利用函数思想解决数列问题

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1、函数思想在数列中的应用青岛市城阳区第二高级中学 张晓丽 266107函数思想是数学思想的重要组成部分,也是中学数学中最基本、最重要的数学思想之一。所谓函数思想，就是用运动变化的观点，分析和研究实际问题或数学问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究（一般借助函数的性质、图象等） ，从而更快更好地解决问题。数列可以看作是一个定义域为正整数集 N+（或它的有限子集1,2,n ）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。因此，有些数列的问题可用函数思想来解决。下面结合几个实例谈谈函数思想在数列中的应用。一、函数的定义在数列中的

2、应用等差、等比数列作为两个特殊的数列，其通项公式、求和公式和一次函数、二次函数、指数函数都有一定的联系。充分挖掘二者的联系，可以加深对等差、等比数列的理解。例 1 给出一下三个结论： 是等差数列的充要条件是 是 n 的一次函数；naa是等差数列的充要条件是其前 n 项和 是 n 的二次函数； 是等比数列，naSb则 是关于 n 的指数函数。其中正确的个数为（ ）b（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D ） 3评析： 是等差数列，其通项为 ，其前 n 项na11()()nadnad和 。当 时， 不是 n 的一次函数，21 1()()nddS0也不是 n 的二次函数，因此、都不对，不难证明，

3、是等差数列（其中 是常数） 。 是等比数列，其2nabSefabef、nb通项 不是 n 的指数函数，故选（A ） 。1nq例 2 在等比数列中，前 n 项和为 ，已知 ， ，求 nS23415Sn分析：本题的常规解法是用等比数列求和公式 列出关于 和naq1a的方程组，解出 和 ，但计算十分繁琐。若考虑到等比数列的前 n 项和q1aq，设 ，则可以考虑建立目标函数11nnnS1aAq（A 为待定系数） ，从而优化了解题过程。nq解：设 ，则 nSAq2SAq231qA4452组解（1） （2）得： , 12或 nSnn评述：此类题目如果注意到等比数列前 n 项和 Sn可写成 （A 为nq待定

4、系数）的形式，解题方法就显得巧妙一些。同样，等差数列的前 n 项和 Sn可写成 （a 、 b 为待定系数）的形式，有时也能给我们解题带来方便。2nS二、函数的性质在数列中的应用函数的性质，如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用。例 3 已知无穷数列 的通项公式 ，试判断此数列是否有最大项？na9(1)0na若有，求出第几项最大；若没有，说明理由分析：此数列不是等差（等比）数列，但利用研究函数单调性的方法去研究数列的单调性，问题不难解决。解： ，当 时，11 19(2)()9(8)00nnnna 8n，即 ；当 n8 时， ，即 ；当 时，1n12a na89a，即

5、，故 1na910max898()10n评述：本题也可以化归为不等式组： 且 来解决。但对于这类nna探索性问题，利用函数的单调性更能体现数列的变化趋势，显得更为简捷直观。例 4 数列 满足 ，则 na112nna、208分析：类比对应的函数递推式 ，可求出其周1()()fxfx1期，从而启发我们寻找本题的解题途径。解：由 ，得 ，1nna21nnnaa 故 321n nnaa20869312a评述：一般地，定义在 R 上的函数 ，若有 或()fx()(fxTfx，则 2T 为函数 的周期；若有1()()0fxTfxff，则 3T 为函数 的周期；若有 ()()ff1()fx，则 4T 为函数

6、 的周期。记住这些常见的结论1()()xfxTf()f及推导方法，往往能迅速找到解决这类问题的突破口。三、函数图象在数列中的应用因为等差、等比数列的通项及求和公式与一次函数、二次函数、指数函数都有联系，所以应用这些函数的图象能直观有效地解决某些数列问题。例 5 等差数列 中， ，前 n 项和为 ，且 ， ，则 n时，na10nS901S最大nS分析：等差数列前 n 项和 是关于 n 的二次函数，常数项为 0，因此函数的图nS象是过原点的抛物线上横坐标为自然数的点。由题意可知该数列公差小于 0。如图 1 对应的抛物线，所以开口向下，与横轴的一个交点的横坐标为 0，另一个交点的横坐标在区间（9，1

7、0）内，可见其顶点横坐标在区间（4.5，5）内，故当 时, 最大。5nnS评述：本题的一般解法是利用， 1995()02aS，010 6()a得 ，故当 时， 最大。257a5nnS由此可见利用函数图象，解法直观，一目了然。例 6 甲、乙两个工厂 2006 年元月份的产值相等，甲厂的产值逐月增加，且每月增长的产值相同；乙厂的产值也逐月增加，且每月增长的百分率相同，已知 2007 年元月份的产值又相等，则 2007 年 7 月份产值（ ） （A）甲厂高 （B）乙厂高（C）甲乙相等 （D）甲乙高低无法确定oxy910图 1 分析：甲、乙两厂从 2006 年元月份起，各月产值分别是等差数列 和等比数na列 。由 2006 年元月份产值相等，知nb；2007 年元月份产值又相等，知1a。注意到 、 分别与一次函数、指3nab数函数的关系，其图象如图 2。2007 年 7 月份产值分别是 和 ，从图中易见 。1919ab故选（B） 。评述：由本题不难推广如下：各项均为不相等正数的等差数列 和等比数列na，若 ， ，则当 1m 时， 。nb1ambkabkb13()ayb911 13 19o x图 2