线性代数教（学）案_同济版

《线性代数教（学）案_同济版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《线性代数教（学）案_同济版（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 学习参考 线线性代数数 课 程 教 案 学院 部 系 所 授课教师 课程名称 线性代数 课程学时 45 学时 实验学时 教材名称 年 月 日 学习参考 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 3 节 授课题目 教学章节或主题 第一章 行列式 1 二阶与三阶行列式 2 全排列及其逆序数 3 阶行列式的定义n 4 对换 本授课单元教学目标或要求 1 会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式 2 知道阶行列式的定义 n 本授课单元教学内容 包括基本内容 重点 难点 以及引导学生解决重点难点的方法 例题等 基本内容 行列式的定义 1 计算排列的逆序数的方法 学习参考 设是这个自然数的任一排

2、列 并规定由小到大为标准次序 12n p pp 1 2 n n 先看有多少个比大的数排在前面 记为 1 p 1 p 1 t 再看有多少个比大的数排在前面 记为 2 p 2 p 2 t 最后看有多少个比大的数排在前面 记为 n p n p n t 则此排列的逆序数为 12n tttt 2 阶行列式n 12 12 11121 21222 12 12 1 n n n nt ppnp p pp nnnn aaa aaa Daaa aaa 其中为自然数的一个排列 为这个排列的逆序数 求和符号 是对所有排列 12n p pp 1 2 n t 求和 12 n p pp 阶行列式中所含个数叫做的元素 位于第

3、行第列的元素 叫做的元 nD 2 nDij ij aD i j 3 对角线法则 只对 2 阶和 3 阶行列式适用 1112 11221221 2122 aa Da aa a aa 111213 212223112233122331132132 313233 132231122133112332 aaa Daaaa a aa a aa a a aaa a a aa a aa a a 重点和难点 理解行列式的定义 行列式的定义中应注意两点 1 和式中的任一项是取自中不同行 不同列的个元素的乘积 由排列知识可知 中这样的DnD 乘积共有项 n 2 和式中的任一项都带有符号 为排列的逆序数 即当是偶排

4、列 1 t t 12 n p pp 12n p pp 时 对应的项取正号 当是奇排列时 对应的项取负号 12n p pp 综上所述 阶行列式恰是中所有不同行 不同列的个元素的乘积的代数和 其中一nDDn 半带正号 一半带负号 学习参考 例 写出 4 阶行列式中含有的项 1123 a a 解 和 11233244 a a a a 11233442 a a a a 例 试判断和是否都是 6 阶行列式中的项 142331425665 a a a a a a 324314512566 a a a a a a 解 下标的逆序数为 所以 142331425665 a a a a a a 4312650 1

5、220 16 是 6 阶行列式中的项 142331425665 a a a a a a 下标的逆序数为 所以 324314512566 a a a a a a 341526 234156 538 不是 6 阶行列式中的项 324314512566 a a a a a a 例 计算行列式 0001 0020 0300 4000 D 解 0 1 2 3 1 1 2 3 424D 本授课单元教学手段与方法 讲授与练习相结合 首先通过二 三 元线性方程组的解的表达式引出二 三 阶行列式的定义 然后介绍有关全 排列及其逆序数的知识 引出阶行列式的定义 n 通过讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系 引导学生

6、了解行列式的三种等价定义 本授课单元思考题 讨论题 作业 1 P 26 1 1 3 2 2 5 6 本授课单元参考资料 含参考书 文献等 必要时可列出 线性代数附册 学习辅导与习题选讲 同济第四版 学习参考 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 2 节 授课题目 教学章节或主题 第一章 行列式 5 行列式的性质 6 行列式按行 列 展开 7 克拉默法则 本授课单元教学目标或要求 1 知道阶行列式的性质 n 2 知道代数余子式的定义和性质 3 会利用行列式的性质及按行 列 展开计算简单的阶行列式 n 4 知道克拉默法则 本授课单元教学内容 包括基本内容 重点 难点 以及引导学生解决重点

7、难点的方法 例题等 基本内容 1 行列式的性质 1 行列式与它的转置行列式相等 D T D 2 互换行列式的两行 列 行列式变号 3 行列式的某一行 列 中所有元素都乘以同一数 等于用数乘此行列式 或者行列式kk 的某一行 列 的各元素有公因子 则可提到行列式记号之外 kk 4 行列式中如果有两行 列 元素完全相同或成比例 则此行列式为零 5 若行列式的某一列 行 中各元素均为两项之和 则此行列式等于两个行列式之和 6 把行列式的某一行 列 的各元素乘以同一数然后加到另一行 列 的对应元素上去 行 列式的值不变 学习参考 2 行列式的按行 列 展开 1 把阶行列式中元所在的第 行和第列划去后所

8、成的阶行列式称为元的n i j ij aij1n i j ij a 余子式 记作 记 则称为元的代数余子式 ij M 1 i j ijij AM ij A i j ij a 2 阶行列式等于它的任一行 列 的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和 即可以按n 第 行展开 i 1122 1 2 iiiiinin Da Aa Aa Ain 或可以按第列展开 j 1122 1 2 jjjjnjnj Da Aa Aa Ajn 3 行列式中任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 1122 0 ijijinjn a Aa Aa Aij 或 1122 0 ijijninj

9、 a Aa Aa Aij 3 克拉默法则 含有个未知元的个线性方程的方程组n 12 n x xx n 11 112211 21 122222 1 122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xa xb a xa xa xb 当全为零时 称为齐次线性方程组 否则 称为非齐次线性方程组 12 n b bb 1 如果方程组的系数行列式 那么它有唯一解 其中0D 1 2 i i D xin D 是把中第 列元素用方程组的右端的自由项替代后所得到的阶行列 1 2 i D in Din 式 2 如果线性方程组无解或有两个不同的解 那么它的系数行列式 0D 3 如果齐次线性方程组的系数

10、行列式 那么它只有零解 如果齐次线性方程组有非零0D 解 那么它的系数行列式必定等于零 用克拉默法则解线性方程组的两个条件 1 方程个数等于未知元个数 2 系数行列式不等于 零 克拉默法则的意义主要在于建立了线性方程组的解和已知的系数以及常数项之间的关系 它主要 适用于理论推导 4 一些常用的行列式 1 上 下三角形行列式等于主对角线上的元素的乘积 即 学习参考 1112111 2222122 1122 12 n n nn nnnnnn aaaa aaaa Da aa aaaa 特别地 对角行列式等于对角线元素的乘积 即 11 22 1122nn nn a a Da aa a 类似地 1 1

11、2 1 2 12 11 1 1 n n n n nnn n a a Da aa a 2 设 则 111 1 1 k kkk aa D aa 111 2 1 n nnn bb D bb 111 1 12 111111 11 0 k kkk kn nnknnn aa aa DD D ccbb ccbb 3 范德蒙 Vandermonde 行列式 12 222 1212 1 111 12 111 n nnnij n ij nnn n xxx V x xxxxxxx xxx 计算行列式常用方法 1 利用定义 2 利用性质把行列式化为上三角形行列式 从而算得行 列式的值 重点和难点 行列式的计算 要注重

12、学会利用行列式性质及按行 列 展开等基本方法来简化行列 式的计算 例 课本 P 12 例 7 例 9 学习参考 例 课本 P 21 例 13 例 课本 P 25 例 16 本授课单元教学手段与方法 讲授与练习相结合 以从行列式的定义为切入口 引导学生探讨行列式的各种性质 通过大量的例题引导学生掌握 如何利用行列式性质及按行 列 展开等基本方法来简化行列式的计算 本授课单元思考题 讨论题 作业 思考题 问 当线性方程组的系数行列式为零时 能否用克拉默法则解方程组 为什么 此时方程组的解为 何 答 当线性方程组的系数行列式为零时 不能否用克拉默法则解方程组 因为此时方程组的解为无 解或有无穷多解

13、本授课单元思考题 讨论题 作业 5 P 26 4 1 2 3 5 1 2 7 1 2 5 6 P 26 5 4 7 3 6 7 P 28 8 1 9 本授课单元参考资料 含参考书 文献等 必要时可列出 线性代数附册 学习辅导与习题选讲 同济第四版 线性代数 课程教案 授课类型 理论课 授课时间 2 节 学习参考 授课题目 教学章节或主题 第二章矩阵及其运算 1 矩阵 2 矩阵运算 3 逆矩阵 4 矩阵分块法 本授课单元教学目标或要求 掌握矩阵的定义 矩阵的加减法 数乘 转置 矩阵求逆 矩阵的行列式 分块矩阵等运算 了解 矩阵 多项式运算 本授课单元教学内容 包括基本内容 重点 难点 以及引导学

14、生解决重点难点的方法 例题等 本章拟分 3 次课完成 第一讲 1 矩阵 2 矩阵的运算 第二讲 3 逆矩阵 第三讲 4 矩阵分块法 第一讲 1 矩阵 2 矩阵的运算 基本内容 1 矩阵 一 矩阵的定义 定义 1 由 M N 个数组成的行列的数表 2 1 2 1 njmiaij mn mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 称为行列矩阵 简称 M N 矩阵 为表示它是一个整体 总是加一个括弧 并用大写黑体字母表mn 示它 记作 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 这 M N 个数称为菊阵 A 的元素 简称为元 数位于矩阵 A 的

15、第 行列 称为矩阵 A 的 I J 元 以数 ij aij 为 I J 元的矩阵可简记为或 M N 矩阵 A 也记着 ij a ij a nmij a nm A 学习参考 元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵 行数和列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵 阶矩阵 A 也记作 nnnn n A 只有一行的矩阵 21n aaaA 称为行矩阵 又称为行向量 行矩阵也记作 21n aaaA 只有一列的矩阵 n b b b A 2 1 称为列矩阵 又称为列向量 两个矩阵的行数相等 列数也相等 称它们是同型矩阵 如果 A B 是同型矩阵 并且它们的 ij a ij b 对应元素相等 即 nj

16、miba ijij 2 1 2 1 那么就称矩阵 A 与矩阵 B 相等 级作 A B 元素都是零的矩阵称为零矩阵 记作 O 不同型的零矩阵是不同的 2 矩阵的运算 一 矩阵的加法 定义 2 设有两个矩阵 A 和 B 那么矩阵 A 与 B 的和记着 A B 规定为nm ij a ij b 学习参考 mnmnmmmm nn nn bababa bababa bababa 2211 2222222121 1112121111 两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算 矩阵加法满足下列运算规律 设 A B C 都是矩阵 nm A B B A i A B C A B C ii A 的负矩阵记为 ij a A ij a A A O 规定矩阵的减法为 A B A B 二 矩阵的数乘 定义 3 数与矩阵 A 的乘积记作或 规定为 A A mnmm n n aaa aaa aaa A 21 22221 11211 矩阵数乘满足下列运算规律 设 A B 为矩阵 为数 nm 1 AA 2 AAA 3 BABA 重点 难点 矩阵乘矩阵 让学生充分理解矩阵乘矩阵的定义 特别强调前面矩阵的列等于后面矩阵 学习参考 的