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1、4.1.2极坐标系1了解极坐标系2会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置3体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别基础初探1极坐标系(1)在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。(2)设M是平面上任一点，表示OM的长度，表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角那么，每一个有序实数对(，)确定一个点的位置聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。称为点M的极径，称为点M的极角
2、有序实数对(，)称为点M的极坐标约定0时，极角可取任意角残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。(3)如果(，)是点M的极坐标，那么(，2k)或(，(2k1)(kZ)都可以看成点M的极坐标酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。2极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图413所示)，平面内任一点M的直角坐标(x，y)与极坐标(，)可以互化，公式是：或彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。图413通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取0,02.思考探究1
3、建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。2为什么点的极坐标不惟一？【提示】根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2的整数倍，所以点(，)还可以写成(，2k)(kZ)；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(，)的坐标还可以写成(，2k)(kZ)厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。3将直角坐标化为极坐标时如何确定和的值？【提示】由2x2y2求时，不取负值；由tan (x0
4、)确定时，根据点(x，y)所在的象限取得最小正角当x0时，角才能由tan 按上述方法确定当x0时，tan 没有意义，这时又分三种情况：(1)当x0，y0时，可取任何值；(2)当 x0，y0时，可取；(3)当x0，y0时，可取.茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。解惑：_籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。疑问2：_預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅绌鳆現檳硯遙枨纾釕鴨鋃蠟总鴯询喽箋。解惑：_渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞
5、陉鳅陸蹕銻桢龕嚌谮爺铰苧芻鞏東誶葦。疑问3：_铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴楓鳄烛员怿镀鈍缽蘚邹鈹繽駭玺礙層談。解惑：_擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无貽鳃闳职讳犢繒笃绨噜钯組铷蟻鋨赞釓。极坐标系中点的坐标写出图414中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标(0,02)图414【自主解答】对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A，B，C，D，E，F(3，)，G.贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉匮鲻潰馒鼋餳攪單瓔纈釷祕譖钭弯惬閻。再练一题1已知边长为a的正六边形ABCDEF，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标【导学号：98990003】【解】以正六边形中心O为极点，OC所在直线为极
6、轴建立如图所示的极坐标系由正六边形性质得：C(a,0)，D(a，)，E(a，)，F(a，)，A(a，)，B(a，)坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱釣缋鲸鎦潿硯级鹉鄴椟项邬瑣脐鯪裣鄧鯛。或C(a,0)，D(a，)，E(a，)，F(a，)，A(a，)，B(a，).蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦繯颓鲷洁遲銻鹂迳睁張晕辯滾癰學鸨朮刭。极坐标的对称性在极坐标系中，求与点M(3，)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标【自主解答】极坐标系中点M(，)关于极轴对称的点的极坐标为M(，2k)(kZ)，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k)(kZ)買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄届嬌擻歿鲶锖够怿輿绸養吕諄载殘撄炜豬铥嵝。再练一题2在极坐
7、标系中，点A的极坐标为(限定0，02)綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴飙钪麦蹣鲵殘荩讳创户軾鼹麗躑時嘮犖鈞泞椁。(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是_；(2)点A关于极点对称的点的极坐标是_(3)点A关于直线对称的点的极坐标是_【解析】通过作图如图可求解为【答案】(1)(3，)(2)(3，)(3)(3，)驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦諑琼针咙鲲鏵鲠黾诂鰒猫餑矫赖懾鷗邻嫱鏹癣。极坐标与直角坐标的互化(1)把点M的极坐标化成直角坐标；猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑献鵬缩职鲱样犧硯嬸軼產锺銪貸崳门騭荧愛缪。(2)把点P的直角坐标(，)化成极坐标(0，02)锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔嗚訝摈馍鲰钵鈳銻趨線賜辭尋谳殼車墾骝颁许。【自主解答】(
8、1)x8cos4，y8sin4，因此，点M的直角坐标是(4,4)構氽頑黉碩饨荠龈话骛門戲鷯瀏鲮晝崃怿挟懺潆说荚諼嘰虽涤漬确轾。(2)2，tan ，又因为点P在第四象限且02，得.因此，点P的极坐标为(2，)輒峄陽檉簖疖網儂號泶蛴镧釃邊鲫釓袜讳铈骧鹳蔦馳诸寫簡腦轅騁镀。再练一题3(1)把点A的极坐标(2，)化成直角坐标；(2)把点P的直角坐标(1，)化成极坐标(0,02)【解】(1)x2cos ，y2sin 1，故点A的直角坐标为(，1)(2)2，tan .尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅瀝纰縭垦鲩换鹊黾淺赖謬纩斃誅兩欤辈啬紳骀。又因为点P在第四象限且02，得.因此点P的极坐标是(2，)极坐标系的应用在极坐
9、标系中，已知A，B，求A、B两点之间的距离识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒侬减攙苏鲨运著硯闋签泼熾赇讽鸩憲餘羁鸲傘。【思路探究】将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解【自主解答】对于A(3，)，x3cos()；y3sin()，凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴铍賄鹗骥鲧戲鋃銻瞩峦鳜晋净觸骝乌噠飑罗奐。A(，)对于B(1，)，x1cos ，y1sin ，B(，)恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦聰櫻郐燈鲦軫惊怼骥饌誚層糾袄颧颅氢檣亿撐。AB4，鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫摇饬缗釷鲤怃诖讳緘貞楼剂镂蝕阔釔縮賭鶯燙。A、B两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题因此，换一个坐标系，把
10、极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹鸶胶据实鲣赢虧黾买硤鬓鸭怄萧锹诈趸办勞繞。再练一题4在极坐标系中，已知三点：A(4,0)、B、C.阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖輛埙鵜蔹鲢幟簞硨虑嬰訖領袞薈铍綿頦统议蠱。(1)求直线AB与极轴所成的角；(2)若A、B、C三点在一条直线上，求的值【解】(1)点A的直角坐标为(4,0)，点B的直角坐标为(0，4)，直线AB在直角坐标系中的方程为xy4.故直线AB与x轴所成角为.氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩纷釓鄧鳌鲡貼閂銻響颟晋铴鲵舻邝滥臥阗块賃。(2)点C的直角坐标为，釷鹆資贏車贖孙
11、滅獅赘慶獷緞瑋鲟将摇怼諳调馍躓潆脅踌懟档擻諞銖。代入直线方程得4，解得4(1)真题链接赏析(教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：，(5，)，怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉馴鸨撟鉍鲞谣谧讳开疠蟯许轡缴谰刘緄諫巒題。.谚辞調担鈧谄动禪泻類谨觋鸾帧鲜奧淨黾违坛拦聰囈編诖骈贰伤踪鸛。已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标(1)A(3，)；(2)B(2，2)；(3)C(0，2)；(4)D(3,0)【命题意图】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题【解】(1)由题意可知：2，tan ，所以，嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩癱恳迹见鲛請綃硨標霽颌穑缂绷蝾鑄陝筚扫咛。所以点A的极坐标为(2，)(2)
12、4，tan ，又由于为第三象限角，故，所以B点的极坐标为(4，)熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库圆鍰缄鹗鲚圆韓銻鋸詘熒渙陣絎茔谯凍镀鑾惬。(3)2.为，在y轴负半轴上，所以点C的极坐标为(2，)鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞阕簣择睜鲔诌梦怼烨愛总挛摜纷缪腦旧慘梔浏。(4)3，tan 0，故0.所以D点的极坐标为(3,0)1点P(2,2)的极坐标(0,2)为_【解析】由2，纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛覲僨鴛鋅鲒嗚赠讲颤員阚夠诞糶绋痉紙詎铼筚。tan 1，P点在第二象限内，的极坐标为(2，)【答案】(2，)2在极坐标系中，与(，)关于极轴对称的点是_【导学号：98990004】【解析】极径为，极角为，关于极轴对称的角为负角，故所求的点为(，)【答案】(，)3将极坐标化为直角坐标为_颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷涨负這恻鲑觶嘰黾粵闺勝债黌竞稳撐谕鷯浍苌。【解析】xcos 2cos0，ysin 2sin2，濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻減栖綜诉鲐卺網硨鴦觌崃鲞療禎瓯唢問瘗閎谌。故直角坐标为(0，2)【答案】(0，2)4已知A，B的极坐标分别是和，则A和B之间的距离等于_銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼鏗穎報嚴鲍蝇餑銻脏溆镣闕钪睑滤鸦傖铗玀钉。【解析】由余弦定理得AB .【答案】我还有这些不足：(1)_挤貼綬电麥结鈺贖哓类芈罷鸨竇鲋鑿浈怼減匮編钲奖痙毁閂挚峽颛阐。(2)_
