《2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（一） Word版含答案 ]》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义（一） Word版含答案 ]（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、24.1平面向量数量积的物理背景及其含义(一)明目标、知重点1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直1两个向量的夹角(1)已知两个非零向量a，b，作a，b，则AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a，b，并规定它的范围是0a，b.www-2-1-cnjy-com在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有a，bb，a (2)当a，b时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作ab.2平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量|a
2、|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角2-1-c-n-j-y(2)规定：零向量与任一向量的数量积为0.(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为，则向量a在b方向的投影是|a|cos ，向量b在a方向上的投影是|b|cos .3数量积的几何意义ab的几何意义是数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积探究点一平面向量数量积的含义思考1如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功W是多少？ 21*cnjy*com答W|F|s|cos .思考2对于两个非零向量a与b，我们把数量
3、|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，那么ab的运算结果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？【来源：21cnj*y.co*m】答ab的运算结果是数量0a0.思考3对于两个非零向量a与b，夹角为，其数量积ab何时为正数？何时为负数？何时为零？ 答当00；当90180时，ab0；当90时，ab0.小结已知两个非零向量a与b，我们把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角，0，规定：零向量与任一向量的数量积为0.【出处：21教育名师】思考4向量的数量积与数乘向量的区别是
4、什么？答向量的数量积ab是一个实数，不考虑方向；数乘向量a是一个向量，既有大小，又有方向例1已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积【版权所有：21教育】解(1)ab，若a与b同向，则0，ab|a|b|cos 04520；若a与b反向，则180，ab|a|b|cos 18045(1)20.(2)当ab时，90，ab|a|b|cos 900.(3)当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos 304510.反思与感悟求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角，0，180；分别求|a|和|b|；求数量积，即ab|a|b|cos ，要特别注意书
5、写时a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省去21教育名师原创作品跟踪训练1已知|a|4，|b|3，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为60时，分别求a与b的数量积解(1)当ab时，若a与b同向，则a与b的夹角0，ab|a|b|cos 43cos 012.若a与b反向，则a与b的夹角为180，ab|a|b|cos 18043(1)12.(2)当ab时，向量a与b的夹角为90，ab|a|b|cos 904300.(3)当a与b的夹角为60时，ab|a|b|cos 60436.探究点二投影思考1对于两个非零向量a与b，设其夹角为，|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影那
6、么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？21*cnjy*com答不一定；|b|cos .小结我们把|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影，其中为向量a与b的夹角由数量积的定义ab|a|b|cos 可得：|a|cos ；|b|cos .思考2根据投影的概念，数量ab|a|b|cos 的几何意义如何？ 答数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos 的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影|a|cos 的乘积例2已知ab9，a在b方向上的投影为3，b在a方向上的投影为，求a与b的夹角.解即，cos .0180，120.反思与感悟(1)
7、理清“谁在谁上”的投影，再列方程，将条件转化解决(2)注意数量积公式的变形式的灵活应用跟踪训练2已知|a|1，|b|1，a，b的夹角为120，计算向量2ab在向量ab方向上的投影解(2ab)(ab)2a22ababb22a2abb221211cos 12012.|ab|1.探究点三平面向量数量积的性质思考1设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？ 答abab0.思考2当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？ 答当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|；aaa2|a|2或|a|.思考3|ab|与|a|b|的大小关系
8、如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角？答|ab|a|b|，设a与b的夹角为，则ab|a|b|cos .两边取绝对值得：|ab|a|b|cos |a|b|.当且仅当|cos |1，即cos 1，0或时，取“”所以|ab|a|b|.cos .例3已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|.解ab|a|b|cos 55.|ab| 5.|ab| 5.反思与感悟此类求解向量的模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2|a|2，勿忘记开方跟踪训练3已知单位向量e1，e2的夹角为60，求向量ae1e2，be22e1的夹角解e1，e2为单位向量且夹角为60，e1e21
9、1cos 60.ab(e1e2)(e22e1)2e1e2121，|a| ，|b| ，cos .又0，180，120.a与b的夹角为120.1已知|a|8，|b|4，a，b120，则向量b在a方向上的投影为()A4 B4 C2 D2答案D解析b在a方向上的投影为|b|cosa，b4cos 1202.2若向量a，b满足|a|b|1，a与b的夹角为120，则aaab_.答案解析aaab1211cos 120.3在ABC中，|13，|5，|12，则的值是_答案25解析易知|2|2|2，C90.cos B，cos，cos(180B)cos B.|cos(180B)13525.4已知正三角形ABC的边长为
10、1，求：(1)；(2)；(3).解(1)与的夹角为60.|cos 6011.(2)与的夹角为120.|cos 12011.(3)与的夹角为60，|cos 6011.呈重点、现规律1两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0,090时)，也可以为负(当a0，b0,90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时)2两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆21cnjycom3b在a方向上的投影：|b|cos 是一个数量而不是向量具体情况可以借助下表分析：的范围009090901
11、80180图形b在a方向上的投影的正负正正0负负一、基础过关1已知a、b为单位向量，其夹角为60，则(2ab)b等于()A1 B0 C1 D2答案B解析因为a、b为单位向量，且其夹角为60，所以ab11cos 60，(2ab)b2abb2210.2已知|a|9，|b|6，ab54，则a与b的夹角为()A45 B135 C120 D150答案B解析cos ，0180，135.3|a|2，|b|4，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b方向上的投影等于()A3 B2 C2 D1答案D解析a在b方向上的投影是|a|cos 2cos 1201.4已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂
12、直，则等于()A. B C D1答案A解析(3a2b)(ab)3a2(23)ab2b23a22b212180.5已知向量a，b满足ab0，|a|1，|b|2，则|2ab|等于()A0 B2 C4 D8答案B解析|2ab|2(2ab)24|a|24ab|b|2414048，|2ab|2.6已知|a|2，|b|10，a，b120，则向量b在向量a方向上的投影是_，向量a在向量b方向上的投影是_【来源：】答案51解析b在a方向上的投影为|b|cosa，b10cos 1205，a在b方向上的投影为|a|cosa，b2cos 1201.21世纪*7已知ABC中，a，b，当ab满足下列条件时，能确定ABC的形状吗？(1)ab0.解ab|cos A.(1)当ab0时，A为钝角，ABC为钝角三角形；(2)当ab0时，A为直角，ABC为直角三角形；
