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1、第 1 页 共 17 页 高考数学模拟试卷 高考数学模拟试卷 题号 一二总分 得分 一 填空题 本大题共 14 小题 共 70 0 分 1 已知集合 A x 3 x 3 B 1 0 3 则 A B 2 已知复数 z 满足 zi 1 i i 为虚数单位 则 3 高三某班级共 48 人 班主任为了解学生高考前的心理状况 将学生按 1 至 48 的学 号用系统抽样的方法抽取 6 人进行调查 若抽到的最小的学号为 3 则抽到的最大 学号为 4 如图所示的流程图 输出的 n 5 从集合 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中任取一个数记为 x 则 log3x 为整数的概率 为 6 已知一组数据为 2 3
2、 4 5 6 则他们的标准差为 7 已知一个圆锥的高为 4 其体积为 则该圆锥的母线长为 8 设实数 x y 满足 若 z 2x ay a 0 取最小值的最优解有无数个 则 实数 a 的值为 9 已知函数的最小正周期为 将 y f x 的图象 向左平移 0 个单位长度 所得函数 y g x 为偶函数时 则 的最小值 是 10 若双曲线 1 的离心率 则实数 a 的值为 11 在平面直角坐标系 xOy 中 若圆 上存在点 P 且 点 P 关于直线的对称点在 上 则 r 的取值范围是 12 设点 P 为边长为 2 的正三角形 ABC 边 BC 上的一动点 当 取最小值时 三角 形 PAC 的面积为
3、 第 2 页 共 17 页 13 已知定义在 R 上的偶函数 f x 的导函数为 f x 若 f x 满足 当 x 0 时 xf x f x 1 f 1 2019 则不等式 f x 1 的解集是 14 正项数列 an 中 Sn为数列 an 的前 n 项和 且对任意 n N 满足 an 1 2 4Sn 若 不等式 2Sn Sk anak 2022 0 对任意正整数 n 都成立 则正整数 k 的最大值为 二 解答题 本大题共 10 小题 共 130 0 分 15 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 F 在 PC 上一点 PD 平面 ABCD 1 求证 AD DF 2 若 E
4、是 BC 的中点 PF 2FC 证明 PA 平面 DEF 16 在三角形 ABC 中 a b c 分别是三内角 A B C 的对应的三边 已知 a2 c2 b2 ac 1 求角 B 的大小 2 若 b 且 2sin2 2sin2 1 求 a c 17 某市有一特色酒店由 10 座完全相同的帐篷构成 如图 1 每座帐篷的体积为 54 m3 且分上下两层 其中上层是半径为 r r 1 单位 m 的半球体 下层 是半径为 rm 高为 hm 的圆柱体 如图 2 经测算 上层半球体部分每平方米建 造费用为 2 千元 下方圆柱体的侧面 隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用 为 3 千元设所有帐篷的总建造
5、费用为 y 千元 1 求 y 关于的 r 函数解析式 并指出该函数的定义域 2 当半径 r 为何值时 所有帐篷的总建造费用最小 并求出最小值 第 3 页 共 17 页 18 已知椭圆 的离心率为 左顶点为 A 右焦点为 F 且 AF 5 1 求椭圆 C 的方程 2 已知圆 M 的圆心 半径为 r 点 P 为椭圆上的一点 若圆 M 与直 线 PA PF 都相切 求此时圆 M 的半径 r 19 已知函数 f x g x 1 ax2 其中 a R 设 h x f x g x 1 求函数 f x 的极值 2 当 0 a 且ln2a 1 0 时 试判断方程 h x 0 的实数根个数 并说 明理由 3 若
6、 h x 0 对任意 x 1 恒成立 求正数 a 的取值范围 第 4 页 共 17 页 20 数列 an 中 对任意给定的正整数 n 存在两个不相等的正整数 i j i j 使得 an aiaj 则称数列 an 具有性质 P 1 若仅有 3 项的数列 1 a b 具有性质 P 求 a b 的值 2 求证 数列 具有性质 P 3 正项数列 bn 是公比不为 1 的等比数列 若具有性质 P 则数列 bn 至少有多 少项 请说明理由 21 已知二阶矩阵 A 有特征值 1 1 及对应的一个特征向量 和特征值 2 2 及对应 的一个特征向量 试求矩阵 A 22 在极坐标系中 直线 l 的极坐标方程为 R
7、 以极点为原点 极轴为 x 轴 的正半轴建立平面直角坐标系 曲线 C 的参数方程为 为参数 1 求曲线 C 的普通方程 2 求直线 l 与曲线 C 的交点 P 的直角坐标 23 高尔顿 钉 板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行 水平间隔相等的圆柱 形铁钉 如图 并且每一排钉子数目都比上一排多一个 一排中各个钉子恰好对 准上面一排两相邻铁钉的正中央 从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小 球 当小球从两钉之间的间隙下落时 由于碰到下一排铁钉 它将以相等的可能性 向左或向右落下 接着小球再通过两钉的间隙 又碰到下一排铁钉 如此继续下去 在最底层的 5 个出口处各放置一个容器接住小球 1 理
8、论上 小球落入 4 号容器的概率是多少 2 一数学兴趣小组取 3 个小球进行试验 设其中落入 4 号容器的小球个数为 X 求 X 的分布列与数学期望 第 5 页 共 17 页 24 已知数列 an 满足 an n N 1 求 a1 a2 a3的值 2 证明 对任意的正整数 n n 3 0 6 an 0 7 第 6 页 共 17 页 答案和解析答案和解析 1 答案 1 0 解析 解 A x 3 x 3 B 1 0 3 A B 1 0 故答案为 1 0 进行交集的运算即可 考查描述法 列举法的定义 以及交集的运算 2 答案 1 i 解析 解 由 zi 1 i 得 z 故答案为 1 i 把已知等式变
9、形 再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数的基本概念 是基础题 3 答案 43 解析 解 样本间隔为 48 6 8 若抽到的最小的学号为 3 则抽到的最大的学号为 3 5 8 43 故答案为 43 根据系统抽样的定义求出样本间隔即可 本题主要考查系统抽样的应用 求出样本间隔是解决本题的关键 4 答案 4 解析 分析 本题考查的知识点是程序框图 当循环的次数不多 或有规律时 常采用模拟循环的方 法解答 属于基础题 由已知中的程序框图可知 该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 n 的值 模拟 程序的运行过程 分析循环中各变量值的变化情况 可得答案 解答
10、解 当 n 1 时 S 1 不满足退出循环的条件 故 n 2 S 4 当 S 4 不满足退出循环的条件 故 n 3 S 9 当 S 9 不满足退出循环的条件 故 n 4 S 16 当 S 16 满足退出循环的条件 故输出的 n 值为 4 故答案为 4 5 答案 解析 解 从集合 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中任取一个数记为 x 基本事件总数 n 9 log3x 为整数包含的基本事件有 log31 log33 log39 共 3 个 第 7 页 共 17 页 log3x 为整数的概率为 p 故答案为 基本事件总数 n 9 利用列举法求出 log3x 为整数包含的基本事件有 3 个 由此能
11、求出 log3x 为整数的概率 本题考查概率的求法 考查古典概型 列举法等基础知识 意在考查学生的转化能力和 计算求解能力 6 答案 解析 解 样本平均数为 2 3 4 5 6 4 则方差为 2 4 2 3 4 2 4 4 2 5 4 2 6 4 2 4 1 0 1 4 2 则标准差为 故答案为 先计算出样本平均数 然后根据方差和标准差公式进行计算即可 本题主要考查样本方差和平均数的计算 结合方差和标准差的定义直接进行计算是解决 本题的关键 7 答案 解析 解 设圆锥的底面半径为 r 圆锥的高为 4 其体积为 解得 r 该圆锥的母线长为 l 故答案为 由圆锥的高为 4 其体积为 求出圆锥底面半
12、径为 r 由此能求出该圆锥的母线长 本题考查圆锥的母线长的求法 考查圆锥的性质等基础知识 考查运算求解能力 是基 础题 8 答案 4 解析 解 目标函数 z 2x ay y x 故目标函数值 z 是直线族 y x 的截 距 当直线 y x 的斜率与直线 AB 的斜 率相等时 第 8 页 共 17 页 目标函数 z 2x ay 取得最小值的最优解有无数多个 直线 AB x 2y 1 0 的斜率为 此时 即 a 4 故答案 4 将目标函数 z 2x ay 化成斜截式方程后得 y x 目标函数值 Z 看成是直线族 y x 的截距 当直线族 y x 的斜率与直线 AB 的斜率相等时 目标函数 z 2x
13、 ay 取得最 小值的最优解有无数多个 由此不难得到 a 的值 本题考查线性规划最优解的判定 属于该知识的逆用题型 利用最优解的特征 判断出 最优解的位置求参数 属于中档题 9 答案 解析 解 函数的最小正周期为 2 f x sin 2x 将 y f x 的图象向左平移 0 个单位长度 所得函数 y g x sin 2x 2 的图象 由于得到的函数为偶函数 2 k k Z 则 的最小值是 故答案为 由题意利用正弦函数的周期性求得 再利用函数 y Asin x 的图象变换规律求 得 g x 的解析式 再利用三角函数的奇偶性 求得 的最小值 本题主要考查正弦函数的周期性 函数 y Asin x 的
14、图象变换规律 三角函数的 奇偶性 属于基础题 10 答案 2 解析 解 双曲线 1 的离心率 a 1 可得 e 解得 a 2 故答案为 2 求得双曲线的 c 由离心率公式 解方程可得 a 的值 本题考查双曲线的方程和性质 主要是离心率公式的运用 考查方程思想和运算能力 属于基础题 11 答案 2 1 1 2 解析 解 圆 C1 x 1 2 y 2 2 r2 r 0 关于直线 x y 0 即 y x 对称的方 程为 y 1 2 x 2 2 r2 r 0 即 y 1 2 x 2 2 r2 r 0 第 9 页 共 17 页 则条件等价为 x 2 2 y 1 2 r2 r 0 与 C2 x 2 2 y
15、 1 2 1 有交点即可 两圆圆心为 C0 2 1 C2 2 1 半径分别为 r 1 则圆心距 C0C2 2 则满足 r 1 2 r 1 由 r 1 2得 2 r 1 2得 1 2 r 1 2 由 2 r 1 得 r 2 1 综上 2 1 r 1 2 故答案为 2 1 1 2 本题考查两圆位置关系的判断和应用 利用对称性求出圆的对称方程 转化为两圆有公 共点是解决本题的关键 求出圆关于 y x 对称的方程 转化为两圆有交点 进行求解即可 12 答案 解析 解 建立如图所示的平面直角坐标系 得 A 0 C 1 0 P m 0 1 m 1 则 m 1 m 0 m2 m m 2 当 m 时 取最小值
16、 此时 S PAC 故答案为 由三角形面积公式及平面向量数量积的运算得 m 1 m 0 m2 m m 2 当 m 时 取最小值 此时 S PAC 得解 本题考查了三角形面积公式及平面向量数量积的运算 属中档题 13 答案 1 0 0 1 解析 解 当 x 0 时 x f x f x 1 x f x f x 1 0 令 g x xf x x x f x 1 g x x f x f x 1 0 g x 在 0 上为增函数 f x 为偶函数 g x 为奇函数 且 g 0 0 g x 在 0 上为增函数 g x 在 R 上为增函数 第 10 页 共 17 页 f x 1 x 0 x f x x 2018 即 x f x x 2018 g x 2018 g 1 f 1 1 2019 1 2018 x 1 即 1 x 1 又 x 0 f x 1的解集为 1 0 0 1 故答案为 1 0 0 1 构造函数 g x xf x x 根据导数和函数的单调性的关系 判断 g x 的单调性 根据单调性即可求出不等式的解集 本题主要考查利用函数的单调性求解函数不等式问题 属于中档题目 14 答案 47 解析 分
