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1、考点规范练47圆的方程考点规范练A册第32页基础巩固1.圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2答案D解析由题意可得圆的半径r=(1-0)2+(1-0)2=2,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.2.已知实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=122,则x2+y2的最小值为()A.2B.1C.3D.2答案B解析设P(x,y),则点P在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心C(-5,12),半径r=12,x2+y2=(x-0)2+(
2、y-0)22=|OP|2,又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以x2+y2的最小值为1.3.若点A,B在圆O:x2+y2=4上,弦AB的中点为D(1,1),则直线AB的方程是()A.x-y=0B.x+y=0C.x-y-2=0D.x+y-2=0答案D解析因为直线OD的斜率为kOD=1,所以由垂径定理得直线AB的斜率为kAB=-1,所以直线AB的方程是y-1=-(x-1),即x+y-2=0,故选D.4.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y
3、-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1答案A解析由于圆心在第一象限且与x轴相切,因此设圆心为(a,1)(a0).又由圆与直线4x-3y=0相切可得|4a-3|5=1,解得a=2,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.5.已知圆C的圆心在曲线y=2x上,圆C过坐标原点O,且分别与x轴、y轴交于A,B两点,则OAB的面积等于()A.2B.3C.4D.8答案C解析设圆心的坐标是t,2t.圆C过坐标原点,|OC|2=t2+4t2,圆C的方程为(x-t)2+y-2t2=t2+4t2.令x=0,得y1=0,y2=4t,点B的坐标为0,4t;令y=0,得x1=0,x2=2t,点A的坐标为(
4、2t,0),SOAB=12|OA|OB|=124t|2t|=4,即OAB的面积为4.6.如图,已知圆C与x轴相切于点T(1,0),与y轴正半轴交于两点A,B(B在A的上方),且|AB|=2.(1)圆C的标准方程为;(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为.答案(1)(x-1)2+(y-2)2=2(2)-1-2解析 (1)由题意可设圆心C坐标为(1,b),取AB中点为P,连接CP,CB,则BPC为直角三角形,得|BC|=r=2=b,故圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=2.(2)由(1)得,C(1,2),B(0,2+1),则kBC=-1.圆C在点B处的切线方程为y=x+2+1,令y=0,
5、得x=-2-1,即切线在x轴上的截距为-1-2.7.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为.答案(x-2)2+y2=9解析设圆心C的坐标为(a,0)(a0),则|2a|5=455a=2.又点M(0,5)在圆C上,则圆C的半径r=22+5=3.故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.8.直线l:x4+y3=1与x轴、y轴分别相交于点A,B,O为坐标原点,则OAB的内切圆的方程为.答案(x-1)2+(y-1)2=1解析由直线方程x4+y3=1与x轴、y轴分别相交于点A,B,如图.设OAB的内切圆的圆心为M(m,m).直线方程x4
6、+y3=1可化简为3x+4y-12=0,由点M到直线l的距离等于m得|3m+4m-12|32+42=m,解得m=1.故OAB的内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1.9.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=12x上,并且在x轴上截得的弦长为23,则圆M的标准方程为.答案(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4解析设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意可得12a-b=0,|a|=r,b2+3=r2,解得a=2,b=1,r=2或a=-2,b=-1,r=2,所以圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.10.已知圆C
7、的圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),求圆C的方程.解(方法一)如图,设圆心C(x0,-4x0),依题意得4x0-23-x0=1,则x0=1,即圆心C的坐标为(1,-4),半径r=22,故圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.(方法二)设所求圆C的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,根据已知条件得y0=-4x0,(3-x0)2+(-2-y0)2=r2,|x0+y0-1|2=r,解得x0=1,y0=-4,r=22.因此所求圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.11.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为22,在y轴上截得线
8、段长为23.(1)求圆心P的轨迹方程;(2)若点P到直线y=x的距离为22,求圆P的方程.解(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.故P点的轨迹方程为y2-x2=1.(2)设P(x0,y0),由已知得|x0-y0|2=22.又P在双曲线y2-x2=1上,从而得|x0-y0|=1,y02-x02=1.由x0-y0=1,y02-x02=1,得x0=0,y0=-1.此时,圆P的半径r=3.由x0-y0=-1,y02-x02=1,得x0=0,y0=1.此时,圆P的半径r=3.故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.能力提
9、升12.已知直线l:x+my+4=0,若曲线x2+y2+2x-6y+1=0上存在两点P,Q关于直线l对称,则m的值为()A.2B.-2C.1D.-1答案D解析曲线x2+y2+2x-6y+1=0是圆(x+1)2+(y-3)2=9,若圆(x+1)2+(y-3)2=9上存在两点P,Q关于直线l对称,则直线l:x+my+4=0过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得m=-1,故选D.13.(2018北京朝阳期末)阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k0,且k1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B距离之比为2,当P,
10、A,B不共线时,PAB面积的最大值是()A.22B.2C.223D.23答案A解析如图,以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),|PA|PB|=2,(x+1)2+y2(x-1)2+y2=2,两边平方并整理得:x2+y2-6x+1=0(x-3)2+y2=8,ymax=22,PAB面积的最大值是12222=22,故选A.14.已知aR,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.答案(-2,-4)5解析由题意,可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x
11、+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即x+122+(y+1)2=-54不表示圆.15.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;(2)从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使|PM|取得最小值时点P的坐标.解(1)将圆C配方,得(x+1)2+(y-2)2=2.当切线在两坐标轴上的截距为零时,设切线方程为y=kx,由|k+2|1+k2=2,得k=26,切线方程为y=(26)x
12、.当切线在两坐标轴上的截距不为零时,设切线方程为x+y-a=0(a0),由|-1+2-a|2=2,得|a-1|=2,即a=-1或a=3.切线方程为x+y+1=0或x+y-3=0.综上,圆的切线方程为y=(2+6)x或y=(2-6)x或x+y+1=0或x+y-3=0.(2)由|PO|=|PM|,得x12+y12=(x1+1)2+(y1-2)2-2,整理得2x1-4y1+3=0,即点P在直线l:2x-4y+3=0上.当|PM|取最小值时,|PO|取最小值,此时直线POl,直线PO的方程为2x+y=0.解方程组2x+y=0,2x-4y+3=0,得点P的坐标为-310,35.高考预测16.已知平面区域x0,y0,x+2y-40恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为.答案(x-2)2+(y-1)2=5解析由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.因为OPQ为直角三角形,所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r=|PQ|2=5,所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
