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1、滚动测试卷三(第一七章)(时间:120分钟满分:150分)滚动测试卷第9页一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知集合M=x|x2+x0,N=x2x14,则MN等于()A.-1,0B.(-1,0)C.(-2,+)D.(-2,0答案C解析由x2+x0,得x(x+1)0,即-1x0,故M=-1,0;由2x14=2-2,即x-2,故N=(-2,+);因此,MN=(-2,+),故选C.2.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=60,a=4,其面积S=203,则c=()A.15B.16C.20D.421答案C解析由三角形面积公式可得SABC=12acsin B=12
2、4csin 60=203,据此可得c=20.3.设命题p:x0,ln xlg x,命题q:x0,x=1-x2,则下列命题为真命题的是()A.pqB.(p)(q)C.p(q)D.(p)q答案D解析当x=1时,ln x=lg x=0.故命题p是假命题.画出y=x与y=1-x2的图象(图略),可知在x(0,+)上两个图象有交点,故命题q是真命题.因此(p)q是真命题.故选D.4.(2018河南安阳模拟)欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里非常重要,被誉为“数学中的天桥”.
3、根据欧拉公式可知,e2 0183i表示的复数位于复平面中的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B解析由欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位)可得,e2 0183i=cos2 0183+isin2 0183=cos672+23+isin672+23=cos 23+isin 23=-cos3+isin3=-12+32i,e2 0183i表示的复数对应的点为-12,32,此点位于第二象限.5.已知甲、乙、丙三人中,一人是军人,一人是工人,一人是农民.若乙的年龄比农民的年龄大,丙的年龄和工人的年龄不同,工人的年龄比甲的年龄小,则下列判断正确的是()A.甲是军人,乙
4、是工人,丙是农民B.甲是农民,乙是军人,丙是工人C.甲是农民,乙是工人,丙是军人D.甲是工人,乙是农民,丙是军人答案A解析丙的年龄和工人的年龄不同;工人的年龄比甲的年龄小,则甲、丙均不是工人,故乙是工人;乙的年龄比农民的年龄大,即工人的年龄比农民的年龄大,而工人的年龄比甲的年龄小,故甲不是农民,则丙是农民;最后可确定甲是军人.6.已知sin 2=23,则tan +1tan=()A.1B.2C.4D.3答案D解析sin 2=2sin cos =23,即sin cos =13,tan +1tan=sincos+cossin=1sincos=3.故选D.7.函数f(x)=13x-log2(x+2)在
5、区间-1,1上的最大值为()A.2B.3C.6D.9答案B解析因为y=13x在R上单调递减,y=log2(x+2)在-1,1上单调递增,所以f(x)在-1,1上单调递减,所以f(x)在-1,1上的最大值为f(-1)=3.8.已知等差数列an的前n项和为Sn,若2a6=a8+6,则S7等于()A.49B.42C.35D.24答案B解析设等差数列an的公差为d.2a6=a8+6,2(a1+5d)=a1+7d+6,即a1+3d=6,即a4=6.又a1+a7=2a4,S7=7(a1+a7)2=7a4=76=42.故选B.9.已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的
6、区间是()A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)答案B解析实数a,b满足2a=3,3b=2,a=log231,0b=log320,f(-1)=log32-1-log32=-10,f(x)=ax+x-b的零点所在的区间为(-1,0),故选B.10.已知函数f(x)=2sin (2x+)2的图象过点(0,3),则函数f(x)的图象的一个对称中心是()A.-3,0B.-6,0C.6,0D.12,0答案B解析由题意,得3=2sin .又|2,故=3.因此f(x)=2sin2x+3.所以f(x)的图象的对称中心的横坐标满足2x+3=k,kZ,即x=-6+k2,kZ.所以结合选项可
7、知f(x)的图象的一个对称中心是-6,0.故选B.11.已知x,y满足约束条件x-y0,x+y2,y0,若z=ax+y的最大值为4,则a=()A.3B.2C.-2D.-3答案B解析作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分).则A(2,0),B(1,1),若z=ax+y过点A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2,此时,目标函数为z=2x+y,即y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,当直线经过点A(2,0)时,截距最大,此时z最大为4,满足条件.若z=ax+y过点B时取得最大值为4,则a+1=4,解得a=3,此时,目标函数为z=3x+y,即y=-3x+z,平移直线y=-3x+z,当直线经过点
8、A(2,0)时,截距最大,此时z最大为6,不满足条件,故a=2,故选B.12.(2018山东威海二模)已知函数f(x)=xcos x-sin x-13x3,则不等式f(2x+3)+f(1)0时,f(x)0,函数在(0,+)上单调递减.又函数是奇函数,函数在R上单调递减.f(2x+3)+f(1)0,f(2x+3)-1,x-2.故答案为A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知a0,b0,ab=8,则当a的值为时,log2alog2(2b)取得最大值.答案4解析由题意,知log2alog2(2b)log2a+log2(2b)22=log2(2ab)22=log21622=4,
9、当且仅当log2a=log2(2b),即a=2b时等号成立.又因为ab=8,且a0,所以a=4.14.已知函数f(x)=2x-2,x1,-log2(x+1),x1,且f(a)=-3,则f(5-a)=.答案-74解析当a1时,f(a)=2a-2=-3,即2a=-1,不符合题意,舍去;当a1时,f(a)=-log2(a+1)=-3,解得a=7.故f(5-a)=f(-2)=2-2-2=-74.15.(2018山东烟台二模)在正项等差数列an中有a41+a42+a6020=a1+a2+a100100成立,则在正项等比数列bn中,类似的结论为.答案20b41b42b43b60=100b1b2b3b100
10、解析结合等差数列和等比数列的性质,类比题中的结论可得,在正项等比数列bn中,类似的结论为20b41b42b43b60=100b1b2b3b100.16.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n-1,1,则f(m)+f(n)的最小值是.答案-13解析求导得f(x)=-3x2+2ax.由f(x)在x=2处取得极值知f(2)=0,即-34+2a2=0,故a=3.由此可得f(x)=-x3+3x2-4,f(x)=-3x2+6x.由此可得f(x)在(-1,0)内单调递减,在(0,1)内单调递增,故对m-1,1时,f(m)min=f(0)=-4.又f(x)=-3x2+6x的图象开口向
11、下,且对称轴为x=1,对n-1,1时,f(n)min=f(-1)=-9.于是,f(m)+f(n)的最小值为-13.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,bcos C=a-12c.(1)求角B的大小;(2)若b=1,求a+c的最大值.解(1)bcos C=a-12c,ba2+b2-c22ab=a-12c,b2-c2=a2-ac,b2=a2+c2-ac,cos B=12.又B(0,),B=3.(2)b2=a2+c2-2accos B,1=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac.ac(a+c)24,当且仅当a=c时等号成立,14(a+c
12、)21,即a+c2,a+c的最大值为2.18.(12分)在数列an中,已知a1=1,a2=2,2an+1-an=an+2-2.(1)设bn=an+1-an,求数列bn的通项公式;(2)设cn=2n2bn,求数列cn的前n项和Sn.解(1)2an+1-an=an+2-2,an+2-an+1=an+1-an+2,bn+1-bn=2,即bn是以2为公差的等差数列.由题意知b1=a2-a1=2-1=1,bn=1+2(n-1)=2n-1.(2)cn=2n22n-1=n4n.Sn=14+242+n4n.4Sn=142+243+n4n+1.-,得-3Sn=4+42+43+4n-n4n+1=4-4n+11-4
13、-n4n+1=(1-3n)4n+1-43,Sn=(3n-1)4n+1+49.19.(12分)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=bcos C+33csin B.(1)若a=2,b=7,求c;(2)若3sin2A-6-2sin2C-12=0,求A.解(1)a=bcos C+33csin B,sin A=sin Bcos C+33sin Csin B,cos Bsin C=33sin Csin B,tan B=3,B=3.b2=a2+c2-2accos B,c2-2c-3=0,c=3.(2)B=3,3sin2A-6-2sin2C-12=3sin2A-6-1+cos2C-6=3sin2A-6+cos43-2A-6-1=3sin2A-6-cos2A-6-1=2sin2A-3-1=0,又6A2,A=4.20.(12分)设数列an满足a1=12,an=2an-1+1an-1+2(n2,nN*).(1)证明:数列an-1an+1为等比数列,并求数列an的通项公式;(2)设cn=(3n
