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1、. . . .北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类） 2013.4（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）为虚数单位，复数的虚部是A B C D . 【答案】A，所以虚部是，选A.（2）已知集合，则A. B. C. D. 【答案】D，所以，选D.（3）已知向量，.若，则实数的值为 A B C D【答案】A,因为，所以，解得，选A.（4）在极坐标系中，直线与曲线相交于两点, 为极点，则的大小为A
2、 B C D【答案】C直线对应的直角方程为，由得，即，即。所以圆心为，半径为1，所以，所以，选C.（5）在下列命题中， “”是“”的充要条件；的展开式中的常数项为；设随机变量,若，则其中所有正确命题的序号是A B C D【答案】C由，得，所以错误。展开式的通项公式为，由得，所以常数项为，所以正确。因为，所以，所以正确。选C.（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A. B. C. D. 8【答案】D由三视图可知，该几何体的为，其中长方体底面为正方形，正方形的边长为2.其中,将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体体积为。（7）
3、抛物线（）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为A. B. 1 C. D. 2【答案】A（8）已知函数.若，使成立，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有A. 1个 B .2个 C .3个 D .4个【答案】B由题意知，因为，所以，。因为，所以当时，此时解得，生成点为。当时，此时解得，生成点为。所以函数的“生成点”共有2个，选B.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. （9）在等比数列中，则 ，为等差数列，且，则数列的前5项和等于 . 【答案】，在等比数列中，解
4、得。在等差数列中，所以。（10）在中， ，分别为角， ，C所对的边.已知角为锐角，且,则 .【答案】由得，所以,，即.（11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= .【答案】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；此时满足条件输出，.（12）如图，圆是的外接圆，过点C作圆的切线交的延长线于点.若，则线段的长是 ；圆的半径是 . 【答案】1,，设，则，即，所以，解得，即.所以三角形为直角三角形，且所以,所以三角形为正三角形，所以半径.（13）函数是定义在上的偶函数，且满足.当时，.若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是 .【答案】由得函数的周期是2.由得，设，
5、作出函数的图象，如图，要使方程恰有四个不相等的实数根，则直线的斜率满足，由题意可知，所以，所以，即。（14）在平面直角坐标系中，已知点是半圆（）上的一个动点，点在线段的延长线上当时，则点的纵坐标的取值范围是 【答案】由图象可知，当点A位于点B时，点C的纵坐标最大。当点A位于点D时，点C的纵坐标最小由图象可知,。当点A位于点B时，因为，所以此时.由相似性可知，解得，同理当点A位于点D时，解得，所以点的纵坐标的取值范围是，即。三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.（15）（本小题满分13分）已知函数（）的最小正周期为.（）求的值及函数的单调递增区间；（）当时
6、，求函数的取值范围.（16）（本小题满分13分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响） （）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（）在两次试验中，记卡片上的数字分别为，试求随机变量的分布列与数学期望（17）（本小题满分14分）PDABCFE如图，在四棱锥中，平面平面，且， 四边形满足，点分别为侧棱上的点，且（）求证：平面；（）当时，求异面直线与所成角的余弦值； （）是否存在实数，使得平面平面？若存在，试求出的值；若不存在，请说明
7、理由（18）（本小题满分13分）已知函数，其中（）求函数的单调区间；（）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆过点,离心率为，点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于两点，直线，与直线分别交于点，.（）求椭圆的方程；（）求的取值范围.（20）（本小题满分13分）设是数的任意一个全排列，定义，其中.（）若，求的值；（）求的最大值；（）求使达到最大值的所有排列的个数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（理工类） 2013.4一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案ADACCD AB二、填空题
8、： 题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案，1,（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（） . 4分因为最小正周期为，所以. 6分所以.由，得.所以函数的单调递增区间为，. 8分（）因为，所以， 10分所以. 12分所以函数在上的取值范围是. 13分（16）（本小题满分13分）解：（）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是3分（）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数由（）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是 所以 答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数
9、字都为正数的概率为7分（）由题意可知，的可能取值为，所以随机变量的可能取值为 ； ； ； ； ； 所以随机变量的分布列为所以13分（17）（本小题满分14分）证明：（）由已知，所以 因为，所以而平面，平面，所以平面 4分（）因为平面平面， 平面平面，且，所以平面.所以，又因为，所以两两垂直 5分如图所示，建立空间直角坐标系，PDABCFExyxzx因为，所以当时，为中点，所以,所以 设异面直线与所成的角为，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为9分（）设，则 由已知，所以， 所以 所以设平面的一个法向量为，因为,所以 即 令，得设平面的一个法向量为，因为,所以 即 令，则若平面平面，则，所以，解
10、得所以当时，平面平面14分（18）（本小题满分1 3分）解：函数定义域为， 且2分当，即时，令，得，函数的单调递减区间为，令，得，函数的单调递增区间为.当，即时，令，得或，函数的单调递增区间为，.令，得，函数的单调递减区间为.当，即时，恒成立，函数的单调递增区间为. 7分()当时，由()可知，函数的单调递减区间为，在单调递增.所以在上的最小值为，由于，要使在上有且只有一个零点，需满足或解得或.当时，由()可知，（）当时，函数在上单调递增；且，所以在上有且只有一个零点.（）当时，函数在上单调递减，在上单调递增；又因为，所以当时，总有. 因为，所以.所以在区间内必有零点.又因为在内单调递增，从而当
11、时，在上有且只有一个零点. 综上所述，或或时，在上有且只有一个零点. 13分（19）（本小题满分14分）解：（）设椭圆的方程为，依题意得解得，. 所以椭圆的方程为. 4分（）显然点.（1）当直线的斜率不存在时，不妨设点在轴上方，易得，所以. 6分（2）当直线的斜率存在时，由题意可设直线的方程为，显然时，不符合题意.由得. 设,则. 直线，的方程分别为：，令，则. 所以，. 10分所以 . 12分 因为，所以，所以，即. 综上所述，的取值范围是. 14分（20）（本小题满分13分）解：（）. 3分（）数的倍与倍分别如下：其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为，所以.对于排列，此时，所以的最大值为. 8分（）由于数所
