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1、4.4单位圆的对称性与诱导公式(一)学习目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.知识点2k，的诱导公式思考1设为任意角，则2k，2k，的终边与的终边有怎样的对应关系？答案它们的对应关系如表：相关角终边之间的对称关系2k与终边相同与关于原点对称与关于x轴对称2与关于x轴对称与关于y轴对称思考22k，2k，终边和单位圆的交点与的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角与的正弦函数、余弦函数的关系.答案它们交点间对称关系如表：相关角终边与单位圆的交点间对称关系2k与重合与关于原点对称与关于x轴对称
2、2与关于x轴对称与关于y轴对称设角与角终边与单位圆的交点分别为P和P，因为P和P关于x轴对称，所以点P和P的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin()sin ，cos()cos .梳理对任意角，有下列关系式成立：sin(2k)sin ，cos(2k)cos (1.8)sin()sin ，cos()cos (1.9)sin(2)sin ， cos(2)cos (1.10)sin()sin ，cos()cos (1.11)sin()sin ，cos()cos (1.12)公式1.81.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱
3、导公式两边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号.1.sin()sin .()提示sin()sin()sin()sin .2.cos .()提示cos coscos .3.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.()提示在角度制和弧度制下，公式都成立.类型一给角求值问题例1求下列各三角函数式的值.(1)cos 210；(2)sin ；(3)sin；(4)cos(1 920).考点利用诱导公式求值题点给角求值问题解(1)cos 210cos(18030)cos 30.(2)sin sinsin sinsin .(3)sinsinsin sinsin .(4)c
4、os(1 920)cos 1 920cos(5360120)cos 120cos(18060)cos 60.反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤(1)“负化正”：用公式1.9来转化.(2)“大化小”：用公式1.8角化为0到360间的角.(3)“角化锐”：用公式1.10或1.11将大于90的角转化为锐角.(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值.跟踪训练1求下列各三角函数式的值.(1)sin 1 320；(2)cos.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题解(1)方法一sin 1 320sin(3360240)sin 240sin(18060)sin 60.方法二sin 1 320si
5、n(4360120)sin(120)sin(18060)sin 60.(2)方法一coscos coscoscos .方法二coscoscoscos .类型二给值(式)求值问题例2(1)已知sin()0.3，则sin(2) .(2)已知cos，则cos .考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案(1)0.3(2)解析(1)sin()sin 0.3，sin 0.3，sin(2)sin 0.3.(2)coscoscos.反思与感悟解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用.跟踪训练2(20
6、17大同检测)已知sin ，cos()1，则sin(2)的值为()A.1 B.1 C. D.考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案D解析由cos()1，得2k(kZ)，则2()2k(kZ)，sin(2)sin(2k)sin()sin .类型三利用诱导公式化简例3化简：.考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解原式1.引申探究若本例改为：(nZ)，请化简.解当n2k时，原式1；当n2k1时，原式1.综上，原式1.反思与感悟利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.跟踪训练3化简：.考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解原式1.1.sin 585的
7、值为()A. B.C. D.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案A解析sin 585sin(360225)sin(18045)sin 45.2.cossin的值为()A. B.C. D.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案C解析原式cos sin cos sin cos sin .3.如果180，那么下列等式中成立的是()A.cos cos B.cos cos C.sin sin D.sin cos 考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案B4.sin 750 .考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案解析sin sin(k360)，kZ，sin 750sin(236030)sin
8、 30.5.化简：.考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简解原式1.1.明确各诱导公式的作用诱导公式作用公式1.8将角转化为02之间的角求值公式1.12将02内的角转化为0之间的角求值公式1.9将负角转化为正角求值公式1.11将角转化为0之间的角求值2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上可以是任意角.一、选择题1.cos 600的值为()A. B. C. D.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案D解析cos 600cos(36024
9、0)cos 240cos(18060)cos 60.2.sin(390)的值为()A. B. C. D.考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案D解析sin(390)sin(36030)sin(30)sin 30.3.下列三角函数中，与sin 数值相同的是()sin；cos；sin；cos；sin(nZ).A. B.C. D.考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案C4.sin(2)cos(42)化简的结果为()A.sin 2cos 2B.1C.2sin 2D.2sin 2考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案A解析原式sin 2cos 2，所以选A.5.设f(x)asin(x)bc
10、os(x)4，其中a，b，R，且ab0，k(kZ).若f(2 009)5，则f(2 015)等于()A.4 B.3 C.5 D.5考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值答案D解析f(2 009)(asin bcos )45，f(2 015)(asin bcos )45.6.已知sin，则sin的值为()A. B. C. D.考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案C解析sinsinsin.二、填空题7. .考点利用诱导公式求值题点利用诱导公式求值答案 2解析原式2.8.已知f(x)则ff .考点利用诱导公式求值题点给角求值问题答案2解析fsinsin ，ff1f2sin2，ff2.9.
11、已知cos()，2，则sin(3)cos() .考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案解析cos()cos ，cos .又2，2，sin .sin(3)cos()sin(3)cos()sin()(cos )sin cos (sin cos ).10.已知sin()，则cos(2)的值是 .考点利用诱导公式求值题点给值(式)求值问题答案解析由sin()，得sin ，所以cos ，所以cos(2)cos .11.sincos ；sin(960)cos 1 470cos(240)sin(210) .考点利用诱导公式化简题点利用诱导公式化简答案1解析(1)sincos sincossin cos .(2)sin(960)cos 1 470cos 240sin(210)sin(180602360)cos(304360)cos(18060)sin(18030)sin 60cos 30cos 60sin 301.三、解答题12.已知cosm(|m|1)，求cos的值.考点利用诱导公式求值题点
