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1、基础保分练1.已知函数f(x)x22ln x,h(x)x2xa.(1)求函数f(x)的极值;(2)设函数k(x)f(x)h(x),若函数在1,3上恰有两个不同的零点,求实数a的取值范围.2.已知函数f(x)ln xa2x2ax(a1).(1)证明:函数f(x)在区间(1,)上是减函数;(2)当a1时,证明:函数f(x)只有一个零点.3.已知函数f(x)xexa(ln xx),aR.(1)当ae时,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围. 能力提升练4.已知函数f(x).(1)若函数g(x)xf(x)a在(,)上存在零点,求a的取值范围;(2)若f(x2)对x(1,
2、)恒成立,求a的取值范围.答案精析1.解(1)由题意知f(x)2x(x0),令f(x)0,得x1.f(x),f(x)随x的变化情况如下表所示:x(0,1)1(1,)f(x)0f(x)极小值所以f(x)的极小值为f(1)1,无极大值.(2)因为k(x)f(x)h(x)2ln xxa,所以k(x)1,x0,令k(x)0,得x2.当x1,2)时,k(x)0.故k(x)在1,2)上单调递减,在(2,3上单调递增,所以所以22ln 21,2ax10,ax10,f(x)0.函数f(x)在(1,)上是减函数.(2)当a1时,f(x)ln xx2x,其定义域是(0,),f(x)2x1.令f(x)0,即0,解得
3、x(舍去)或x1.当0x0;当x1时, f(x)0.函数f(x)在(0,1)上单调递增,在区间(1,)上单调递减.当x1时,函数f(x)取得最大值,其值为f(1)ln 11210,当x1时,f(x)f(1),即f(x)0,故g(t)无零点;在a0,ge10时,由g(t)eta0可知g(t)在tln a时有唯一的一个极小值.g(ln a)a(1ln a).若0a0,g(t)无零点;若ae,g(t)min0,g(t)只有一个零点;若ae时,g(t)ming(ln a)a(1ln a)0,由于f(x)在xe时为减函数,可知ae时,eaaea2.从而g(a)eaa2,f(x)在(0,ln a)和(ln
4、 a,)上各有一个零点.综上讨论可知:当ae时f(x)有两个零点,即所求a的取值范围是(e,).能力提升练4.解(1)由题意得函数g(x)a,g(x),x0.设p(x)2ln x1,则p(x),当x(,)时,p(x)0,p(x)在(,)上单调递增,p(x)p()0.g(x)0,从而g(x)xf(x)a在(,)上单调递增.g()2(e1)a2e2,即a(2e2,).(2)令tx2,则f(x2)对x(1,)恒成立等价于t21aln t0对t(1,)恒成立.设h(t)t21aln t(t1),则h(t)(t1),当a2时,h(t)0,则h(t)在(1,)上单调递增,h(t)h(1)0,满足题意.当a2时,令h(t)0,得t1.令h(t)0得1t0得t.从而h(t)minh0对t(1,)不恒成立.综上,a的取值范围为(,2.