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1、第 1 页 共 14 页 高考数学最后一卷 理科 高考数学最后一卷 理科 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 设 x R 则 lnx 0 是 x 1 2 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 2 复数 z 满足 z 2 i z i 为虚数单位 为复数 z 的共轭复数 则下列说法正 确的是 A z2 2iB C z 2D 3 如图网格纸上小正方形的边长为 1 粗线画出的是某 几何体的三视图 其中曲线为半径为 1 的半圆 则该 几何体的体积为 A B C D 4 中国最早的天文学和数学著作 周脾算经 里提到了七衡
2、 即七个等距的同心圆 七衡的直径和周长都是等差数列 最里面的一圆叫内一衡 外面的圆依次叫次二衡 次三衡 下图中的七衡图中 若内一衡的直径和衡间距都是 1 若 在七衡图内任取一点 这点属于次三衡与次四衡之间的概 率为 A B C D 5 已知椭圆的左 右焦点分别为 F1 F2 A B 分别为椭圆 C 与 x y 正半轴的交点 若直线 AB 与以 F1F2为直径端点的圆相切 则 a2的值为 A B C D 6 已知函数 f x tan2x 将函数 f x 图象向右平移 个单位得到 g x 的图象 若点 A a 0 为函数 f x 图象的一个对称中心 B b 0 为 g x 图象的一 个对称中心 则
3、 a b 的最小值为 A B C D 第 2 页 共 14 页 7 已知 ABC 中 角 A B C 对应的边分别为 a b c AD 平分 BAC 与 BC 边交于 D 点 若 a 7 b 5 c 3 则线段 AD 的长为 A B C D 8 若定义域为 R 的函数 y f 2x 1 的图象关于直线 x 1 对称 g x f 2x 1 则 下列等式一定成立的是 A g 0 1B g 0 g 1 C g 0 g 2 D g 0 g 1 0 9 某养猪场定购了一批仔猪 从中随机抽查了 100 头仔猪的体重 单位 斤 经数 据处理得到如图 的频率分布直方图 其中体重最轻的 14 头仔猪的体重的茎叶
4、图 如图 为了将这批仔猪分栏喂养 需计算频率分布直方图中的一些数据 其中 a b 的值为 A 0 144B 0 152C 0 76D 0 076 10 已知点 P x y 是不等式组 所确定的平面区域 内的动点 若已知 A 2 0 B 0 2 则最小值为 A 2B C D 3 11 已知 F1 F2分别为双曲线 的左右焦点 点 P 为双曲线上任 意一点 则 PF1 PF2 的最小值为 A a2B b2C a2 b2D ab 12 已知函数 f x ax3 3ax2 bx 1 2a b 若 的最大值为 M 则下列说法正确的是 A M 的值与 a b 均无关 且函数 g x 的最小值为 M B M
5、 的值与 a b 有关 且函数 g x 的最小值为 M C M 的值与 a b 有关 且函数 g x 的最小值为 2 M D M 的仅与 a 有关 且函数 g x 的最小值为 2 M 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 若 则 cos2x 14 在 a 2b 8的展开式中 含 a5b3的项的系数为 15 已知 均为单位向量 若 则的最大值为 第 3 页 共 14 页 16 棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 点 M N 分别为 AD C1D1的中点 过点 C M N 的平面把正方体分成两部分 体积较大的那部分体积为 三 解答题 本大题共 7 小题 共 82
6、0 分 17 已知数列 an 满足 a1 1 数列 an 的前 n 项和为 Sn 1 求 S2n 2 若数列 求数列 bn 前 n 项和 Tn 18 三棱台 ABC A1B1C1中 AB BC CA 2 A1B1 BB1 CC1 1 BB1 AB CC1 AC 1 求证 AA1 平面 A1BC 2 求二面角 A BC B1的余弦值 19 已知抛物线 C y2 2px p 0 的焦点为 F 直线 y x 与抛物线 C 交于原点 O 与点 P 1 若 OPF 的面积为 2 求直线 PF 的方程 2 设直线 l 与抛物线 C 交于 A B 两点 且直线 PA PB 的斜率之积为 1 求证 直线 l
7、过定点 并求出这个定点的坐标 20 某厂生产一种设备零件用于航空航天工程建设 要求出厂的零件质量全部合格 该 厂现准备生产 n 个该零件 估计每个零件的合格率为 99 8 且每个零件是否合格 相互独立 为保证每个零件都合格 生产完后需进行检测 该厂计划先用检测机器 第 4 页 共 14 页 进行一级检测 若检测全部通过 则该批零件合格 若检测不通过 说明至少有一 个零件不合格 则需对每个零件进行人工二级检测 已知人工检测费用 500 元每个 机器检测费用 100 元每个 且机器检测要另付使用费 1 万元 1 若 n 20 估算这批零件需要进行人工二级检测的概率 2 求每个零件检测费用的期望 F
8、 n 3 试估算使得 F n 最小的 n 的值 用 1 p n 1 np 进行估算 21 已知函数 有两个极值点 x1 x2 x1 x2 1 求实数 a 的取值范围 2 求证 2lnx1 lnx2 0 22 在直角坐标系 xOy 中 圆 C 的方程为 x 1 2 y2 5 1 以坐标原点为极点 x 正半轴为极轴建立极坐标系 求圆 C 的极坐标方程 2 直线 l 的参数方程为 t 为参数 l 与 C 交于 A B 两点 若 求直线 l 的斜率 23 已知函数 f x 2x 1 x 1 求不等式 f x 3 的解集 若直线 y x a 与 y f x 的图象所围成的多边形面积为 求实数 a 的值
9、第 5 页 共 14 页 答案和解析答案和解析 1 答案 A 解析 解 lnx 0 0 x 1 x 1 2 3 x 1 0 x 1 3 x 1 3 x 1 推不出 0 x 1 0 x 1 是 3 x 1 的充分不必要条件 即 lnx 0 是 x 1 2 的充分不必要条件 故选 A 解出关于 x 的不等式 结合充分必要条件的定义 从而求出答案 本题考查了充分必要条件 考查解不等式问题 是一道基础题 2 答案 B 解析 解 由 z 2 i z 得 zi 2i z z z2 1 i 2 2i 故选 B 由已知求得 z 然后逐一核对四个选项得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数的基本概念 是
10、基础题 3 答案 D 解析 解 根据几何体得三视图转换为几何体为 该几何体是由一个底面半径为 1 高为 2 的半圆柱和一个半径为 1 的半球组成 故 V 故选 D 首先把三视图转换为几何体 进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果 本题考查的知识要点 三视图和几何体之间的转换 几何体的体积公式的应用 主要考 察学生的运算能力和转换能力 属于基础题型 4 答案 C 解析 解 由题意 次七衡内的面积为 次三衡与次四衡之间的面积为 在七衡图内任取一点 这点属于次三衡与次四衡之间的概率为 故选 C 由题意分别求出次七衡内的面积与次三衡与次四衡之间的面积 再由测度比是面积比得 第 6 页 共 14 页
11、答案 本题考查几何概型概率的求法 正确理解题意是关键 是基础题 5 答案 A 解析 解 直线 AB 的方程为 y 1 即 x a y a 0 直线 AB 与以 F1F2为直径端点的圆相切 c 解得 a2 故选 A 直线 AB 的方程为 y 1 即 x a y a 0 根据直线 AB 与以 F1F2为直径端点的圆相 切 可得 c 解得 a2 本题考查了椭圆的标准方程及其性质 直线与圆相切的性质 点到直线的距离公式 考 查了推理能力与计算能力 属于中档题 6 答案 B 解析 解 函数 f x tan2x 点 A a 0 为函数 f x 图象的一个对称中心 则 2a k k Z 解得 a k Z 将
12、函数 f x 图象向右平移 个单位得到 g x 的图象 若 B b 0 为 g x 图象的一个对称中心 则 k Z 解得 b k Z 所以 a b 当 k k 1 时 取得最小值 故选 B 直接利用三角函数关系式的恒等变换 正切函数的性质的应用求出结果 本题考查的知识要点 三角函数关系式的恒等变换 正切函数的性质的应用 主要考察 学生的运算能力和转换能力 属于基础题型 7 答案 C 解析 解 AD 是 BAC 的平分线 又 BD DC 7 DC BD 在三角形 ABC 中由余弦定理得 cosB 在三角形 ABD 中 由余弦定理得 AD2 AB2 BD2 2 AB BD 32 2 2 第 7 页
13、 共 14 页 AD 故选 C 根据角平分线定理可得 BD DC 分别在三角形 ABC 和 ABD 中用余弦定理列方程可解 得 本题考查了正余弦定理以及角平分线定理 属中档题 8 答案 B 解析 解 易知 g x f 2x 1 图象是由函数函数 y f 2x 1 的图象向左平移 个 单位长度 再向下平移 1 个单位长度得到 又定义域为 R 的函数 y f 2x 1 的图象关于直线 x 1 对称 所以 g x f 2x 1 图 象关于直线对称 故 g 0 g 1 故选 B 利用平移知识得出函数 g x f 2x 1 对称轴 借助对称轴进行判断 本题考查函数的对称性 平移知识 是基础题 9 答案
14、B 解析 解 由题意得 2 c d 5 0 24 a b 0 152 故选 B 根据频率分布直方图 利用频率 频数与样本容量的关系和茎叶图即可解答 本题考查了频率分布直方图的应用问题 也考查了频率 频数与样本容量 茎叶图的应 用问题 是基础题 10 答案 D 解析 解 作出不等式组对应的平 面区域如图 A 2 0 B 0 2 2 x y x 2 y x 2 x y 2 y 2x x2 2y y2 x 1 2 y 1 2 2 设 z x 1 2 y 1 2 则 z 的几何意义是区域内的动点 M x y 到定点 C 1 1 距离的平方减去 2 由图象知当 CM 的最小值为点 C 到直 线 2x y
15、 2 0 的距离 d 则 d 则 z 的最小值为 z d2 2 5 2 3 第 8 页 共 14 页 故选 D 作出不等式组对应的平面区域 利用向量数量积公式进行化简 结合两点间的距离公式 进行求解即可 本题主要考查线性规划的应用 利用向量数量积的公式结合两点间的距离公式 利用数 形结合进行转化是解决本题的关键 11 答案 B 解析 解 不妨设 P 为双曲线右支上任意一点 则 PF1 PF2 2a PF2 PF1 2a PF1 a c PF1 PF2 PF1 PF1 2a 当 PF1 a c 时 PF1 PF2 有最小值为 c2 a2 b2 故选 B 不妨设 P 为双曲线右支上任意一点 则 P
16、F1 PF2 2a 可得 PF2 PF1 2a PF1 a c 代入 PF1 PF2 整理后利用二次函数求最值 本题考查双曲线的简单性质 训练了二次函数求最值 是中档题 12 答案 C 解析 解 f x 1 a x 1 3 3a x 1 2 b x 1 2a b a x3 3x2 3x 1 3a x2 2x 1 b x 1 2a b f x 1 ax3 b 3a x 1 设 则 h x 为奇函数 g x h x 1 当 h x 取得最大值时 g x 最大 显然 a b 的取值不同时 h x 的最大值不同 所以 h x 取得最大值时与 a b 有关 且 h x 的最大值与最小值互为相反数 所以 g x 最大值与最小值之和为 2 则最小值为 2 M 故选 C 求出 f x 1 ax3 b 3a x 1 设 则 h x 为奇函 数 h x 的最大值与最小值互为相反数 本题考查函数代值 奇函数的最值的性质 函数是最值 属于难题 13 答案 解析 解 2sinx sinx 1 sinx cos2x 1 2sin2x 故答案为 利用诱导公式求出 sinx 再由二倍角公式求出 cos2x 1 2si
