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1、第8讲期望效用理论 C CAPM讨论路线图 2 8 1从CAPM到一般均衡定价 CAPM理论存在的不足偏好上的不足均值 方差偏好并非完备的偏好仅使用回报率的均值和方差来做判断 丢失了更高阶矩的信息分析方法上存在的不足CAPM是一个部分均衡的静态模型 因而无法对资产价格的决定问题做更为深入的分析 比如无法回答市场组合的回报率的决定问题 从CAPM到一般均衡定价的理论拓展偏好上 风险下的偏好理论体系 期望效用利率均衡分析上 从部分均衡到一般均衡 3 8 2风险状况下的选择理论 期望效用引子 圣彼得堡悖论 圣彼得堡悖论 St PetersburgParadox 抛一个公平的硬币 正面与反面出现的概率
2、各为1 2 连续抛掷硬币 直到第一次抛出正面后赌局结束如果第n次才第一次抛出正面 参与者可以得到的奖励是2n 1元钱这一赌局给参与者带来的期望收益是无穷大 但甚至很难找到愿意掏10元钱来参加这一赌局的人丹尼尔 伯努利对圣彼得堡悖论的解释 假设人们的效用是对数效用 那么人们只愿意掏2元钱参加这一赌局 4 8 2风险状况下的选择理论 期望效用偏好与效用函数 理性 rational 偏好 定义8 1 在选择空间中的一种偏好被称为理性的 如果它满足完备性与传递性完备性 complete 商品空间中任意两个元素之间都可以用这种偏好来做比较传递性 transitive x不差于y y也不差于z 那么x不差
3、于z连续 continuous 偏好 定义8 2 一种偏好关系如果在极限下也能保留 就被称为连续的命题8 3 如果一个偏好是理性且连续的 那么它可以用一个连续函数u x 来表示 5 8 2风险状况下的选择理论 期望效用不确定状况下选择集的数学描述 彩票空间 定义8 4 简单彩票simplelottery 一张简单彩票L为一串数字L p1 pN 其中pn为第n种结果出现的概率 对所有的n 有pn 0 且 npn 1定义8 5 复合彩票compoundlottery 如果有K张简单彩票Lk p1k pNk k 1 K 以及概率 k 0 k k 1 复合彩票 L1 LK 1 K 以 k为概率产生结果
4、Lk复合彩票就是把简单彩票以一定概率再次组合起来 可以被化为简单彩票 k kp1k k kpNk 例子可能的结果是两个商品束A 2个苹果和1个梨 和B 1个苹果和2个梨 简单彩票L1 0 5 0 5 表示以1 2的概率得到商品束A 1 2概率得到商品束B简单彩票L2 0 25 0 75 以1 4概率得到A 3 4概率得到B复合彩票 L1 L2 0 5 0 5 以1 2概率得到彩票L1 1 2概率得到彩票L2 通过复合彩票得到商品束A的概率为37 5 0 5 0 5 0 5 0 25 得到商品束B的概率为62 5 0 5 0 5 0 5 0 75 所有可选简单彩票组成集合叫做彩票空间 space
5、oflotteries 标记为L 6 8 2风险状况下的选择理论 期望效用期望效用理论 定义8 6 独立性公理independenceaxiom 称对彩票的一种偏好关系满足独立性公理 如果对任意3张彩票A B和C和任意0到1之间的数 以下条件总是成立命题8 7 期望效用定理 如果定义在彩票空间L上的偏好是理性和连续的 并且满足独立性公理 那么这样的偏好可用期望效用函数的形式表述出来 也就是说 我们可以为每种结果n 1 N指定一个效用值un 使得对任意两个彩票L p1 pN 与L p1 pN 来说 必然有期望效用定理意味着 满足理性 连续性 以及独立性公理的偏好可以表示为期望效用函数的形式 冯诺
6、伊曼 摩根斯坦效用函数或简称vNM效用函数 7 8 2风险状况下的选择理论 期望效用阿莱斯悖论 选择实验三种可能的结果 第一 获得250万元 第二 获得50万元 第三 获得0块钱 或者想成手被打断 下面两张彩票中人们一般会认为L1优于L 1下面两张彩票中人们一般会认为L 2优于L2以上选择结果违背了期望效用理论由第一组选择有左右两边加上0 89 u0 0 89 u50可得表明人应该认为L2优于L 2 出现矛盾 8 8 2风险状况下的选择理论 期望效用对阿莱斯悖论的回应及展望理论 对阿莱斯悖论的4种通常回应在阿莱斯悖论中 人的选择不理性阿莱斯悖论涉及非常接近0或1的概率 因而不是普遍的在理论中加
7、入 后悔 放弃独立性公理 从而构建更弱的理论 9 展望理论 prospecttheory 失去一笔钱带来的效用损失的幅度 比得到同一数额的钱带来效用增进的幅度要更大期望效用是将效用定义在结果 而非收益之上的 不管投资者初始的财富是多少 最终同样的财富和消费水平会带来同样的效用 8 3风险厌恶程度的度量图解风险厌恶度 确定性等值 ceu与cev 与c之间的距离就是消费者愿意为消除不确定性而牺牲的期望消费 也就是消费者愿意支付的风险溢价风险溢价可用来衡量消费者的风险厌恶程度风险溢价的大小与效用函数的弯曲程度有关系 10 8 3风险厌恶程度的度量绝对风险厌恶系数 思路对一个拥有财富水平y的投资者提供
8、一项投资 以 的概率赢得数额为h的货币 或者以1 的概率输掉数额为h的货币风险厌恶度越高的投资者 越是需要更高的赢钱概率 来吸引他加入这项投资定义 为使得投资者在参与和不参与投资之间完全无差异的临界值 就是对投资者风险厌恶度的一个度量绝对风险厌恶系数的推导将u y h 与u y h 在y处做泰勒展开 并略去二阶以上的高阶项解出绝对风险厌恶系数定义为 11 8 3风险厌恶程度的度量相对风险厌恶系数 相对风险厌恶系数的推导思路对一个拥有财富水平y的投资者提供一项投资 以 的概率赢得数额为 y的货币 或者以1 的概率输掉数额为 y的货币将u y y 与u y y 在y处做泰勒展开并略去二阶以上的高阶
9、余项解出相对风险厌恶系数定义为 12 8 3风险厌恶程度的度量几种常见的效用函数 CARA 常绝对风险厌恶型效用函数绝对风险厌恶系数为RA c CRRA 常相对风险厌恶型效用函数相对风险厌恶系数为RR c 1时是对数效用函数ln c HARA 双曲绝对风险厌恶型效用函数CARA与CRRA均是其特例线性效用函数 风险中性 13 8 4作为期望效用特例的均值方差偏好二次型效用 二次型效用函数其期望效用就表现出均值方差的形式其中的第3个等号用到了概率论中的结论E c2 E c 2 var c 14 8 4作为期望效用特例的均值方差偏好CARA效用函数与正态分布的回报 对数正态分布效用函数是CARA型 即u c e c 其期望效用为等价于 15
