《积分不等式的证明方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《积分不等式的证明方法（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、. . . . 摘 要在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、
2、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性ABSTRACTWhen we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skillIn this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledg
3、e of elementary mathematics and higher mathematics better. Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing rela
4、ted content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,
5、important integral inequality, integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarizedKey words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem, Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty 1.引 言不等式在
6、数学中有着重要的作用,在数量关系上,尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里,然而人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到17世纪之后,不等式的理论才逐渐的成长起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分.众所周知,不等式理论在数学理论中有着重要的地位,它渗透到了数学的各个领域中,因而它是数学领域中的一个重要的内容.其中积分不等式更是高等数学中的一个重要的内容实际上关于定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题.有关定积分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希腊时期,阿基米德就曾经用求和的方法计算过抛物线弓形和其他图形的面积.在历史上,积分观念的形成要比
7、微分早.然而直到17世纪后半期,较为完整的定积分理论还没有能够形成,一直到Newton-Leibniz公式建立之后,有关计算的问题得以解决后,定积分才迅速的建立并成长起来本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式.关于它的证明向来是高等数学中的一个重点及难点.对积分不等式的证明方法进行研究，并使其系统化，在很大程度上为不同的数学分支之间架起了桥梁.深刻的理解及掌握积分不等式的证明方法可以提升我们对其理论知识的理解,同时可以提高我们的创造思维和逻辑思维在论文的第三部分中对积分不等式的证明方法进行了详细的阐述.分别从利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用泰勒公式
8、、利用重积分、利用微分中值定理、利用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明方法.这样通过几道常见的积分不等式的证明题,从不同的角度,用不同的方法研究、分析了积分不等式的特点,归纳总结出了其证明方法.同时论文中也对有的题目给出了多种证明方法,这启示我们对于同一道积分不等式而言它的证明方法往往不止一种,我们需要根据实际情况采用合适的方法去证明,从而达到将问题化繁为简的目的 2.几个重要的积分不等式在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式,如Cauchy-Schwarz不等式,Young不等式等.它们的形式及证明方法都有很多种,在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明方法2.1 Cauc
9、hy-Schwarz不等式无论是在代数还是在几何中Cauchy-Schwarz不等式的应用都很广泛,它是不同于均值不等式的另一个重要不等式其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间中的以及维欧氏空间中的4种形式.接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进行研究定理2.11 设, 在上连续,则有 2 证明：要证明原不等式成立,我们只需要证 成立设,则只要证成立,由在上连续,在内可导,得 (2.1)由(2.1)式可知在上递增,由,知,故原不等式成立 证毕实际上关于Cauchy-Schwarz不等式的证明方法有很多,这里我们采用的证明方法是较为普遍的辅助函数法,它将要证明的原积分不等式通过移项转
10、变为了判断函数在两个端点处函数值大小的问题通过观察我们可以进一步发现原Cauchy-Schwarz不等式能够改写成以下行列式的形式,由此我们可以联想到是否可以将它进行推广？答案是肯定的.下面我们将给出不等式的推广形式定理2.22 设,在上可积,则 证明：对任意的实数,有注意到关于,的二次型实际上为半正定二次型,从而其系数矩阵行列式为 证毕以上的推广是将Cauchy-Schwarz不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式,事实上Cauchy-Schwarz不等式是一个在很多方面都很重要的不等式,例如在证明不等式,求函数最值等方面.若能灵活的运用它则可以使一些较困难的问题得到解决.下面我们会在第三部
11、分给出Cauchy-Schwarz不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用除了Cauchy-Schwarz不等式之外还有很多重要的积分不等式,例如Young不等式,相较于Cauchy-Schwarz不等式我们对Young不等式的了解比较少,实际上它也具有不同的形式且在现代分析数学中有着广泛的应用.接着我们将对Young不等式进行一些研究2.2 Young不等式Young不等式,以及和它相关的Minkowski不等式,Hlder不等式,这些都是在现代分析数学中应用十分广泛的不等式,在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见,是使用得最为普遍,最为平凡的知识工具.下
12、面我们将给出积分形式的Young不等式的证明定理2.33 设在（）上连续且严格递增,若,且,则,其中是的反函数,当且仅当时等号成立证明：引辅助函数, (2.2)把看作参变量,由于,且严格递增,于是当 时,；当 时,；当 时,因此 当时,取到的最大值,即 (2.3)由分部积分得,作代换,上面积分变为, (2.4)将(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得,即 证毕3.定积分不等式常见的证明方法关于积分不等式的证明方法较为繁多,难度及技巧性也较大,因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的在这一部分中我们将归纳出利用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式的方法3.1
13、利用函数的凹凸性在数学分析以及高等数学中,我们常常会遇到一类特殊的函数凸函数凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实际应用,在有些不等式的证明中,若能灵活地利用凸函数的性质往往能够简洁巧妙的解决问题下面给出一个例子加以说明定理3.1 若定义在间隔内,且,则必为下凸函数定理3.2 设在上为可积分函数,而又设在间隔内为连续的下凸函数,则有不等式例3.14 设在上连续,且,求证：证明: 取, 因为,即在时,为凸函数,故有，即，故 证毕在上述的题目中我们可以发现在证明中常常先利用导数来判断函数的凹凸性,然后再利用凹（凸）函数的性质来证明不等式然而对于实际给出的题目,我们往往需要先构造一个凹（凸）函数,然
14、后才能利用其性质来证明我们所要证明的问题3.2 辅助函数法 辅助函数法是积分不等式证明中的一种非常重要的方法,往往我们会根据不等式的特点,构造与问题相关的辅助函数,考虑在相同的区间上函数所满足的条件,从而得出欲证明的结论在第二部分中我们用辅助函数法对Cauchy-Schwarz不等式进行了证明,下面将对用辅助函数法证明积分不等式进行进一步的探讨例3.2.15 设函数在区间上连续且单调递减,证明：对时,有： 证明：令 ,由连续,得可导则 , 因为在上单调减少,而,有,从而,在上单调减少,则对任意,有即,两边同乘,即得 证毕本题根据积分不等式两边上下限的特点,在区间上构造了一个辅助函数,进一步我们可以思考对于一般的情形,该题的结论是否依然成立呢？答案是肯定的.例3.2.2 设函数在区间上连续且单调递减非负,证明：对,且时,有: 证明：令,由连续,得可导, 则 , 因为在上单调减少,而,有,从而,在上单调减少,则对任意,有,即 (3.1)由非负,可得 (3.2)结合(
