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1、第五单元圆教 学 设 计第5课时解决实际问题教学内容人教版六年级上册教材第6970页例3及相关练习。内容简析例题以中国古建筑中“外方内圆”和“外圆内方”两种经典设计为情景,直观清晰地提出了需要解决的数学问题求正方形与圆之间的那部分面积。两个图中的圆大小相同,但正方形的位置与大小都不同。很自然地引出一个问题:中间部分的面积与圆的面积有没有关系?有什么样的关系?例3给出一个特殊的圆半径1 m,先解决特殊问题,在“反思”部分再讨论一般性的规律。教学中,引导学生根据图示寻找正方形与圆之间的关系。第一个图,很容易看出正方形的边长就是圆的直径;第二个图,正方形的边长不知道,不能用边长的平方直接计算面积。此
2、时,就需要转换思路,将正方形看成两个底是圆的直径、高是圆的半径的三角形(或四个小三角形)。在“回顾与反思”这一环节,继续延伸,进一步探讨一般化的结论。教学目标1.使学生理解内接正方形和外切正方形的含义,掌握圆与内接正方形、外切正方形之间的面积的计算方法。2.经历问题解决的全过程,并在解决具体问题的基础上发现更为一般的数学规律,提高发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。3.通过正方形性质的教学培养学生探究、推理、归纳、迁移等能力。教学重点掌握圆与内接正方形、外切正方形之间的面积的计算方法。教学难点在解决问题的基础上发现数学规律。教法与学法1.本课时解决圆与内接正方形、外切正方形之间的面积
3、的计算时,引导学生在充分观察正方形与圆关系的基础上找出隐藏的条件,通过割补、转化的方式,寻找解决此类问题的一般思路,帮助学生建立数学模型。2.本课时学生的学习主要是通过观察、讨论、交流、总结、归纳、抽象、概括等方法来学习圆与内接正方形、外切正方形之间的面积的计算,引导学生合作探究。承前启后链教学过程一、情景创设,导入课题 情景展示法:播放课件,呈现中国古建筑中“外方内圆”和“外圆内方”两种经典设计,引导学生比较两种设计的联系与区别,然后提出问题:如果两个圆的半径都是1 m,你能求出正方形和圆之间的面积吗?引出课题。【品析:借助中国古建筑中“外方内圆”和“外圆内方”两种经典设计,引导学生在观察的
4、基础上将生活图形抽象成数学图形,在问题中激发学生学习的热情,使学生产生学习的需求。】 实物展示法:教师出示一枚外圆内方的铜钱,然后提问,有谁知道为什么铜钱会是外圆内方的吗?学生讨论后,教师可以为学生讲述关于“孔方兄”方孔铜钱的由来。具体见本课时后的“备课资料包”。【品析:通过讲述“孔方兄”的故事,既为学生补充了知识,同时引起学生学习数学的兴趣,尤其是在讲述了方孔的作用,会使学生记忆深刻,为后续的学习奠定基础。】 操作引入法:教师首先出示一个圆,提问:你能在圆里和圆外画出一个最大的正方形吗?(学生操作)请你找出正方形和圆之间的部分,(学生操作)如果圆的半径是1 m,那么正方形和圆之间的面积是多少
5、?引出课题。【品析:通过学生操作引入,帮助学生理清正方形和圆之间的关系,在动手操作中突出问题,引发学生的思考,提高学生解决问题的积极性。】二、师生合作,探究新知 引领学生分析教材第69页例3中的主题图片,提取已知信息,并找出待解决的问题。(1)整理获得的信息。引导学生理解“外方内圆”和“外圆内方”,明确两种图形的样式。(2)尝试画图。引导学生画出“外方内圆”和“外圆内方”图形,并标出正方形和圆之间的部分,明确所求问题。自主学习,分组讨论,探究解题方法。 1.观察两种类型图,明确基本思路。图图(1)引导学生观察两种类型图,明确第一种计算方法:正方形的面积-圆的面积;第二种计算方法:圆的面积-正方
6、形的面积。(2)再次观察两种类型图,明确内接正方形和外切正方形的特征。引导学生在观察的基础上,初步明确什么是内接正方形和外切正方形,都有什么特征。提问:正方形的边长与圆的直径有什么关系?明确:外切正方形的边长和圆的直径相等,内接正方形的对角线与圆的直径相等。2.学生尝试解决外切正方形与圆之间的面积。(1)通过观察,学生容易看出,正方形的边长就是圆的直径。(2)外切正方形与圆之间部分的面积=正方形的面积-圆的面积。(3)学生独立计算,集体订正。3.学生尝试解决内接正方形与圆之间的面积。(1)怎样求内接正方形与圆之间的面积?再次明确:内接正方形与圆之间的面积=圆的面积-正方形的面积。(2)正方形的
7、面积怎样求?学生讨论,明确不能用边长边长直接求出正方形的面积。然后,小组合作讨论,思考:不能用边长边长求出面积,怎样求出正方形的面积呢?引导学生,将正方形转化为2个三角形或4个三角形。观察提示:(3)学生尝试解决。学生尝试练习。4.变式练习。(1)如果两个圆的半径是2 m或3 m,你还能求出正方形和圆之间的面积吗?(2)观察比较,分组练习,提问:你有什么发现?引导学生明确:圆的半径发生了变化,但思路没有变化。5.回顾与反思:形成一般性的结论。(1)如果两个圆的半径都是r,结果又是怎样的?外切正方形与圆之间的面积:(2r)2-3.14r2=0.86r2内接正方形与圆之间的面积:3.14r2-(2
8、rr2)2=1.14r2(2)当r=1 m、2 m、3 m时,和前面的结果完全一致吗?学生用一般规律再次计算,比较发现。生活中的数学。学生阅读教材第70页的课外资料,了解圆在生活中的应用。三、反馈质疑,学有所得在学习例3的基础上,引导学生充分经历外方内圆、外圆内方两种实际问题的计算过程,引导学生对知识点及时消化吸收,教师提出质疑问题。质疑:怎样计算外方内圆、外圆内方中正方形和圆之间的面积?学生在讨论后明确:要求正方形和圆之间的面积,关键在于转化。外方内圆中,正方形的边长实际就是圆的直径,因此正方形和圆之间部分的面积,就是用正方形的面积减去圆的面积;在外圆内方中,可以把正方形转化成两个三角形,三
9、角形的底和高分别是圆的直径和半径,从而求出正方形的面积,再用圆的面积减去正方形的面积即可。【品析:通过反馈质疑,帮助学生进一步巩固两种实际问题的解决策略,形成能力,突出学生的思考。】四、巩固应用,内化提升1.完成教材第70页“做一做”。独立完成,集体交流。【参考答案】242=12(cm)3.14122-241222=164.16(cm2)2.完成教材第72页“练习十五”第9题。独立完成,集体交流。追问:这道题能用我们的一般结论去解答吗?为什么?引导学生明确,正方形并非圆的内接正方形。3.完成教材第73页“练习十五”第10题。独立完成,集体交流。提问:周长是哪些部分?面积呢?你是怎样计算的?4.
10、完成教材第73页“练习十五”第11题。独立完成,集体交流。提问:怎样计算?【参考答案】9.22.52=11.25(mm)3.1411.252-66=361.40625(mm2)10.3.14322+1002=400.96(m)3.14322+100(322)= 9615.36(m2)11.3.1412=6.28(m)3.14(12)22+11=2.57(m2)五、课末小结,融会贯通通过本节课的学习,你有什么收获?【品析:通过总结巩固“外方内圆”“外圆内方”两种情况面积的计算方法。】六、教海拾遗,反思提升本课教学内容紧密联系生活实际和学生已有的知识,让学生在充分观察的基础上发现、比较内接正方形与
11、外切正方形的特征,通过寻求圆与正方形之间的关系,运用转化思想解决问题。教学中渗透“转化”思想,重视自主探究,发挥学生主体性,引导学生在操作中明确正方形和圆之间的部分,突出解决问题的思路,使学生经历操作、验证的学习过程。这样有序的学习,提高了学生的实践能力和创新意识。在问题解决后,引导学生进行变式练习,引导学生在充分掌握算法思路的基础上,再次比较发现,形成一般结论。我的反思:板书设计解决实际问题 练 习 十 五题型结构分析题号题型建议1填表这两道题是对圆的周长和面积的巩固练习,难度不大,可在课堂上完成。2看图计算3解决问题本题是圆在生活中的实际应用,实际是求半径是10 m的圆的面积,可在课堂上完
12、成。4解决问题根据周长求圆的面积,先要根据周长求出圆的半径。5解决问题关于圆环面积的计算,难度不大,可在课堂上完成。6解决问题圆环面积计算的变式题,和圆环面积的计算方法相同。7看图计算左图求周长,右图求面积,要注意观察图形,找出隐藏信息再计算。8解决问题找生活中的圆环,先测量尺寸,再进行计算。9解决问题圆在生活中的应用,注意观察图形。10解决问题计算组合图形的周长和面积,计算时注意不要把长方形的宽算进周长。11解决问题花瓣状门洞,是由4个直径相同的半圆和一个正方形组成的。12解决问题外围形状是圆形的土楼,占地面积相当于一个圆环的面积。13解决问题本题实际是求圆环的面积,可以根据题意画出示意图,
13、再观察计算。14解决问题圆在生活中的综合应用,有一定的难度。15填表探究正方形和内部最大圆的面积关系,需要理清思路,再比较发现。16解决问题探究周长一定时,怎样围图形的面积最大。17解决问题利用上一题的结论,解释生活中的现象。习题立体分析第1、2题:这两题是圆周长和面积计算的基本巩固练习,学生可以直接运用公式进行计算。第3题:本题是圆的面积的生活变式题,自动旋转喷灌装置所在位置就是圆心,射程就是圆的半径。第4题:解答时先要根据圆的周长求出圆的半径,再根据圆的面积公式求出面积。第5题:本题是圆环面积计算的对应练习,可以运用公式进行计算。此题告诉我们的是直径。第6题:本题是圆环面积的变式题,和圆环
14、面积的计算方法相同。第7题:左图是一个半圆环,其周长是由大圆周长的一半、小圆周长的一半和两个圆环宽组成的。右图的面积则根据圆环面积公式求出。第8题:本题是生活中圆环的实例。需要测量出必要的信息,再进行计算。第9题:本题是外圆内方的一种典型素材,但与教材例题不同,正方形不是内接正方形,圆的直径与正方形的对角线没有直接的联系。第10题:计算组合图形的周长和面积。需要学生充分观察图形,分别理解周长、面积各是图形的什么部分,由哪些部分组成,然后进行计算。第11题:本题是花瓣状门洞,学生可以将生活原型抽象成数学图形,然后观察思考,转化成求两个直径是1 m的圆的面积和边长是1 m的正方形的面积之和。第12
15、题:圆环在生活中的实际应用。房屋的占地面积相当于一个圆环的面积,可以运用圆环的面积直接进行计算得出。第13题:圆环面积的变式题,先要求出原来圆的半径,然后求出增加长度后的半径,最后求面积增加了多少。第14题:本题是和篮球场3分线有关的数学知识。3分线内区域的面积相当于这个圆面积的一半加上一个长13.5 m、宽1.575 m的长方形的面积。第15题:探究正方形和它内部最大圆的面积关系,它们的比是一个固定的值,是4。第16题:探究当周长一定时,围成什么图形的面积最大。引导学生通过实验的方法,假设用这根绳子围成正方形、长方形、三角形、圆等,再分别计算出它们的面积。第17题:运用第16题的结论解释生活中的实际问题。习题参考答案1.填表略2.3.14
