是正五边形ABCDE的外接圆,这个正五边形的边长为a,半径为R,边心距为r,则下列关系式错误的是()坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱釣缋鲸鎦潿硯级鹉鄴椟项邬瑣脐鯪裣鄧鯛。A.R2-r2=a2B.a=2Rsin 36C.a=2rtan 36D.r=Rcos 363.图是我们常见的地砖上的图案,其中包含了一种特殊的平面图形正八边形.(1)如图,AE是O的直径,用直尺和圆规作O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法,保留作图痕迹).蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦繯颓鲷洁遲銻鹂迳睁張晕辯滾癰學鸨朮刭。(2)在(1)的前提下,连接OD,已知OA=5,若扇形OAD(AOD180)是一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径等于.買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄届嬌擻歿鲶锖够怿輿绸養吕諄载殘撄炜豬铥嵝。6.求阴影部分面积的方法(1)割补法将不规则图形进行割补转化为规则图形来计算
