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1、6距离的计算课后训练案巩固提升A组1.已知向量n=(1,0,-1)与直线l垂直,且l经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到l的距离为()矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。A.B.C.D.解析:n=(1,0,-1)与直线l垂直,n的单位向量n0=.又l经过点A(2,3,1),=(2,0,1),在n上的投影n0=(2,0,1).点P到l的距离为.答案:B2.已知平面的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面内,则点P(-2,1,4)到的距离为()聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。A.10B.3C.D.解析:的一个法
2、向量为n=(-2,-2,1),n0=.又点A(-1,3,0)在内,=(-1,-2,4),点P到平面的距离为|n0|=.答案:D3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为()A.aB.aC.aD.解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a).=(0,a,-a),=(-a,0,a).|=a,|=a.点A1到BC1的距离d=a.答案:A4.导学号90074046如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN与平面ACD1间的距离是()残骛楼諍锩
3、瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。A.B.C.D.解析:如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),D1(0,0,1),M,N,C(0,1,0).所以=(-1,0,1),.所以.又直线AD1与MN不重合,所以MNAD1.又MN平面ACD1,所以MN平面ACD1.因为=(-1,0,1),=(0,1,-1),设平面ACD1的法向量n=(x,y,z),则所以所以x=y=z.令x=1,则n=(1,1,1).又因为-(1,0,0)=,所以点M到平面ACD1的距离d=.故直线MN与平面ACD1间的距离为.答案:D5.如图,在长方体ABCD-ABCD中,AB=2,BC=3,AA=4,则点
4、B到直线AC的距离为.酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。解析:AB=2,BC=3,AA=4,则B(2,0,0),C(2,3,0),A(0,0,4),=(0,0,4)-(2,3,0)=(-2,-3,4),=(2,0,0)-(2,3,0)=(0,-3,0),上的投影为=.点B到直线AC的距离d=.答案:6. 如图,已知ABC是以B为直角的直角三角形,SA平面ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N,D分别是SC,AB,BC的中点,则点A到平面SND的距离为.彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则N(0,2,0
5、),S(0,0,2),D(-1,4,0),=(0,-2,2),=(-1,4,-2).设平面SND的法向量为n=(x,y,1).謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。n=0,n=0,n=(2,1,1).=(0,0,2),点A到平面SND的距离为.答案:7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.在侧面PAB内找一点N,使NE平面PAC,并分别求出点N到AB和AP的距离.厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。解建立如图所示的空间直角坐标系,则由题意有A(0,0,0),C(,1
6、,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E.所以=(,1,0),=(0,0,2).因为点N在侧面PAB内,故可设点N的坐标为(x,0,z),则.由NE平面PAC,可得即化简,得所以即点N的坐标为,从而点N到AB和AP的距离分别为1,.8.已知三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.求点C到平面AB1D的距离.茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。解(方法一)如图,连接A1B,交AB1于点M,连接DM,则DM平面AA1B1B,所以A1BDM.又=()()=|2-|2=0,鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。
7、A1BAB1.A1B平面AB1D.即是平面AB1D的一个法向量.故点C到平面AB1D的距离d=a.(方法二)如图,以B为原点,过点B与BC垂直的直线为x轴,BC所在的直线为y轴,BB1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A,A1,B1(0,0,a),D,C(0,a,0).籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。可知.取AB1的中点M,则M.,a+0(-a)=0.DMA1B.又a2+-a2=0,A1BAB1.A1B平面AB1D.即是平面AB1D的一个法向量,故点C到平面AB1D的距离d=a.B组1.已知ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若点P在正方
8、体内部且满足,则点P到AB的距离为()A.B.C.D.解析: 建立如图所示的空间直角坐标系,则(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=.又=(1,0,0),上的投影为,点P到AB的距离为.預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅绌鳆現檳硯遙枨纾釕鴨鋃蠟总鴯询喽箋。答案:A2.如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,AEB是等腰直角三角形,其中AEB=90,则点D到平面ACE的距离为()渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞陉鳅陸蹕銻桢龕嚌谮爺铰苧芻鞏東誶葦。A.B.C.D.2解析: 取AB的中点O,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),E(1,0,0),D
9、(0,-1,2),C(0,1,2),从而=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2).设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则令y=1,则x=-1,z=-1,n=(-1,1,-1)为平面ACE的一个法向量.故点D到平面ACE的距离d=.铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴楓鳄烛员怿镀鈍缽蘚邹鈹繽駭玺礙層談。答案:B3.如图,BCD与MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=2,则点A到平面MBC的距离为.擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无貽鳃闳职讳犢繒笃绨噜钯組铷蟻鋨赞釓。解析:取CD的中点O,连接OB,OM,则OBCD,OMCD.又平面MCD平面BCD,则MO平面B
10、CD.以O为原点,建立空间直角坐标系如图,由题意得OB=OM=,AB=2,所以C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2).设n=(x,y,z)是平面MBC的法向量,则=(1,0),=(0,),由取n=(,-1,1).又=(0,0,2),则点A到平面MBC的距离d=.答案:4.如图,正方体的棱长为1,E,F,M,N分别是所在棱的中点,则平面A1EF与平面B1NMD1间的距离为.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉匮鲻潰馒鼋餳攪單瓔纈釷祕譖钭弯惬閻。解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(1,0,0),B1(1,1,0),E,F,D1(0,0,0),M,N.E,F,M,N分别是
11、所在棱的中点,MNEF,A1EB1N.平面A1EF平面B1NMD1.平面A1EF与平面B1NMD1间的距离即为A1到平面B1NMD1的距离.设平面B1NMD1的法向量为n=(x,y,z),=(1,1,0),n=0,且n=0.即(x,y,z)(1,1,0)=0,且(x,y,z)=0.x+y=0,且-x+z=0,令x=2,则y=-2,z=1.n=(2,-2,1),n0=.=(0,1,0),A1到平面B1NMD1的距离为d=|n0|=.答案:5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.(1)求证:B1C平面A1BD;(2)求点B1到平面A1BD的距离
12、.(1)证明连接AB1交A1B于E,连接DE.B1C平面A1BD.(2)解建立如图所示的坐标系,则B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),所以=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),所以即取n=(3,0,1).所以所求距离为d=.6.导学号90074047如图,平面PAD平面ABCD,ABCD为正方形,PAD=90,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,PD的中点.问:线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为?若存在,求出CQ的值;若不存在,请说明理由.坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱釣缋鲸鎦潿硯级鹉鄴椟项邬瑣脐鯪裣鄧鯛。解由题意知PA,AD,AB两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),D(0,2,0),E(0,0,1),F(0,1,1).假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件.令CQ=m(0m2),则DQ=2-m.点Q的坐标为(2-m,2,0),=(2-m,2,-1).而=(0,1,0),设平面EFQ的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,则n=(1,0,2-m)是平面EFQ的一个法向量.又=(0,0,1),点A到平面EFQ的距离d=,即(2-m)2=,m=2,不合题意,舍去.故存在点Q,且CQ=时,点A到平面EFQ的距离为.
