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1、第 1 页 共 15 页 高考数学一模试卷 文科 高考数学一模试卷 文科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 已知集合 A x x a B 0 1 2 若 A B 则 a 的取值范围是 A 0 B 0 C 2 D 2 2 等差数列 an 中 a2 7 a6 23 则 a4 A 11B 13C 15D 17 3 已知函数 若 f a 2 则实数 a A 1B 4C 或 1D 1 或 4 4 如图 是 3 世纪汉代赵爽在注解 周髀算经 时给 出的弦图 它也被 2002 年在北京召开的国际数学家 大会选定为会徽 正方形 ABCD 内有四个全等的直 角三角形
2、 在正方形内随机取一点 则此点取自中间 小正方形部分的概率是 A B C D 5 下列函数中不是偶函数的是 A f x lnx B f x sin x C f x x 2 e x D f x tan x 6 k 4 是 0 k 4 的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 7 已知平面向量的模都为 2 且 90 若 0 则 A 4B C 2D 0 8 一个放射性物质不断衰变为其他物质 每经过一年就有 的质量发生衰变 若该物 质余下质量不超过原有的 1 则至少需要的年数是 A 6B 5C 4D 3 9 在学校举行的一次年级排球赛比赛中 李明 张华 王强三
3、位同学分别对比赛结果 的前三名进行预测 李明预测 甲队第一 乙队第三 第 2 页 共 15 页 张华预测 甲队第三 丙队第一 王强预测 丙队第二 乙队第三 如果三人的预测都对了一半 则名次为第一 第二 第三的依次是 A 丙 甲 乙B 甲 丙 乙C 丙 乙 甲D 乙 丙 甲 10 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别是 a b c 若 a 2 C tanB 则 ABC 的面积等于 A B C 2D 11 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC AA1 1 AB AC 点 E 为棱 AA1的中点 则点 C1到平面 B1EC 的距离等于 A B C D 1 12 已知直线 1 y 3x
4、 与函数 f x 的图象交于三点 其横坐标分别是 x1 x2 x3 若 x1 x2 x3 0 恒成立 则实数 a 的取值范围是 A a 3B 0 a 4C 3 a 6D a 6 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 已知 i 为虚数单位 复数 Z1 2 i Z2 1 i 那么 Z1Z2 14 函数 f x sinx cosx 0 x 的值域是 15 已知直线 y 1 是曲线 y xex a 的一条切线 则 a 的值是 16 已知抛物线 M x2 4py p 0 的焦点为 F 其准线与双曲线 N y2 1 交于 A B 两点 若 FAB 是等边三角形 则双曲线 N 的离心率的取
5、值范围是 三 解答题 本大题共 7 小题 共 82 0 分 17 如图所示 在平面四边形 ABCD 中 BC CD 2 BCD 的面 积是 2 1 求 BCD 的大小 2 若 ABD 2 ACB 60 求线段 AD 的长 18 如图 1 在边长为 3 的菱形 ABCD 中 已知 AF EC 1 且 EF BC 将梯形 ABEF 沿直线 EF 折起 使 BE 平面 CDFE 如图 2 P M 分别是图 2 中 BD AD 上的 点 1 求证 图 2 中 平面 ADF 平面 ABEF 2 若平面 PAE 平面 CMF 求三棱锥 M 一 CDF 的体积 第 3 页 共 15 页 19 为研究男 女生
6、的身高差异 现随机从高二某班选出男生 女生各 10 人 并测量 他们的身高 测量结果如下 单位 厘米 男 164 178 174 185 170 158 163 165 161 170 女 165 168 156 170 163 162 158 153 169 172 1 根据测量结果完成身高的茎叶图 单位 厘米 并分别求出男 女生身高 的平均值 2 请根据测量结果得到 20 名学生身高的中位数中位数 h 单位 厘米 将男 女生身高不低于 h 的人数填入下表中 并判断从是否有 90 把握认为男 女生身 高有差异 人数男生女生 身高 h 身高 h 参照公式 k2 P K2 k 0 100 050
7、 0250 0100 0050 0025 k02 7063 8415 0246 6357 87910 828 3 若男生身高在低于 165 厘米为偏矮 不低于 165 厘米且低于 175 厘米为正常 不低于 175 厘米为偏高 假设可以用测量结果的频率代替概率 试求从高二的男生 中任意选出 2 人 恰有 1 人身高属于正常的概率 第 4 页 共 15 页 20 已知椭圆 N 1 a b 0 经过点 C 0 1 且离心率为 1 求椭圆 N 的方程 2 直线 l y kx 与椭圆 N 的交点为 A B 两点 线段 AB 的中点为 M 是否存 在常数入 使 AMC ABC 恒成立 并说明理由 21
8、已知函数 f x ax2 x xlnx a R 1 若 a 讨论函数 f x 在其定义域上的单调性 2 若 f x 在其定义域上恰有两个零点 求 a 的取值范围 22 在平面直角坐标系中 已知点 A 10 0 以坐标原点 O 为极点 x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系 曲线 M 的参数方程为 0 为参数 曲线 N 的极坐标方程为 1 cos 2 1 求曲线 M 的极坐标方程 2 设曲线 M 与曲线 N 的交点为 P Q 求 OP OQ 的值 23 已知函数 f x x x M 为不等式 f x 2 的解集 求 M 证明 当 a b M 时 a b 1 ab 第 5 页 共 15 页 第 6 页
9、 共 15 页 答案和解析答案和解析 1 答案 D 解析 解 A B 且 A x x a B 0 1 2 a 2 a 的取值范围是 2 故选 D 根据 A x x a B 0 1 2 并且 A B 从而得出 a 2 即得出 a 的取值范围 考查描述法 列举法的定义 以及交集的定义及运算 空集的定义 2 答案 C 解析 解 等差数列 an 中 a2 7 a6 23 解得 a1 3 d 4 a4 a1 3d 3 12 15 故选 C 利用等差数列的通项公式列出方程组 求出首项和公差 由此能求出结果 本题考查等差数列的第 4 项的求法 考查等差数列的性质等基础知识 考查运算求解能 力 是基础题 3
10、答案 D 解析 分析 本题考查函数定义域与值域 考查运算求解能力 是基础题 当 a 0 时 f a 当 a 0 时 f a 2 由此能求出实数 a 的值 解答 解 函数 f a 2 当 a 0 时 f a 解得 a 1 当 a 0 时 f a 2 解得 a 4 综上 实数 a 的值为 1 或 4 故选 D 4 答案 B 解析 分析 本题考查了几何概型问题 考查数形结合思想 是一道基础题 求出大正方形的面积 从而求出满足条件的概率即可 解答 解 假设小正方形边长为 1 则其面积为 1 而正方形 ABCD 边长为 5 所以大正方形面积为 25 故选 B 第 7 页 共 15 页 5 答案 A 解析
11、 解 A 函数的定义域为 0 定义域关于原点不对称性 为非奇非偶 函数 B f x sin x cosx 则 f x 是偶函数 C 函数的定义域为 x x 0 则 f x e x e x f x 则函数 f x 是偶函 数 D 函数的定义域为 x x k k 0 则 f x tan x tan x 即 f x 是偶函数 故选 A 根据函数奇偶性的定义 判断 f x f x 是否成立即可 本题主要考查函数奇偶性的判断 结合偶函数的定义是解决本题的关键 6 答案 B 解析 解 由 k 4 不能推出 0 k 4 但是由 0 k 4 能推出 k 4 故 k 4 是 0 k 4 的必要而不充分条件 故选
12、 B 根据充分必要条件的定义 分别证明充分性和必要性 从而得出结论 本题考查了充分必要条件 是一道基础题 7 答案 A 解析 解 平面向量的模都为 2 且 90 若 0 建立平面直角坐标系如图 则 2 2 M 则 2 2 4 故选 A 利用已知条件建立坐标系 求出相关的向量 通过向量的数量积求解即可 本题考查平面向量的数量积的运算 转化为坐标运算 使问题简化 8 答案 C 解析 分析 本题考查指数不等式的求法 考查运算求解能力 属于基础题 物质余下质量不超过原有的 1 设至少需要的年数为 n 列出不等式 a 1 n a 1 由此能求出至少需要的年数 解答 解 物质余下质量不超过原有的 1 设至
13、少需要的年数为 n 则 a 1 n a 1 第 8 页 共 15 页 解得 n log4100 至少需要的年数是 4 故选 C 9 答案 A 解析 解 若甲队第一对 则乙对第三错由王强的判断知 丙队第二对 此时张华说 的全对 矛盾 若乙队第三对 则丙队第二和甲队第一错 故甲队第二 丙对第一 张华也说对了一半 此时成立 故选 A 根据三人的判断 分类讨论即可 本题的解决方法为假设某一说法正确 看能否得到矛盾 从而得到正确的论断 属基础 题 10 答案 A 解析 解 根据题意 在 ABC 中 tanB 则 且 0 B 又由 sin2B cos2B 1 则 sinB cosB 又由 C 则 sinA
14、 sin B C sinBcosC sinCcosB 又由 则 b 则 ABC 的面积 S absinC 2 故选 A 根据题意 由 tanB 的值结合同角三角函数的基本关系式分析求出 sinB cosB 的值 又 由和角公式可得 sinA sin B C 计算可得 sinA 的值 由正弦定理求出 b 的值 据此 由三角形面积公式计算可得答案 本题考查三角形中的几何计算 涉及正弦 余弦定理的应用 属于基础题 11 答案 C 解析 解 在直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB AC AA1 1 AB AC 以 A 为原点 AB AC AA1所在直线分别为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 点
15、E 为棱 AA1的中点 C1 0 1 1 B1 1 0 1 E 0 0 C 0 1 0 0 1 1 0 0 1 设平面 B1EC 的法向量 x y z 第 9 页 共 15 页 则 取 x 1 得 1 1 2 点 C1到平面 B1EC 的距离为 d 故选 C 以 A 为原点 AB AC AA1所在直线分别为 x y z 轴 建立空间直角坐标系 利用向 量法能求出点 C1到平面 B1EC 的距离 本题考查点到平面的距离的求法 考查空间中线线 线面 面面间的位置关系等基础知 识 考查运算求解能力 是中档题 12 答案 D 解析 解 由 解得 x 0 或 x 2 即 x1 2 x2 0 由 解得 x
16、 且 1 即 a 3 且 x3 x1 x2 x3 0 恒成立 2 0 0 解得 a 6 故选 D 分别求出 x1 x2 x3 再结合 x1 x2 x3 0 恒成立 即可求出 a 的取值范围 本题考查了分段函数和参数的取值范围的问题 考查了运算能力和转化能力 属于中档 题 13 答案 3 i 解析 分析 本题考查复数代数形式的乘除运算 是基础题 把 Z1 2 i Z2 1 i 代入 Z1Z2 再由复数代数形式的乘除运算化简得答案 解答 解 Z1 2 i Z2 1 i Z1Z2 2 i 1 i 2 2i i 1 3 i 故答案为 3 i 14 答案 1 解析 解 f x sinx cosx sin x 0 x x sin x 1 故 f x 1 第 10 页 共 15 页 故答案为 1 利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式 通过角的范围 结合正弦函数的值域求 解即可 本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的最值的求法 考查计算能力 15 答案 解析 解 根据题意 直线 y 1 是曲线 y xex a 的一条切线 设切点坐标为 n 1 对于 y xex a 其导数 y ex xex 若
