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1、基础保分练1.(2019温州期末)已知函数f(x)aln xx2(2a1)x(aR)有两个不同的零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1，x2是f(x)的两个零点，证明：x1x22a.2.(2019台州模拟)已知函数f(x)xln(a0).(1)求f(x)的极值；(2)若当a2时，总存在x1x2使得f(x1)f(x2)m，求m的取值范围.3.(2019丽水模拟)已知函数f(x)xexa(x1)2(其中e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设a0，x1，x2是f(x)xexa(x1)2的两个零点，证明：f0.能力提升练4.(2019浙江省绿色联盟模拟)已知函数f(x)ln
2、x，g(x)ax2bx(a0，bR).(1)若a2，b3，求函数F(x)f(x)g(x)的单调区间；(2)若函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)，记x0，设f(x)，g(x)分别是f(x)，g(x)的导函数，证明：f(x0)g(x0).答案精析基础保分练1.(1)解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x2a1.当a0时，易得f(x)0时，令f(x)0得xa，则列表如下：x(0，a)a(a，)f(x)0f(x)极大值f(x)maxf(x)极大值f(a)a(ln aa1).设g(x)ln xx1(x0)，g(x)10，则g(x)在(0，)上单调递
3、增.又g(1)0，0x1时，g(x)1时，g(x)0.(i)当01时，f(x)maxag(a)0，fa2)，h(x)10，h(x)在(2，)上单调递减则h(3a1)h(2)ln 220，f(3a1)ah(3a1)1，且当x(0，a)时，f(x)是增函数；当x(a，)时，f(x)是减函数.不妨设x1x2，则0x1a0，F(x)单调递增，又F(a)0，F(x)0，f(x)f(2ax)，x1(0，a)，f(x1)f(2ax1)，f(x1)f(x2)，f(x2)2ax1，x2x12a.2.解(1)因为f(x)xln(a0)，所以f(x)lnxln1，因为a0，所以x0)在上单调递增，在上单调递减，所以
4、f(x)极大值f.(2)总存在x1x2使得f(x1)f(x2)m可转化为考查方程f(x)m有两个不同的实根，求m的取值范围，也即把问题转化为先求f(x)xln的单调区间和值域，又由(1)可知，f(x)xln在上单调递增，在上单调递减，且f(2)0，f(x)极大值f，所以当x(，2)时，f(x)0；当x(2,0)时，即01，则ln0在(2,0)上恒成立，如图所示，因此总存在x1x2，使得f(x1)f(x2)m成立的m的取值范围为.3.(1)解因为f(x)xexa(x1)2，所以f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)，当a0时，ex2a0，令f(x)0，解得x1；令f(x)0，解得x
5、1.所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增.当a0时，ln(2a)0，解得x1或xln(2a)；令f(x)0，解得ln(2a)x1.所以f(x)在(，ln(2a)，(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上单调递减.当a时，f(x)0恒成立；所以f(x)在R上单调递增.当a1，令f(x)0，解得xln(2a)或x1；令f(x)0，解得1xln(2a).所以f(x)在(，1)，(ln(2a)，)上单调递增，在(1，ln(2a)上单调递减.综上，当a0时，f(x)的单调递增区间是(1，)，单调递减区间为(，1)；当a0时，f(x)的单调递增区间是(，ln(2a)和(1，)，单调递
6、减区间为(ln(2a)，1)；当a时，f(x)的单调递增区间是(，)，无单调递减区间；当a0时，f(x)在区间(1，)上单调递增，在区间(，1)上单调递减，不妨设x11x2.令F(x)f(x)f(2x)xexa(x1)2(2x)e-2-xa(x1)2xex(x2)e-2-x(x0，所以F(x)在(，1)上单调递增，所以F(x)F(1)0，所以f(x)f(2x)(x1)，所以f(x2)0f(x1)1，x21，f(x)在(1，)上单调递增，所以x22x1，即1，于是由(1)可知，f0得证.能力提升练4.(1)解由题可知，F(x)ln x2x23x，x(0，)，则F(x)4x3，当0x0，当x时，F(x)x2，令h(x)ln x(x1)，下证h(x)ln x2，等价于证ln x2，等价于证ln x2，令u(x)ln x，则u(x)0恒成立，所以u(x)u(1)2，所以a(x1x2)2b(x1x2)2，即f(x0)g(x0).
