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1、考点规范练64离散型随机变量的均值与方差考点规范练B册第48页基础巩固1.已知X的分布列如下表,设Y=2X+3,则E(Y)的值为()X-101P121316A.73B.4C.-1D.1答案A解析E(X)=-12+16=-13,E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-23+3=73.2.某日A,B两个沿海城市受台风袭击的概率相同,已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36,若用X表示这一天受台风袭击的城市个数,则E(X)=()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4答案D解析设A,B两城市受台风袭击的概率均为p,则A市或B市都不受台风袭击的概率为(1-p)2=1-0.36,解得p=0
2、.2或p=1.8(舍去),P(X=0)=1-0.36=0.64,P(X=1)=20.80.2=0.32,P(X=2)=0.20.2=0.04,故E(X)=00.64+10.32+20.04=0.4,故选D.3.已知随机变量满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2,若0p1p212,则()A.E(1)E(2),D(1)D(2)B.E(1)D(2)C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2)答案A解析E(1)=p1,E(2)=p2,E(1)E(2).D(1)=p1(1-p1),D(2)=p2(1-p2),D(1)-D(2)=(p1-p2)(1-p1-p2)0,故选A.
3、4.已知随机变量的分布列为123P0.5xy若E()=158,则D()等于()A.3364B.5564C.732D.932答案B解析由分布列的性质得x+y=0.5,又E()=158,所以2x+3y=118,解得x=18,y=38.故D()=1-158212+2-158218+3-158238=5564.5.某地区一模考试数学成绩X服从正态分布N(90,2),且P(X70)=0.2,从该地区参加一模考试的学生中随机抽取10名学生的数学成绩,数学成绩在70,110的人数记作随机变量,则的方差为()A.2B.2.1C.2.4D.3答案C解析由正态分布知,每名学生数学成绩在70,110的概率为2(0.
4、5-0.2)=0.6,所以10名学生的数学成绩在70,110的人数服从二项分布B(10,0.6),所以随机变量的方差为100.60.4=2.4.6.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的均值为.答案200解析记不发芽的种子数为Y,则YB(1 000,0.1),E(Y)=1 0000.1=100.又X=2Y,E(X)=E(2Y)=2E(Y)=200.7.有一批产品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若X表示取到次品的件数,则D(X)=.答案916解析由题意可知取到次品的概率为14,则XB3,14,故D(
5、X)=3141-14=916.8.生产A,B两种元件,其质量按测试指标分数进行划分,其中分数指标大于或等于82为正品,小于82为次品.现随机抽取这两种元件各100件进行检测,检测结果统计如下:测试指标分数70,76)76,82)82,88)88,94)94,100元件A81240328元件B71840296(1)试分别估计元件A、元件B为正品的概率;(2)生产1件元件A,若是正品,则可盈利40元;若是次品,则亏损5元;生产1件元件B,若是正品,则可盈利50元;若是次品,则亏损10元.在(1)的前提下.记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润,求随机变量X的分布列和均值;求生产5件元件B所获
6、得的利润不少于140元的概率.解(1)元件A为正品的概率约为40+32+8100=45.元件B为正品的概率约为40+29+6100=34.(2)生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况:A正B正,A次B正,A正B次,A次B次.随机变量X的所有取值为90,45,30,-15.P(X=90)=4534=35,P(X=45)=1-4534=320,P(X=30)=451-34=15,P(X=-15)=1-451-34=120.随机变量X的分布列为X904530-15P3532015120E(X)=9035+45320+3015+(-15)120=66.设生产的5件元件B中正品有n件,则次品有(
7、5-n)件.依题意得 50n-10(5-n)140,解得n196,故 n=4或n=5.设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件M,则P(M)=C5434414+345=81128.9.有甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点建设,为了对重点建设负责,政府到两建材厂抽样检查,他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指标,其分布列如下:X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求选择较高抗拉强度指数的材料,越稳定越好.试从均值与方差的指标分析该用哪个厂的材料.解E(X)=80.2+90.6+100.2=9,D(X)=
8、(8-9)20.2+(9-9)20.6+(10-9)20.2=0.4;E(Y)=80.4+90.2+100.4=9,D(Y)=(8-9)20.4+(9-9)20.2+(10-9)20.4=0.8.由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)D(Y),从而两厂材料的抗拉强度指数平均水平相同,但甲厂材料相对稳定,应选甲厂的材料.10.2017年3月,智能共享单车项目正式登陆某市,两种车型(“小绿车”“小黄车”)采用分时段计费的方式,“小绿车”每30分钟收费0.5元(不足30分钟的部分按30分钟计算);“小黄车”每30分钟收费1元(不足30分钟的部分按30分钟计算).甲、乙、丙三人相互独立地到租车点租
9、车骑行(各租一车一次).设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为34,23,12,三人的租车时间都不会超过60分钟.甲、乙均租用“小绿车”,丙租用“小黄车”.(1)求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率;(2)设甲、乙、丙三人所付的费用之和为随机变量,求的分布列和数学期望.解(1)由题意,得甲、乙、丙在30分钟以上且不超过60分钟还车的概率分别为14,13,12.记甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用为事件A.则P(A)=342312+141312=724.(2)的可能取值有2,2.5,3,3.5,4,则P(=2)=342312=14,P(=2.5)=341312+142312
10、=524,P(=3)=342312+141312=724,P(=3.5)=341312+142312=524,P(=4)=141312=124.故甲、乙、丙三人所付的租车费用之和的分布列为22.533.54P14524724524124E()=214+2.5524+3724+3.5524+4124=6724.能力提升11.为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“ ”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图
11、中A,B,C,D四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求的分布列和数学期望E();(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)解(1)由图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为1550=0.3.(2)由图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.所以的所有可能取值为0,1,2.P(=0)=C22C42=16,P(=1)=C21C21C42=23,P(=2)=C22C42=16.所以的分布列为012P1623
12、16故的期望E()=016+123+216=1.(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.高考预测12.为了了解某校高三毕业班报考体育专业学生的体重(单位:kg)情况,将他们的体重数据整理后得到如右频率分布直方图.已知图中从左至右前3个小组的频率之比为 123,其中第2小组的频数为12.(1)求该校报考体育专业学生的总人数n;(2)已知A,B,C,a是该校报考体育专业的4名学生,A,B,C的体重小于55 kg,a的体重不小于70 kg,且A,B各有5分体育加分,C,a各有10分体育加分,其他学生无体育加分.从体重小于55 kg的学生中抽取2人,从体重不小于7
13、0 kg的学生中抽取1人,组成3人训练组,训练组中3人的体育总加分记为,求的分布列和均值.解(1)设该校报考体育专业学生的总人数为n,前3个小组的频率分别为p1,p2,p3,则由题意知,p2=2p1,p3=3p1,p1+p2+p3+(0.037 5+0.012 5)5=1,解得p1=0.125,p2=0.25,p3=0.375,又因为p2=0.25=12n,所以n=48.(2)由题意可知,在报考体育专业的学生中,体重小于55 kg的人数为480.125=6,记他们分别为A,B,C,D,E,F,体重不小于70 kg的人数为480.012 55=3,分别记为a,b,c;则=0,5,10,15,20,25,P(=0)=C32C62C21C31=215,P(=5)=C21C31C62C21C31=415,P(=10)=C22+C11C31C62C21C31+C32C62C11C31=1145,P(=15)=C21C11C62C21C31+C21C31C62C11C31=29,P(=20)=C22C62C11C31+C11C31C62C11C31=445,P(=25)=C21C11C62C11C31=245,则的分布列为0510152025P215415114529445245的均值E()=0215+5415+101145+1529+20445+25245=10.
