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1、第 1 页 共 15 页 高考数学一模试卷 文科 高考数学一模试卷 文科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 设集合 A 1 2 B x Z x2 2x 3 0 则 A B A 1 2 B 1 3 C 1 D 1 2 2 z i 是虚数单位 则 z 的共轭复数为 A 2 iB 2 iC 2 iD 2 i 3 已知向量满足 则 A 4B 4C 0D 2 4 已知 sin 2sin 则 tan2 的值为 A B C D 5 函数 y 的图象大致是 A B C D 6 为美化环境 从红 黄 白 紫 4 种颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中 余下 的 2
2、 种花种在另一个花坛中 则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 A B C D 7 已知函数 则 A B C D 5 8 地铁某换乘站设有编号为 A B C D E 的五个安全出口 若同时开放其中的两 个安全出口 疏散 1000 名乘客所需的时间如下 安全出口编号A BB CC DD EA E 疏散乘客时间 s 120220160140200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 第 2 页 共 15 页 A AB BC DD E 9 已知函数的最小正周期为 若 f x 在 x 0 t 时函 数值没有最小值 则实数 t 的范围是 A B C D 10 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数
3、且时 f x log2 3x 1 则 f 2020 A 4B log27C 2D 2 11 若双曲线 的一条渐近线被曲线 x 2 2 y2 2 所截得的弦 长为 2 则该双曲线的离心率为 A B C D 12 已知函数 f x x2 a x 0 g x lnx x 0 其中 a R 若 f x 的 图象在点 A x1 f x1 处的切线与 g x 的图象在点 B x2 g x2 处的切 线重合 则 a 的取值范围是 A 1 ln2 B 1 ln2 C D ln2 ln3 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 曲线 y x3 2x 4 在 1 3 处的切线的倾斜角为 14 在
4、ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 已知 ABC 的面积为 b c 2 cosA 则 a 的值为 15 正四棱锥 P ABCD 底面的四个顶点 A B C D 在球 O 的同一个大圆上 点 P 在 球面上 如果 VP ABCD 则球 O 的体积是 16 已知函数 f x loga x 3 1 a 0 且 a 1 的图象恒过定点 A 若点 A 在直线 mx ny 4 0 上 其中 mn 0 则的最小值为 三 解答题 本大题共 7 小题 共 82 0 分 17 已知等差数列 an 满足 a4 7 2a3 a5 19 求通项 an 设 bn an 是首项为 2 公比为 2 的等
5、比数列 求数列 bn 通项公式及前 n 项 和 Tn 18 2019 年 2 月 13 日 烟台市全民阅读促进条例 全文发布 旨在保障全民阅读权利 培养全民阅读习惯 提高全民阅读能力 推动文明城市和文化强市建设 某高校 为了解条例发布以来全校学生的阅读情况 随机调查了 200 名学生每周阅读时间 X 第 3 页 共 15 页 单位 小时 并绘制如图所示的频率分布直方图 1 求这 200 名学生每周阅读时间的样本平均数 和中位数 a a 的值精确到 0 01 2 为查找影响学生阅读时间的因素 学校团委决定从每周阅读时间为 6 5 7 5 7 5 8 5 的学生中抽取 9 名参加座谈会 i 你认为
6、 9 个名额应该怎么分配 并说明理由 ii 座谈中发现 9 名学生中理工类专业的较多 请根据 200 名学生的调研数据 填写下面的列联表 并判断是否有 95 的把握认为学生阅读时间不足 每周阅读时 间不足 8 5 小时 与 是否理工类专业 有关 阅读时间不足 8 5 小时阅读时间超过 8 5 小时 理工类专业4060 非理工类专业 附 临界值表 P K2 k0 0 150 100 050 0250 0100 0050 001 k02 0722 7063 8415 0246 6357 87910 828 19 如图 在四面体 PABC 中 PA PC AB BC 5 AC 6 PB 4 线段 A
7、C AP 的中点分别为 O Q 1 求证 平面 PAC 平面 ABC 2 求四面体 POBQ 的体积 第 4 页 共 15 页 20 已知椭圆 1 a b 0 的长轴长是短轴长的 倍 焦距为 1 求椭圆的方程 2 已知定点 E 1 0 若直线 y kx 2 k 0 与椭圆交于 C D 两点 问 是否存在 k 的值 使以 CD 为直径的圆过 E 点 请说明理由 21 已知函数 f x lnx ax 1 a R 讨论函数 f x 的单调性 若函数 f x 的图象与 x 轴相切 求证 对于任意互不相等的正实数 x1 x2 都有 22 在直角坐标系 xOy 中 直线 C1的参数方程为 其中 t 为参数
8、 以坐 标原点 O 为极点 x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 曲线 C2的极坐标方程为 cos2 3sin 1 求 C1和 C2的直角坐标方程 2 设点 P 0 2 直线 C1交曲线 C2于 M N 两点 求 PM 2 PN 2的值 23 已知函数 f x x 2 x 3 1 求不等式 f x 2 的解集 2 若 f x a 2x 1 的解集包含 3 5 求实数 a 的取值范围 第 5 页 共 15 页 第 6 页 共 15 页 答案和解析答案和解析 1 答案 D 解析 解 集合 A 1 2 B x Z x2 2x 3 0 x Z 1 x 3 0 1 2 A B 1 2 故选 D 先求出集合
9、A B 由此能求出 A B 本题考查交集的求法 考查交集定义等基础知识 考查推理能力与计算能力 考查函数 与方程思想 是基础题 2 答案 C 解析 解 z 故选 C 直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值 本题考查了复数代数形式的乘除运算 考查了共轭复数的概念 是基础题 3 答案 A 解析 解 向量满足 所以 故选 A 利用向量的数量积 化简求解即可 本题考查向量的数量积的应用 考查计算能力 4 答案 A 解析 解 由 sin cos 2sin 可得 tan 故 tan2 故选 A 由已知利用诱导公式 同角三角函数基本关系式可求 tan 根据二倍角的正切函数 公式即可计算得解 本题主要考查了诱
10、导公式 同角三角函数基本关系式 二倍角的正切函数公式在三角函 数化简求值中的应用 考查了计算能力和转化思想 属于基础题 5 答案 C 解析 解 函数的定义域为 x x 0 排除 A 当 x 时 y 排除 B 第 7 页 共 15 页 当 x 时 x3 3x 1 此时 y 0 排除 D 故选 C 根据函数的定义域 取值范围和取值符号 进行排除即可 本题主要考查函数图象的识别 根据函数的性质结合极限思想是函数图象的基本方法 6 答案 C 解析 分析 本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用 考查学生的计算能力 属于基 础题 确定基本事件的个数 利用古典概型的概率公式 可得结论 解答 解 红
11、 黄 白 紫记为 1 2 3 4 两个花坛彼此不相同 由列举法可得 有 12 34 13 24 14 23 23 14 24 13 34 12 基本 事件 其中红色和紫色步骤同一花坛的种法有 4 种 则 P 故选 C 7 答案 A 解析 解 根据题意 函数 又由 log2 log25 则 3 log2 log25 2 则 f log2 f log25 f 2 log25 f 4 log25 f log2 故选 A 根据题意 由对数的运算性质分析可得 3 log2 log25 2 据此结合函数的解析式计 算可得答案 本题考查分段函数的求值 涉及分段函数的解析式 属于基础题 8 答案 C 解析 分
12、析 本题考查简单的合理推理 考查推理论证能力等基础知识 考查运用求解能力 考查函 数与方程思想 是基础题 利用同时开放其中的两个安全出口 疏散 1000 名乘客所需的时间分析对比 能求出结 果 解答 解 同时开放 A E 两个安全出口 疏散 1000 名乘客所需的时间为 200s 同时开放 D E 两个安全出口 疏散 1000 名乘客所需的时间为 140s 得到 D 疏散乘客比 A 快 同时开放 A E 两个安全出口 疏散 1000 名乘客所需的时间为 200s 同时开放 A B 两个安全出口 疏散 1000 名乘客所需的时间为 120s 得到 A 疏散乘客比 E 快 同时开放 A B 两个安
13、全出口 疏散 1000 名乘客所需的时间为 120s 同时开放 B C 两个安全出口 疏散 1000 名乘客所需的时间为 220s 第 8 页 共 15 页 得到 A 疏散乘客比 C 快 同时开放 B C 两个安全出口 疏散 1000 名乘客所需的时间为 220s 同时开放 C D 两个安全出口 疏散 1000 名乘客所需的时间为 160s 得到 D 疏散乘客比 B 快 综上 疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 D 故选 C 9 答案 D 解析 解 由题意 得 2 f x 当 x 0 t 时 2x 2t f x 在 0 t 上没有最小值 2t t t 的取值范围为 故选 D 由函数周期求得 得
14、到函数解析式 由 x 0 t 得 2x 2t 再由 f x 在 0 t 上没有最小值 可得 2t 求解得答案 本题考查了三角函数的图象与性质 考查了数形结合思想与转化思想 属中档题 10 答案 D 解析 解 根据题意 f x 满足 即 f x 3 f x 函数 f x 是周期为 3 的周期函数 则 f 2020 f 1 2019 f 1 又由 f x 为奇函数 则 f 1 f 1 log2 3 1 2 故选 D 根据题意 分析可得 f x 3 f x 函数 f x 是周期为 3 的周期函数 进而可得 f 2020 f 1 2019 f 1 结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案 本题考查函数的奇
15、偶性与周期性的综合应用 涉及函数的解析式以及函数值的计算 属 于基础题 11 答案 B 解析 解 双曲线的一条渐近线不妨为 bx ay 0 圆 x 2 2 y2 2 的圆心 2 0 半径为 双曲线的一条渐近线被圆 x 2 2 y2 2 所截得的弦长为 2 可得圆心到直线的距离为 1 1 第 9 页 共 15 页 解得 e 故选 B 通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离 列出关系式 然后求解双曲线的离心率即可 本题考查双曲线的简单性质的应用 主要是离心率的求法 考查圆的方程的应用 考查 计算能力 12 答案 A 解析 解 由题意知 x1 0 x2 当 x1 0 时 函数 f x 在点 A x1 f
16、 x1 处的切线方程为 y x12 x1 a x1 x x1 当 x2 0 时 函数 g x 在点 B x2 g x2 处的切线方程为 y lnx2 x x2 两直线重合的充要条件是 x1 lnx2 1 x12 a 得 a lnx2 2 1 ln 2 1 令 t 由 及 x1 0 x2知 则 0 t 且 a t2 t lnt 设 h t t2 t lnt 0 t 则 h t 2t 1 当 t 0 时 h t 0 h t 在 0 为减函数 则 h t h ln2 1 又 t 0 时 h t a ln2 1 则 a 的取值范围是 ln2 1 故选 A 由题意知 x1 0 x2 分别求出函数 f x 在点 A 处的切线方程与 g x 在点 B 处的 切线方程 整理后由斜率相等且在 y 轴上的截距相等可得 a lnx2 2 1 ln 2 1 令 t 则 t 0 且 a t2 t lnt 然后利用导数求 h t t2 t lnt的最小值 则答案可求 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程 考查数学转化思想方法 训练了利 用导数求最值 是中档题 13 答案 45 解析 解 y 3x2 2 切
