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1、教学基本信息课题二次函数的应用学科数学学段：初中年级九年级相关领域二次函数、实际应用指导思想与理论依据世界著名的数学教育家弗赖登塔尔认为，“数学教育要引导学生了解周围的世界，周围的世界应该是学生探索的源泉，而数学课本从结构上应当从与学生生活体验密切相关的问题开始，发现数学概念和解决实际问题，实现数学化。”法国著名数学家笛卡儿所说: “我们所解决的每一个问题，将成为一个模式，以用于解决其他问题”。通过模型进而利用一次函数或反比例函数或二次函数、方程( 组) 、不等式、三角函数等知识设计不同的方案，或制定一个最佳方案解决实际问题。它既符合素质教育提出的“培养学生应用意识”的新要求，同时也有利于培养
2、学生分析问题和解决问题的能力，解这类数学应用题的关键是通过对问题原始形态的分析、联想和抽象，将实际问题转化为一个数学问题，即构建一个函数数学模型。数学课程的设计，充分考虑本阶段的学生学习数学的特点，符合学生的认知规律和心理特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学的结果的同时，重视学生的已有经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题，构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。为了适应时代对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的模型思想与应用意识和创新意识。本节课是学习了二次函数后的一个探究建模课，学生小组合作，实
3、地操作，探究投篮时的篮球运动轨迹，也为学生提供一些测量工具，积极引导学生利用所学知识设计解决问题的方案。从分享学生测量、探究篮球运动轨迹是哪种曲线（课前已经实地测量估算），这一生活情境激发学生兴趣导入；再到利用二次函数建立模型，对提高实际投篮命中率进行分析，提出建议，步步深入。使学生形成把实际问题通过建立数学模型，转换成数学问题进行求解的思想，使学生体会到数形结合、数学建模思想、转化等数学思想方法的实际意义，同时培养学生探索知识，理论联系实际的能力，培养发展学生的模型思想与应用意识和创新意识，切实体会数学来源于生活，同时服务于生活的真谛。教学背景分析一、教材分析二次函数这一章编排在人教版初中数
4、学教科书的九年级下册第二十六章，是作为对前面两种基本函数类型（一次函数、反比例函数）学习的一个延伸与提高，也是初中阶段函数学习的一个重要环节。二次函数是刻画某些单一变量最优化的数学问题模型，如：求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数的图象抛物线是人们日常生活中最为熟悉的曲线之一，如喷泉的水流、投篮的曲线，推铅球、投掷标枪等都是形成抛物线路径；同时因为抛物线给人一种视觉美感，所以其形状在建筑上也有着广泛的应用，如拱桥、隧道、北方农村的窑洞门窗等都是抛物线形。二次函数的应用举例是人教版初中数学九年级下册第26章“二次函数”中第二节的内容，但是本节课不局限于应用举例，而是让学生面对实际问题，学生熟
5、悉的球类运动问题，利用已学二次函数知识进行建立数学模型进行求解，具有一定的挑战性。本节课的学习既是对前面所学习的二次函数相关知识的应用和提升，又是高中继续学习二次函数的预备知识，它的学习还蕴涵着深刻的数学思想方法（数学建模、转化化归）。因此，本节课的学习在整个中学数学学习中具有重要地位。二、学情分析在学习本节之前，学生已经学习了函数的定义，图像性质的研究方法；对具体的一次函数，反比例函数的图象以及性质也做了详细研究，头脑中有一些函数思想，而且对二次函数的定义，性质，图像，以及利用函数的观点研究方程的解的情况，对于简单的实际应用也有所掌握，具备了准确画图，分析性质，基本的解决实际问题的能力；而且
6、小组合作，去实践操作估算、验证投篮过程中，篮球运动的轨迹是否符合二次函数的图形抛物线，但是在运用二次函数的有关知识，建立模型，解决生活中的实际问题方面还是有所欠缺的，需要用讨论或教师提问引导的方式帮助学生搭建台阶，进而培养学生数学建模的能力，以及转化化归的数学思想方法。 教学目标(内容框架)教学目标：1. 以具体实践案例为基础，理解二次函数的深刻内涵及有关概念，感受现实问题中两个变量之间的相互关系；2. 体会数量关系变化的过程，学会使用“二次函数”这一数学模型；3. 使学生能够正确建立直角坐标系，从而应用二次函数的图象和性质解决实际问题；4. 培养学生数学建模能力（包括理解实际问题的能力，抽象
7、分析问题的能力，运用数学知识的能力和通过实际加以检验的能力，体会数学知识的现实意义，激发学生学习数学的热情；教学重点及难点：1 教学重点：1、 将生活中的实际问题转化为数学问题。2、 将实际问题中的数量关系，归结二次函数变量之间的关系，从而利用二次函数知识解决实际问题。2 教学难点：1、 将实际问题转化为数学问题。2、 在特定条件下，建立数学模型。教学流程示意图开始实物投影方案展示学习小组探究篮球运动轨迹方案感受数学建模思想方法的应用辅助梳理辅助梳理抽象数学模型解决新问题（二次函数应用）加深提高总结提升教学过程一、实践探究、分享收获问题:生活中，篮球运动我们每个人都喜欢。那么投篮过程中，篮球的
8、运动路线是何种曲线，抛物线？我们是否可以探究一下，投篮过程中的实际路线，是否与数学中的抛物线吻合或者接近，还是与其他曲线函数符合？测量目标：投篮过程中，篮球的运动路线测量地点：篮球场测量工具：皮尺或者标尺（可测量长度、高度，单位m）；照相机（可拍摄篮球的运动路线），直尺，计算器等要求：请你在篮球场地面上利用所提供的测量工具，设计一种测量方法，画出示意图，利用你采集的数据，说明投篮过程中的实际路线，是否与数学中的抛物线吻合或者接近？还是与其他曲线函数符合？并说明理论依据。注：（课前学生已经实地去测量体验）学生小组代表结合示意图，汇报测量方案。【设计意图】让学生实地探究，将实际问题抽象成数学问题，
9、感受、体验在解决问题过程中，遇到的困难与收获，培养学生建模能力，学科知识的综合应用能力，感受数学的实用性，体会数学来源于生活，又服务于生活。二、联系实际、建立模型情景一、一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高209 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，篮圈中心距离地面3米。问此球能否投中？问题1：面对这一实际问题，我们该如何入手解决？学生回答自己的想法问题2:请根据实际问题背景，抽象成数学问题，画出示意图问题3：请建立合适的平面直角坐标系，如何建立坐标系能使得问题解决更简单可行。预设：1、以起跳点为原点，地平面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系
10、；2、以起跳点与篮圈投影点的中点为原点，地平面所在直线为x轴，建立平面直角坐标系；3、最高点为原点，建立平面直角坐标系；4、以篮圈中心为原点，建立平面直角坐标系；【设计意图】培养学生将实际问题转化成数学问题的能力，锻炼学生如何将一个实际问题中的实物抽象成数学语言，进而解决实际问题。解：如图，建立平面直角坐标系，点（4，4）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数为：, 篮圈中心距离地面3米,此球不能投中问题;若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?预设:（1）跳得高一点（2） 向前平移一点【设计意图】通过这一问题，让学生思考角度和力度都不变,，与哪些数学知识点有关，体会
11、实际问题中的语言，与数学知识点的转化，进而体会抛物线上下、左右的平移应用。(1)在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为多少时能将篮球投入篮圈?(2)在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮圈？三、学以致用，巩固提高练习：一场足球比赛中, 一球员从球门正前方17m 处将球踢起正射向球门, 球飞行路线为抛物线, 当球飞行水平距离为1 0m时，球到达最高点，此时球高4米。在球门正前方1m 处只有一名身高1.85m的后卫, 他的最大弹跳高度为o.8m，若此时该后卫起跳及时，他能否拦住球? 为什么? 若没有这名后卫, 球能否射进球门(在不
12、考虑守门员等情况下) ? ( 球门高:2.44m)【教师、学生活动】过程小结：我们通过建立数学模型把实际问题转化成数学问题来解决，体现了数学中的建模的思想。建模思想：把实际问题中跟问题解决有关的因素抽象出来，把与问题解决无关的因素略去，从而把一个实际问题转化成一个数学问题，通过解决数学问题来解决实际问题。数学建模过程:1模型准备：了解实际问题的背景，实际问题中的各个对象的信息；2模型假设：合理的将各个对象抽象成数学图形语言；3模型建立：利用适当的数学工具来刻画对象间的关系；4模型求解：利用相关数学知识，以及所获取的数据进行求解；5模型检验：考虑实际意义，检验模型的可行性。【设计意图】进一步巩固
13、练习，感受数学建模的过程。四、归纳总结、联系深化归纳总结二次函数在生活实际中的应用，我们要把实际生活问题抽象为数学问题，通常分为三步：（1）阅读理解。即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学本质，弄清楚题中出现的量及其数学含义。（2）根据各个量的关系，进行数学化设计。即建立目标二次函数，将生活实际问题转化为数学问题。（3）进行标准化设计。即转化为常规的二次函数问题或其他常规的数学问题加以解决。【教师学生活动】生活实践中的测量比我们课堂上所学要复杂，而且可能会遇见许多想不到的困难，希望同学们能够灵活运用所学知识解决具体问题。与学生分享数学家名言：不管数学的任一分支是多么抽象，总有一
14、天会应用在这实际世界上。-罗巴切夫斯基【设计意图】总结本节所学知识，体会数学思想；了解实践与理论的差别。给学生启示数学知识一定会应用于实际世界中。学习效果评价设计评价方式请选择生活中的曲线运动。设计方案并实地测量探究，完成下面测量报告：1、测量项目名称：2、测量方案(方法、原理及图示)：3、测量工具：4、测得的数据：5、测量的结果(主要算式及计算过程)6、简述设计的方案的可行性，有无推广的意义？本教学设计与以往或其他教学设计相比的特点(300-500字数)1、 本设计很好地展示了二次函数在实际中的广泛应用。课前实践，利用相机、皮尺等工具探究投篮过程中的实际路线，是否与数学中的抛物线吻合或者接近
15、？让学生体会到二次函数的实际应用来源于实际生活，也让学生看到他们在解决实际问题中的重要作用；课堂上，面对实际问题，充分训练思维，利用建模的思想，给出解决方案，感受由实际问题抽象出数学问题，解决数学问题并将数学问题的答案回到实际问题的这种“实践理论再实践”的认识过程，这个认识过程符合人的认知规律，能够激发学生的学习兴趣，有利于调动学生学习数学的积极性。2、 本设计让学生离开了传统意义上的课堂 ，走出教室实际测量，感受和学习现实中的数学，创设问题情境，给学生充分的思考与交流的空间，引导学生发挥自主性思维，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并解释应用的过程，培养了团队协作能力，观察分析能力，动手实践能力，以及对知识的综合运用能力和创新能力。12
