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1、考点规范练7函数的奇偶性与周期性考点规范练A册第5页基础巩固1.函数f(x)=1x-x的图象关于()A.y轴对称B.直线y=-x对称C.坐标原点对称D.直线y=x对称答案C解析f(-x)=-1x+x=-1x-x=-f(x),且定义域为(-,0)(0,+),f(x)为奇函数.f(x)的图象关于坐标原点对称.2.已知函数f(x)=-x|x|+2x,则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+)B.f(x)是偶函数,递减区间是(-,-1)C.f(x)是奇函数,递增区间是(-,-1)D.f(x)是奇函数,递增区间是(-1,1)答案D解析由函数的定义域为R,且f(-x)=-f(x),可
2、知f(x)为奇函数.又f(x)=-x|x|+2x=-x2+2x,x0,x2+2x,x0,故可画出函数f(x)的图象如图所示,由图可知,f(x)的递增区间是(-1,1).故选D.3.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f(2)=1,则f(-2)=()A.1B.5C.-1D.-5答案B解析令g(x)=f(x)+x,由题意可得g(-2)=g(2)=f(2)+2=3.又g(-2)=f(-2)-2,故f(-2)=g(-2)+2=5.4.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0上f(x)是减函数.若f(2)=0,则使得f(x)0的x的取值范围是()A.(-,2)B.(-2,2)C.(-,-2)
3、(2,+)D.(2,+)答案B解析由题意知f(-2)=f(2)=0,当x(-2,0时,f(x)f(-2)=0.由对称性知,当x0,2)时,f(x)为增函数,f(x)f(2)=0,故x(-2,2)时,f(x)0,故选B.5.若偶函数f(x)在区间(-,0上单调递减,a=f(log23),b=f(log45),c=f(232),则a,b,c的大小关系为()A.abcB.bacC.cabD.cba答案B解析由偶函数f(x)在区间(-,0上单调递减,可得f(x)在区间(0,+)内单调递增.又因为1log45log232232,所以baf(7)B.f(6)f(9)C.f(7)f(9)D.f(7)f(10
4、)答案D解析由y=f(x+8)为偶函数,知函数f(x)的图象关于直线x=8对称.又f(x)在区间(8,+)内为减函数,故f(x)在区间(-,8)内为增函数.可画出f(x)的草图(图略),知f(7)f(10).8.已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(1)=2,则f(4)+f(5)的值为()A.2B.1C.-1D.-2答案A解析f(x+1)为偶函数,f(x)是奇函数,f(-x+1)=f(x+1),f(x)=-f(-x),f(0)=0,f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1),f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),则f(4)
5、=f(0)=0,f(5)=f(1)=2,f(4)+f(5)=0+2=2,故选A.9.已知定义在R上的奇函数f(x)满足:f(x+1)=f(x-1),且当-1xlog220log216,4log220g(0)g(-1)解析在f(x)-g(x)=12x中,用-x替换x,得f(-x)-g(-x)=2x.因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2x.于是解得f(x)=2-x-2x2,g(x)=-2-x+2x2,于是f(1)=-34,g(0)=-1,g(-1)=-54,故f(1)g(0)g(-1).12.已知奇
6、函数f(x)的定义域为-2,2,且在区间-2,0上单调递减,则满足f(1-m)+f(1-m2)0的实数m的取值范围为.答案-1,1)解析f(x)的定义域为-2,2,-21-m2,-21-m22,解得-1m3.又f(x)为奇函数,且在-2,0上单调递减,f(x)在-2,2上单调递减,f(1-m)m2-1,解得-2m1.综上可知,-1m0在-1,3上的解集为()A.(1,3)B.(-1,1)C.(-1,0)(1,3)D.(-1,0)(0,1)答案C解析f(x)的图象如图所示.当x-1,0)时,由xf(x)0,得x(-1,0);当x0,1)时,由xf(x)0,得x;当x1,3时,由xf(x)0,得x
7、(1,3).故x(-1,0)(1,3).14.已知函数y=f(x-1)+x2是定义在R上的奇函数,若f(-2)=1,则f(0)=()A.-3B.-2C.-1D.0答案A解析令g(x)=f(x-1)+x2.因为g(x)是定义在R上的奇函数,所以g(-1)=-g(1),即f(-2)+1=-f(0)+1,得f(0)=-3.15.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR,都有f(x+2)=f(x).当0x1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在区间0,2上恰有两个不同的公共点,则实数a的值是()A.0B.0或-12C.-14或-12D.0或-14答案D解析因为f(x
8、+2)=f(x),所以函数f(x)的周期T=2.因为当0x1时,f(x)=x2,且f(x)是偶函数,所以可画出函数y=f(x)在一个周期0,2上的图象如图所示.显然a=0时,y=x与y=x2在区间0,2上恰有两个不同的公共点.另当直线y=x+a与抛物线y=x2(0x1)相切时,也恰有两个不同的公共点.由题意知x2=x+a,即x2-x-a=0.故=1+4a=0,即a=-14.综上可知,a=0或a=-14.16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)=f(x),当x0,1时,f(x)=3x.若12a34,则关于x的方程ax+3a-f(x)=0在区间-3,2上不相等的实数根的个数为.答
9、案5解析f(x+2)=f(x),函数f(x)是周期为2的函数.若x-1,0,则-x0,1,此时f(-x)=-3x.由f(x)是偶函数,可知f(x)=f(-x)=-3x.由ax+3a-f(x)=0,得a(x+3)=f(x).设g(x)=a(x+3),分别作出函数f(x),g(x)在区间-3,2上的图象如图.因为12a0)在区间-8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=.答案-8解析f(x)为奇函数且f(x-4)=-f(x),f(x-4)=-f(4-x)=-f(x),即f(x)=f(4-x)且f(x-8)=-f(x-4)=f(x),即y=f(x)的图象关于直线x=2
10、对称,且是周期为8的周期函数.f(x)在0,2上是增函数,f(x)在-2,2上是增函数,在2,6上是减函数.据此可画出y=f(x)图象的草图(如图):其图象也关于直线x=-6对称,x1+x2=-12,x3+x4=4,x1+x2+x3+x4=-8.高考预测18.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数,则()A.f(-25)f(11)f(80)B.f(80)f(11)f(-25)C.f(11)f(80)f(-25)D.f(-25)f(80)f(11)答案D解析f(x)满足f(x-4)=-f(x),f(x)=f(x+8).函数f(x)是以8为周期的周期函数.f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3)=-f(-3)=-f(1-4)=f(1).又f(x)是定义在R上的奇函数,且在区间0,2上是增函数,f(x)在区间-2,2上是增函数.f(-1)f(0)f(1),即f(-25)f(80)f(11).
