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1、基础保分练1.已知函数f(x)x22ln x，h(x)x2xa.(1)求函数f(x)的极值；(2)设函数k(x)f(x)h(x)，若函数在1,3上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.2.已知函数f(x)ln xa2x2ax(a1).(1)证明：函数f(x)在区间(1，)上是减函数；(2)当a1时，证明：函数f(x)只有一个零点.3.已知函数f(x)xexa(ln xx)，aR.(1)当ae时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围. 能力提升练4.已知函数f(x).(1)若函数g(x)xf(x)a在(，)上存在零点，求a的取值范围；(2)若f(x2)对x(1，
2、)恒成立，求a的取值范围.答案精析1.解(1)由题意知f(x)2x(x0)，令f(x)0，得x1.f(x)，f(x)随x的变化情况如下表所示：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以f(x)的极小值为f(1)1，无极大值.(2)因为k(x)f(x)h(x)2ln xxa，所以k(x)1，x0，令k(x)0，得x2.当x1,2)时，k(x)0.故k(x)在1,2)上单调递减，在(2,3上单调递增，所以所以22ln 21，2ax10，ax10，f(x)0.函数f(x)在(1，)上是减函数.(2)当a1时，f(x)ln xx2x，其定义域是(0，)，f(x)2x1.令f(x)0，即0，解得
3、x(舍去)或x1.当0x0；当x1时， f(x)0.函数f(x)在(0,1)上单调递增，在区间(1，)上单调递减.当x1时，函数f(x)取得最大值，其值为f(1)ln 11210，当x1时，f(x)f(1)，即f(x)0，故g(t)无零点；在a0，ge10时，由g(t)eta0可知g(t)在tln a时有唯一的一个极小值.g(ln a)a(1ln a).若0a0，g(t)无零点；若ae，g(t)min0，g(t)只有一个零点；若ae时，g(t)ming(ln a)a(1ln a)0，由于f(x)在xe时为减函数，可知ae时，eaaea2.从而g(a)eaa2，f(x)在(0，ln a)和(ln
4、 a，)上各有一个零点.综上讨论可知：当ae时f(x)有两个零点，即所求a的取值范围是(e，).能力提升练4.解(1)由题意得函数g(x)a，g(x)，x0.设p(x)2ln x1，则p(x)，当x(，)时，p(x)0，p(x)在(，)上单调递增，p(x)p()0.g(x)0，从而g(x)xf(x)a在(，)上单调递增.g()2(e1)a2e2，即a(2e2，).(2)令tx2，则f(x2)对x(1，)恒成立等价于t21aln t0对t(1，)恒成立.设h(t)t21aln t(t1)，则h(t)(t1)，当a2时，h(t)0，则h(t)在(1，)上单调递增，h(t)h(1)0，满足题意.当a2时，令h(t)0，得t1.令h(t)0得1t0得t.从而h(t)minh0对t(1，)不恒成立.综上，a的取值范围为(，2.
