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1、高新部高一开学考试数学试题一、选择题(每小题5分,共60分)1. 设f:xx2是集合A到集合B的映射,若B1,2,则AB为A. B.1 C.或2 D.或12. 函数的图象如图,其中a、b为常数,则下列结论正确的是 A. B.C. D.3. 下列各组函数中,表示同一函数的是A.f(x)与g(x)= f (x +1) B. f (x)= x 2-2 x -1与g (t)= t 2-2 t -14. 函数y=的定义域是A.1,+ B. C. D.5、已知分别是的边的中点,且,则1) 2) 3) 4)中正确的等式的个数为( )个A. 1 B. 2 C. 3 D. 46、在边长为的菱形中,,为的中点,则
2、( )A. B. C. D.7、下列函数中,周期为,且在上单调递增的是( )A. B. C. D. 8、已知,则( )A B C D9、若点是所在平面内一点,且满足,则与面积之比等于 ( ) A B C D10函数部分图象如图所示,且,对不同的,若,有,则( )A.在上是减函数 B.在上是增函数 C.在上是减函数 D. 在上增函数11、已知是定义在上的函数,对任意两个不相等的正数,当时,都有。记,则( ) A B C D12.已知函数,则函数在区间内所有零点的和为( )A16 B30 C32 D40二、填空题(本大题共有4个小题,每小题5分,共20分)13.设平面向量,则 .若与的夹角为钝角,
3、则的取值范围是 14.已知,则 15.函数的最大值是 16.已知函数是定义在上且以3为周期的奇函数,当时,则时, ,函数在区间上的零点个数为 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)已知全集,集合,.求和;已知,若,求的取值范围.18.某城市出租车的收费标准是:3千米以内(含3千米),收起步价8元;3千米以上至8千米以内(含8千米),超出3千米的部分按元/千米收取;8千米以上,超出8千米的部分按2元/千米收取.(本小题满分12分)(1)计算某乘客搭乘出租车行驶7千米时应付的车费;(2)试写出车费(元)与里程(千米)之间的函数
4、解析式并画出图像;(3)小陈周末外出,行程为10千米,他设计了两种方案:方案1:分两段乘车,先乘一辆行驶5千米,下车换乘另一辆车再行5千米至目的地方案2:只乘一辆车至目的地,试问:以上哪种方案更省钱,请说明理由.19(本小题满分12分)函数(,)的图象与轴交于点,周期是(1)求函数解析式,并写出函数图象的对称轴方程和对称中心;(2)已知点,点是该函数图象上一点,点是的中点,当,时,求的值20(本小题满分12分)设函数(,)(1)当,时,解方程; (2)当时,若不等式在上恒成立,求实数的取值范围;(3)若为常数,且函数在区间上存在零点,求实数的取值范围21(本小题共12分)已知圆C:x2y22x
5、4y40,(1)求圆C关于直线对称的圆的方程;(2)问是否存在斜率为1的直线l,使l被圆C截得弦AB,且以AB为直径的圆经过点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由22(本小题共12分)已知且,函数.(1)求的定义域及其零点;(2)讨论并用函数单调性定义证明函数在定义域上的单调性;(3)设,当时,若对任意,存在,使得,求实数的取值范围.112 DDBD CADD BBDC 13. , 14. 15. 16. 17.解:(1),.(2)若时,有,即,此时有,若时,要使成立有综上所述,实数的取值范围为.18.(1)元.(2)(3)方案一的费用为:22元.方案二的费用为:元.方案二更省钱.1
6、9【解】(1)由题意,周期是,即 1分由图象与y轴交于点(0,),可得,2分0, 4分得函数解析式由,可得对称轴方程为,(kZ) 由,可得对称中心坐标为(,0),(kZ) 7分(2)点Q是PA的中点, A,P的坐标为,9分由,可得P的坐标为,又点P是该函数图象上一点, 整理可得:, 10分x0, 11分故或,解得或 12分20【解】(1)当时,所以方程即为:解得:或(舍),所以; 1分(2)当时,若不等式在上恒成立; 当时,不等式恒成立,则; 3分当时,在上恒成立,即在上恒成立,因为在上单调增,则,得;则实数的取值范围为; 6分(3)函数在上存在零点,即方程在上有解;设当时,则,且在上单调增,
7、所以,则当时,原方程有解,则; 8分当时,在上单调增,在上单调减,在上单调增;当,即时,则当时,原方程有解,则; 当,即时,则当时,原方程有解,则; 当时,当,即则时,则当时,原方程有解,则;当,即则时,则当时,原方程有解,则; 10分综上,当时,实数的取值范围为;当时,实数的取值范围为;当时,实数的取值范围为 12分21(1)(2)【解析】试题分析:(1)关键求圆心关于直线的对称点,根据垂直平分条件列方程组,解方程组可得圆心坐标,即得圆方程(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为yxb,以AB为直径的圆过, ,利用向量数量积以及直线方程可得,再联立直线方程与圆方程,利用韦达
8、定理代入解得,即得直线l的方程试题解析:(1)圆C的方程可化为, 设圆心C关于m对称的点为,则解得所以圆C关于直线对称的圆的方程为()设直线l的方程为yxb,则消元得2x2(2b2)xb24b40. 由题知,(2b2)28(b24b4)0,即b26b90 设此方程两根为x1,x2,则A(x1,y1),B(x2,y2)则x1x2(b1),x1x2. 以AB为直径的圆过, 又解得经检验均满足式存在这样的直线为22(1) 定义域为,函数的零点为-1;(2)见解析;(3) .【解析】试题分析:(1)由题意知求得函数 定义域为,再由,即可求解函数的零点;(2)根据函数的单调性的定义,即可证明函数的单调性;(3)由任意,存在,使得成立,得到由(2)知当时, 在上单调递增,得到函数的最大值为,分三种情况讨论,即可求解实数的取值范围.试题解析:(1)由题意知, , ,解得,所以函数 定义域为.令,得,解得,故函数的零点为-1;(2)设, 是内的任意两个不相等的实数,且,则,即所以当时, ,故在上单调递减,当时, ,故在上单调递增.(3)若对于任意,存在,使得成立,只需由(2)知当时, 在上单调递增,则当时, , 成立当时, 在上单调递增, ,由,解得,当时, 在上单调递减, ,由,解得,综上,满足条件的的范围是.