大一_高等数学函数

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1、返回上页下页 广义地说 初等数学之外的数学都是高等数学 通常大学里非数学专业开设的高等数学课程包括微 积分学 概率论与数理统计 线性代数等 另外 我们这里也把微积分称为高等数学 B 什么是高等数学 微积积分是近代数学中最伟伟大的成就 对对它的重 要性无论论做怎样样的估计计都不会过过分 返回上页下页 初等数学研究的是常量 高等数学研究的是变量 高等数学有其固有的特点 高度的抽象性 严密的逻辑 性和广泛的应用性 抽象性是数学最基本 最显著的特点 有了高度抽象和 统一 我们才能深入地揭示其本质规律 才能使之得到更 广泛的应用 严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和整理中 无论是 概念和表述 还是判断和推

2、理 都要运用逻辑的规则 遵循思维的规律 初等数学与高等数学 广义 的区别 返回上页下页 另外 人类社会的进步 与数学这门科学的广泛应用 是分不开的 尤其是到了现代 电子计算机的出现和普 及使得数学的应用领域更加拓宽 现代数学正成为科技 发展的强大动力 同时也广泛和深入地渗透到了社会科 学领域 因此 学好高等数学对我们来说相当重要 所以说 数学也是一种思想方法 学习数学的过程就是思 维训练的过程 返回上页下页 首先 理解概念 数学中有很多概念 概念反映的 是事物的本质 弄清楚了它是如何定义的 有什么性质 才能真正地理解一个概念 要想学好高等数学 至少要做到以下四点 其次 掌握定理 定理是一个正确

3、的命题 分为条 件和结论两部分 对于定理除了要掌握它的条件和结 论以外 还要搞清它的适用范围 做到有的放矢 返回上页下页 第三 在弄懂例题的基础上做适量的习题 要特别提醒的 是 课本上的例题都是很典型的 有助于理解概念和掌握 定理 要注意不同例题的特点和解法 在理解例题的基础 上做适量的习题 做题时要善于总结 不仅总结方法 也要总结错误 这样 做完之后才会 有所收获 才能举一反三 返回上页下页 第四 理清脉络 对所学的知识要有一个整体的把 握 及时总结知识体系 这样不仅可以加深对知识的 理解 还会对进一步的学习有所帮助 返回上页下页 微积分是近代数学发展的里程碑 微积分的建立是人类头脑最伟大的

4、创造之一 一部微积分发展史 是人类一步一步顽强地认 识客观事物的历史 是人类理性思维的结晶 它给出的一整套科学方法 开创了科学的新纪 元 并因此加强与加深了数学的作用 恩格斯说 在一切理论成就中 未必再有什么像 17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的 最高胜利了 如果在某个地方我们看到人类精 神的纯粹的和惟一的功绩 那就正是在这里 返回上页下页 返回上页下页 微积分是建立在实数 函数和极限的基础上的 函数是微积分研究的 对象 所以我们的讨论将从函数开 始 极限的思想是微积分的基础 一步就是要理解到 极限 引入的必要性 学习微积分学 首要的 极限思想贯穿整个微积分的始终 极限思想的把握关

5、系 到对微积分思想的确立 微积分理论的掌握和运用 以及 数学思维的建立 第一节 函数的概念及其基本性质 第二节 初等函数 第三节 经济学中常见的函数 返回上页下页 若a属于集合A的元素 则称a属于A 记作 否则 称a不属于A 记作 或 第一节 函数的概念及其基本性质 含有限元素的集合称为有限集 不含任何元素的集合称 为空集 用 表示空集 不是有限集也不是空集的集合称 为无限集 一 集合及其运算 集合 具有某种确定性质的对象的全体 简称集 集合的元素 组成集合的各个对象 用大写的英文字母A B C 表示集合 用小写的 英文字母a b c 表示集合的元素 返回上页下页 表示集合的方法 1 列举法

6、将集合的元素一一列举出来 写在一个花括号内 2 描述法 在花括号内指明集合元素所具有的性质 一般 用N表示自然数集 用Z表示整数集 用Q表示 有理数集 用R表示实数集 返回上页下页 子集 设A B是两个集合 若A的每个元素都是B的元素 则称A是B的子集 记作A B 或B A 读作A 包含于B包含 或B包含A 若A B 且有元素a B 但a A 则说A是B的真 子集 规定 A 相等 若A B 且B A 则称A与B相等 记作A B 返回上页下页 并集 由属于A或属于B的所有元素组成的集合 称为A与B的并集记作A B 即 A B x x A或x B 交集 由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交

7、集 记作 A B 即A B x x A且x B 差集 由属于A但不属于B的元素组成的集称 为A与B的差集 记作A B 即 返回上页下页 返回上页下页 1 A B B A A B B A 交换律 2 A B C A B C A B C A B C 结合律 3 A B C A C B C A B C A C B C A B C A C B C 分配律 4 集合运算的基本规律 返回上页下页 二 区间与邻域 设a和b都是实数 将满足不等式a x b的所有实数组 成的数集称为开区间 记作 a b 即 a b x a x b a和b称为开区间 a b 的端点 这里a a b 且b a b 数集 a b x

8、 a x b 为闭区间 a和b也称为闭区间 a b 的 端点 a a b 且b a b 数集 a b x a x b 和 a b x a x b 为半开半闭间 以上这些区间都称为有限区间 数b a称为区间长度 返回上页下页 无限区间 返回上页下页 返回上页下页 三 映射定义 定义 设A和B是两个非空集合 若存在一个确定的规则f 使 返回上页下页 返回上页下页 返回上页下页 返回上页下页 数集D叫做这个函数的定义域 返回上页下页 约定 定义域是自变量所能取的使算式有意义的 一切实数值 返回上页下页 要使数学式子有意义 x必须满足 因此函数的定义域为 1 2 例1 解 返回上页下页 例2 解 故

9、返回上页下页 函数的图形 返回上页下页 返回上页下页 返回上页下页 例1 设函数 求f 1 x 1 令 u x l 则解 返回上页下页 例2 求下列函数的反函 数 f x 当 1 x 0时时 由y 得 x 当 时时 由y x2 1得x 交换换x y的位置 得反函数 y 1 于是 有 解 返回上页下页 定义 七 复合函数 返回上页下页 注意 1 不是任何两个函数都可以复合成一个复合 函数的 2 复合函数可以由两个以上的函数经过复合 构成 返回上页下页 例 设设f x x 求复合函数f x 和 f x f x f x 解 返回上页下页 返回上页下页 返回上页下页 五 函数的基本性质 1 单调性 定

10、义3 设函数f x 的定义域为D 区间I D 对于任意的x1 x2 I 且 x1 x2 1 若有f x1 f x2 则则称f在D内是单调单调 减少的 3 若有f x1 f x2 则则称f在D内是不减的 4 若有f x1 f x2 则则称f在D内是不增的 函数的单调单调 增加和单调单调 减少统统称为为单调单调 区间间I称为为f的单单 调调区间间 注 I可以是开区间间或闭闭区间间 也可以是半开半闭闭区间间 返回上页下页 返回上页下页 2 奇偶性 奇函数的图图形关 于原点对对称 而偶 函数的图图形关于y 轴对轴对 称 定义4 设函数f x 的定义域D关于原点对称 即若x D 则 x D 对于任意的x

11、 D 1 若有f x f x 则称f为D内的奇函数 2 若有f x f x 则称f为D内的偶函数 返回上页下页 例 讨论函数 的奇偶性 所以f x 是 上的奇函数 函数f x 的定义域 是对称区间 解 返回上页下页 3 有界性 定义义5 设设函数f的定义义域为为D 区间间 I D 如果存 在正数M 使得对对任意的x I 都有 f x 成立 则则称f在I内是有界的 否则则称f在I内是无界的 返回上页下页 定义义6 设设函数f x 在D内有定义义 若存在数M 使 得对对任意的x D 都有 f x M 或f x M 成立 则则称f x 在D内有上界 或有下界 返回上页下页 例如 函数y sinx在其

12、定义域 内是有界的 因为对任一x 都有 sinx 1 函数 在 0 1 内无上界 但有下界 返回上页下页 函数有界的几何意义义 设设y f x 在区间间 a b 内有界 即存 在M 0 使得对对任意的x a b 有 f x M 即 M f x M 因此 y f x 在 a b 内有 界在几何上表示y f x 在区间间 a b 内的 函数图图形必夹夹在两平行于x轴轴的直线线 y M之间间 反之亦然 返回上页下页 4 周期性 例如 函数f x sinx的周期为2 f x tanx的周期是 显显然 若T为为f的周期 则则kT k Z 都是f的周期 通常函数 的周期是指它的最小正周期 如果存在的话话

13、定义7 设函数f的定义域为D 若存在常数T 0 使得对任 意的x D 有x T D 且f x T f x 则称f为周期函数 T 称为f的周期 返回上页下页 思考题 1 返回上页下页 返回上页下页 思考题解答 设 则 故 1 返回上页下页 2 3 4 5 1 1 6 不存在反函数 返回上页下页 第二节 初等函数 一 基本初等函数 1 常值函数 定义义域为为 函数图图形为为平行于x轴轴的直线线 y C 其中C为为常数 返回上页下页 2 幂函数 定义域和值域因 的取值不同而有所不同 但 无论 为何值 函数在 0 内总是有定义的 返回上页下页 其定义域是 值域为 图象通过点 0 1 且总在x轴上方 当

14、a 1时 函数是单调增加的 当0 a1时 函数单调增加 当0 a0 a 1 并且由直接函数与反函数的关系可知 返回上页下页 科学技术中常用以e为底的对数函数y logex 它被称为自然对数函数 简记作 y lnx 返回上页下页 5 三角函数 常用的三角函数有 正弦函数 y sinx 余弦函数 y cosx 正切函数 y tanx 余切函数 y cotx 正割函数y secx 余割函数y cscx 其中自变量以弧度作单位来表示 返回上页下页 正弦函数和余弦函数都是以2 为周期的周期函数 它们 的定义域都为 值域都为 1 1 正弦函数是奇 函数 余弦函数是偶函数 返回上页下页 正切函数 的定义域为

15、 余切函数 的定义域为 正切函数和余切函数的值域都是 且它们都 是以 为周期的函数 它们都是奇函数 返回上页下页 返回上页下页 正割函数y secx 余割函数y cscx 返回上页下页 6 反三角函数 反三角函数是各三角函数在其特定的单调区间 上的反函数 1 反正弦函数y arcsinx 它是正弦函数y sinx在区 间间 上的反函数 其定义义域为为 1 1 值值域为为 为单调增函数 返回上页下页 2 反余弦函数y arccosx 它是余弦 函数y cosx在区间间 0 上的反函数 其定 义义域为为 1 1 值值域为为 0 为单调减函数 返回上页下页 3 反正切函数y arctanx 它是正切

16、函数y tanx在区间 内的反函数 其定义域为 值域为 为单调增函数 返回上页下页 4 反余切函数y arccotx 它是余切函数 y cotx在区间间 0 内的反函数 其定义义域 为为 值值域为为 0 为单调减函数 返回上页下页 二 初等函数 由基本初等函数经经有限次四则则运算和有限次复 合运算所构成的能用一个解析式表示的函数称为为初等 函数 否则则称为为非初等函数 返回上页下页 几个常见的分段函数 1 符号函数 定义域D 值域R 1 0 1 返回上页下页 是偶函数 周期函数 任何有理数都是它的周期 但没有最 小正周期 狄利克雷函数 返回上页下页 绝对值函数 定义域D 值域R 0 返回上页下页 4 取整函数 y x x 表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 2 4 4 3 2 1 4 3 2 1 1 3 x y o 阶梯曲线 返回上页下页 5 取最值函数 y x o y x o 返回上页下页 第三节 经济学中常见的函数 一 成本函数 固定成本 FC 是不取决于产量多少的成本 可变成本 VC 是随产量x的增加而增加的成本 总成本 TC 由固定成本和可变成本组成 返回上页下页 对应