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1、1 湖北省荆州中学湖北省荆州中学 2018 20192018 2019 学年高二数学上学期期末考试试题学年高二数学上学期期末考试试题 理理 一 一 选择题选择题 本大题共本大题共 1212 步题 步题 每小题每小题 5 5 分 分 共共 6060 分分 在每小题给出的四个选项中 只有在每小题给出的四个选项中 只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 若0 x 0 y 则1 yx是1 22 yx的 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件 2 向量a 1 2 x b 2 1 y 若 a 5 且a b 则xy 的值为 A 2 B 2 C 1 D 1 3
2、若两直线0343 yx与016 myx平行 则它们之间的距离为 A 5 52 B 2 5 C 5 2 D 2 1 4 某中学高二 5 班共有学生 56 人 座号分别为 1 2 3 56 现根据座号 用系统抽 样的方法 抽取一个容量为 4 的样本 已知 3 号 17 号 45 号同学在样本中 那么样本中 另外一个同学的座号是 A 30 B 31 C 32 D 33 5 若 直 线4mxny 和 圆 O 22 4xy 没 有 交 点 则 过 点 m n的 直 线 与 椭 圆 22 1 94 xy 的交点个数为 A 至多一个 B 0 个 C 1 个 D 2 个 6 某班班会准备从含甲 乙的 6 名学
3、生中选取 4 人发言 要求甲 乙 2 人中至少有一人参加 且若甲 乙同时参加 则他们发言时顺序不能相邻 那么不同的发言顺序的种数为 A 720 B 520 C 600 D 264 7 圆 22 50 xy 与圆 22 126400 xyxy 的公共弦长为 A 5 B 6 C 25 D 26 8 一个算法的程序框图如图所示 该程序输出的结果为 55 36 则空白处应填入的条件是 2 A 9 i B 6 i C 9 i D 8 i 9 函数 sin 2 2 f xx 的图象向左平移 6 个单位后为偶函数 设数列 n a的 通项公式为 6 n n af 则数列 n a的前 2019 项之和为 A 0
4、 B 1 C 3 2 D 2 10 如图 在四棱锥PABCD 中 侧面PAD为正三角形 底面ABCD为正方形 侧面 PAD 底面ABCD M为底面ABCD内的一个动点 且满足MPMC 则点M 在正方形ABCD内的轨迹为 A B C D 11 春节期间 5 位同学各自随机从 三三峡明珠 山水宜昌 荆楚门户 秀丽荆门 三 国故里 风韵荆州 三个城市中选择一个旅游 则三个城市都有人选的概率是 A 50 81 B 20 81 C 81 125 D 27 125 12 椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的右焦点为F 其右准线与轴的交点为A 在椭圆上存在 点P满足线段AP的垂直平分线过点F 则椭
5、圆离心率的取值范围是 A 2 0 2 B 1 0 2 C 21 1 D 1 1 2 二 填空题 二 填空题 本大题共本大题共 4 4 小题 小题 每小题每小题 5 5 分 分 共共 2020 分分 把答案填在题中横一上把答案填在题中横一上 3 13 已知变量 x y满足约束条件 2 4 1 y xy xy 则的最大值为 yxz 4 14 给下列三个结论 命题 2 0 xR xx 的否定是 2 0 xR xx 1 若 2 amb 2 m 则ab 的逆命题为真 2 命题 若 2 1x 则1x 的否命题为 若 2 1x 则1x 3 其中正确的结论序号是 填上所有正确结论的序号 15 平行六面体 11
6、11 ABCDABC D 中 底面ABCD是边长为 1 的正方形 1 2AA 11 120A ADA AB 则对角线 1 BD的长度为 16 若椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 和圆 222 2 b xyc c 为椭圆的半焦距 有四个 不同的交点 则椭圆的离心率e的取值范围是 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本题满分 10 分 已知 p kR 直线1ykx 与椭圆 2 2 1 y x a 有两个不同的公共点 q 0 xR 不等式 00 420 xx a 成立 若 p且q 是假命题 p或q 是真命题 求实数a的
7、取值范围 18 本小题满分 12 分 已知等差数列 n a满足 12231 2 1 nn aaaaaan n nN 求数列 n a的通项公式 求数列 1 2 n n a 的前n项和 n S 4 19 本题满分 12 分 已知AB 分别在射线CMCN 不含端点C 上运动 2 3 MCN 在ABC 中 角ABC 所对的边分别是abc 若abc 依次成等差数列 且公差为 2 求c的值 若3c ABC 试用 表示ABC 的周长 并求周长的最大值 20 本题满分 12 分 某射击运动员进行射击训练 前三次射击在靶上的着弹点ABC 刚好是边长为 3 cm的等边三角形的三个顶点 第四次射击时 该运动员瞄准A
8、BC 区域射击 不会打到ABC 外 则此次射 击的着弹点距ABC 的距离都超过1 cm的概率为多少 弹孔大小忽略不计 该运动员前三次射击的成绩 环数 都在区间 7 5 8 5 内 调整 一下后 又连打三枪 其成绩 环数 都在区间 9 5 10 5 内 现从这 6次射击成绩中随机抽取两次射击的成绩 记为a和b 进行技 术分 析 求事件 1ab 的概率 21 本题满分 12 分 如图三棱柱 111 ABCABC 中 侧面 11 BBC C为菱形 1 ABBC 证明 1 ACAB 若 1 ACAB o 1 60CBB AB BC 求二面角 111 AABC 的余弦值 M N A CB 5 22 本题
9、满分为 12 分 已知椭圆 C 22 22 1 xy ab 0ab 的离心率为 3 2 0 A a 0 Bb 0 0 O OAB 的面积为 1 1 求椭圆 C 的方程 2 斜率为 2 的直线与椭圆交于P Q两点OPOQ 求直线l的方程 3 在x轴上是否存在一点E 使得过点E的任一直线与椭圆若有两个交点M N则 都有 22 11 EMEN 为定值 若存在 求出点E的坐标及相应的定值 6 数学试数学试 题 理科 参考答案题 理科 参考答案 一 选择题 一 选择题 题号题号 1 1 2 2 学学 K K 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 1010 1111 1212 答案答案
10、B B 来来 C C D D B B D D D D C C A A B B A A A A D D 二 填空题 二 填空题 13 14 14 15 2 16 5 3 55 三 计算题 三 计算题 17 解 若p为 真 则 直 线1ykx 过 的 定 点 0 1 必 在 椭 圆 内 部 即 1 011a a 3分 若q为真 则 00 min 42 xx a 有实数根 即 000 2 111 42 2 244 xxx 1 4 a 由p且q为假 p或q为真得 1 1 4 a a 或 1 1 4 a a 8分 实数a的取值范围是 1 1 4 a 10 分 18 1 设等差数列 n a的公差为d 由已
11、知得 12 1223 4 12 aa aaaa 2 分 即 12 23 4 8 aa aa 所以 11 11 4 2 8 aad adad 解得 1 1 2 a d 4 分 所以21 n an 6 分 2 由 1 得 11 21 22 n nn an 所以 1221 352321 1 2222 n nn nn S 7 231 11352321 222222 n nn nn S 8 分 得 22 11112123 1 13 222222 n nnn nn S 10 分 所以 46 6 2 n n n S 12 分 19 解 a b c成等差 且公差为 2 4ac 2bc 又 2 3 MCN 1
12、cos 2 C 222 1 22 abc ab 22 2 421 2422 ccc cc 恒等变形得 2 9140cc 解得7c 或2c 又 4c 7c 6 分 在ABC 中 sinsinsin ACBCAB ABCBACACB 3 2 2 sin sinsin 33 ACBC 2sinAC 2sin 3 BC ABC 的周长 f ACBCAB 2sin2sin3 3 13 2sincos3 22 2sin3 3 10 分 又 0 3 2 333 当 32 即 6 时 f 取得最大值23 12 分 20 因为着弹点若与ABC 的距离都超过1cm 则着弹点就不能落在分别以 ABC 为中心 半径为
13、1cm 的三个扇形区域内 只能落在图中阴影部分内 因 为 19 3 3 3sin60 24 ABC S 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 2 19 3 31 2342 ABC SS 故所求概率为 2 3 1 27 ABC S p S 6 分 8 前三次射击成绩依次记为 123 xxx 后三次成绩依次记为 123 yyy 从这6次射 击成绩中随机抽取两个 基本事件是 121323 x xx xx x 121323 y yy yyy 111213 x yx yx y 212223 xyxyxy 313233 xyxyxy 共15个 其 中可使 1ab 发生的是后9个基本事件 故 93 1 1
14、55 P ab 12 分 21 I 连接 1 BC 交 1 BCO于点 连接 AO 因为侧面 11 BBC C为菱形 所以 1111 BCBCOBCBC 且 为及的中点 又 111 ABBCBCABOAOABOBCAO 所以平面由于平面 故 又 11 BOCOAC AB 故 5 分 II 因为 11 ACABOBCAOCO 且 为的中点 所以 又因为 1 ABBCBOABOCOAOBOA OB OB 所以故从而两两相互垂直 OOBxOBOxyz 为坐标原点 的方向为 轴正方向 为单位长 建立如图所示的空间直角坐标系 因为 11 60 CBBCBBABBC 所以为等边三角形又 则 1 11111
15、 333 0 0 10 0 0 0 0 0 333 3333 0 1 0 1 0 3333 ABBC ABABABBCBC 设是平面的法向量 则即 nx y z 11 AAB 1 11 0 0 n AB n AB 33 0 33 3 0 3 yz xz 所以可取 同理可求平面的法向量 1 3 3 n 111 ABC 1 3 3 m 所以二面角的余弦值为 12 1 cos 7 n m n m n m 11 AABC 1 7 分 22 解 1 由已知 3 1 1 22 c ab a 又 222 abc 解得2 1 3abc 9 椭圆的方程为 2 2 1 4 x y 3 分 2 设直线l的方程为2y
16、xt 则由 2 2 1 4 2 x y yxt 可得 2 2 2 2 4 xyx y t 即 2 22 44 16 16 0 yy tt xx OPOQ 2 2 2 16 142 44 t tt t 直线l的方程为22yx 即220 xy 7 分 3 设 0 E m 11 M x y 22 N xy 当直线n不为x轴时的方程为xtym 联立椭圆方程得 2 2 1 4 xtym x y 222 4 2 4 0tytmym 2 1212 22 24 44 tmm yyy y tt 8 分 2 1212 222222222 1212 211111 1 1 1 yyy y EAEBtytyty y 222 222 1 328 28 1 4 mmt tm 10 分 当且仅当 22 32828mm 即 2 15 5 m 时 22 11 5 EAEB 定 值 即 在x轴上存在点E使得 22 11 EAEB 为定值 5 点E的坐标为 2 15 0 3 或 2 15 0 3 经检验 当直线AB为x轴时上面求出的点E也符合题意 12 分 也可以通过特殊情形猜出定点坐标和定值然后再证明结论
