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1、第2课时平面与平面垂直学习目标1掌握平面与平面垂直的定义2掌握平面与平面垂直的判定与性质定理3理解线线垂直，线面垂直和面面垂直的内在联系知识链接1直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线就与这个平面垂直推论：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；2直线与平面垂直的性质定理定理：垂直于同一个平面的两条直线平行符号表示：ab.预习导引1两个平面垂直的判定定理(1)定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直(2)图形表述：如图所示(3)符号语言：b，b.2面面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，则其中一个平
2、面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言a图形语言作用面面垂直线面垂直作面的垂线要点一平面与平面垂直判定定理的应用例1如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上异于A，B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC.证明连结AC，BC，则BCAC，又PA平面ABC，PABC，而PAACA，BC平面PAC，又BC平面PBC，平面PAC平面PBC.规律方法面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直跟踪演练1如图，四棱锥P ABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上求证：平面AEC平面PDB
3、.证明PD平面ABCD，AC平面ABCD，PDAC.四边形ABCD为正方形，BDAC.又PD，BD为平面PDB内两条相交直线，AC平面PDB.又AC平面AEC，平面AEC平面PDB.要点二面面垂直性质定理的应用例2如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面解已知，l.求证：l.证明法一在内取一点P，作PA垂直与的交线于A，PB垂直与的交线于B，则PA，PB.l，lPA，lPB.又PAPBP，且PA，PB，l.法二在内作直线m垂直于与的交线，在内作直线n垂直于与的交线，m，n.mn.又n，m，m.又m，l，ml，l.规律方法面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法，因此，在
4、有面面垂直的条件下，若需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的性质跟踪演练2如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，平面PAB平面PBC.求证：BCAB.证明在平面PAB内，作ADPB于D.平面PAB平面PBC，且平面PAB平面PBCPB，AD平面PBC.又BC平面PBC，ADBC.又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC，又PAADA，BC平面PAB.又AB平面PAB，BCAB.要点三线线、线面、面面垂直的综合应用例3如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且DAB60，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面P
5、AD；(2)求证：ADPB.证明(1)在菱形ABCD中，G为AD的中点，DAB60，BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BG平面ABCD，BG平面PAD.(2)连结PG，如图，PAD为正三角形，G为AD的中点，PGAD.由(1)知BGAD，又PGBGG，AD平面PGB.PB平面PGB，ADPB.规律方法证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线
6、跟踪演练3如图，已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形，ABCBCD90，ABBCPBPC2CD，侧面PBC底面ABCD.PA与BD是否相互垂直？请证明你的结论解PA与BD相互垂直证明如下：如图，取BC的中点O，连结PO，AO.PBPC，POBC，又侧面PBC底面ABCD，平面PBC平面ABCDBC，PO平面PBC，PO底面ABCD，POBD.在直角梯形ABCD中，易证ABOBCD，BAOCBD，CBDABD90，BAOABD90，AOBD，又POAOO，BD平面PAO，又PA平面PAO，BDPA，即PA与BD相互垂直1若平面平面，平面平面，则()ABC与相交但不垂直 D以上都有可能答案D解析以
7、正方体为模型：相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直，故选D.2已知l，则过l与垂直的平面()A有1个 B有2个C有无数个 D不存在答案C解析由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面，这样的平面有无数个3已知长方体ABCDA1B1C1D1，在平面AB1上任取一点M，作MEAB于E，则()AME平面ACBME平面ACCME平面ACD以上都有可能答案A解析由于ME平面AB1，平面AB1平面ACAB，且平面AB1平面AC，MEAB，则ME平面AC.4如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是(
8、)A平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B它们两两垂直C平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直答案A解析PA平面ABCD，PABC.又BCAB，PAABA，BC平面PAB.BC平面PBC，平面PBC平面PAB.由ADPA，ADAB，PAABA，得AD平面PAB.AD平面PAD，平面PAD平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直，故选A.5下列四个命题中，正确的序号有_，则；，则；，则；，则.答案解析不正确，借助于长方体，易知若，则，可平行，可垂直，也可相交且不垂直1面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在
9、联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：2运用面面垂直的性质定理时，一般需要作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直一、基础达标1空间四边形ABCD中，若ADBC，BDAD，那么有()A平面ABC平面ADCB平面ABC平面ADBC平面ABC平面DBCD平面ADC平面DBC答案D解析平面ADC平面DBC.2.已知PA矩形ABCD所在的平面(如图)图中互相垂直的平面有()A1对 B2对C3对 D5对答案D解析DAAB，DAPA，ABPAA，DA平面PAB.BC平面PAB.又易知AB平面PAD，DC平面PAD.平面PAD平面ABCD，平面
10、PAD平面PAB，平面PBC平面PAB，平面PAB平面ABCD，平面PDC平面PAD，共5对3设平面平面，在平面内的一条直线a垂直于平面内的一条直线b，则()A直线a必垂直于平面B直线b必垂直于平面C直线a不一定垂直于平面D过a的平面与过b的平面垂直答案C解析当b时，必有a，当b不是与的交线时，直线a不一定垂直于平面.4三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O，点P到三个面的距离分别是3，4，5，则OP的长为()A5B5C3D2答案B解析三个平面两两垂直，可以将P与各面的垂足连结并补成一个长方体，OP即为对角线，OP5.5平面平面，l，n，nl，直线m，则直线m与n的位置关系是_答案平行解析，l
11、，n，nl，n.又m，mn.6，是两个不同的平面，m，n是平面，外的两条不同直线，给出四个结论：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_答案或解析当m，mn时，有n或n.当n时，即.或当，m时，有m或m.当n时mn，即.7如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ABAD，CDAD，求证：平面PDC平面PAD.证明PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又CDAD，PAADA，CD平面PAD.又CD平面PDC，平面PDC平面PAD.二、能力提升8已知平面平面，l，点A，Al，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列
12、四种位置关系中， 不一定成立的是()AABmBACmCABDAC答案D解析如图，ABlm，ACl，mlACm，ABlAB.故选D.9如图，A，B，C，D为空间四点，在ABC中，AB2，ACBC，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB平面ABC时，则CD_.答案2解析取AB的中点E，连结DE，CE，因为ADB是等边三角形，所以DEAB.当平面ADB平面ABC时，因为平面ADB平面ABCAB，所以DE平面ABC.又CE平面ABC，可知DECE.由已知可得DE，EC1，在RtDEC中，CD2.10如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点若CD2，平面ABCD平面DCEF，则线段MN的长等于_答案解析取CD的中点G，连结MG，NG.因为四边形ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MGCD，MG2，NG.因为平面ABCD平面DCEF，所以MG平面DCEF，可得MGNG，所以MN.11如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，BD
