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1、2019届高三数学三模考试试题（含解析）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）1.已知全集，集合，则_.【答案】.【解析】【分析】利用补集的概念得答案.【详解】因为全集，集合，所以，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，涉及到的知识点有求已知集合的补集，属于简单题目.2.四个数据：1，3，3，5的标准差是_.【答案】.【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式求出方差，再求出其算术平方根即为标准差.【详解】这组数据的平均数是：，方差为，标准差为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关求一组数据的标准差的问题，正确使用公式是解题的
2、关键，属于简单题目.3.已知函数偶函数，且，则_.【答案】5.【解析】【分析】设，利用函数的奇偶性建立方程即可得结果.【详解】因为是偶函数，所以设，则，即，因为，所以，即，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关根据条件求函数值的问题，涉及到的知识点有偶函数的定义和性质，以及整体思维的应用，属于简单题目.4.抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是_.【答案】【解析】试题分析：考点：抛物线及其性质5.已知一个半球的俯视图是半径为1的圆，则半球的表面积为_.【答案】.【解析】【分析】根据一个半球的俯视图是半径为1的圆，可以确定该半球对应的球的半径为1，结合半球的表面积由半球面和一个大圆的面积和
3、求得结果.【详解】因为一个半球的俯视图是半径为1的圆，所以该半球对应的球的半径为1，所以该半球的表面积为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关半球的表面积的问题，涉及到的知识点有俯视图，表面积公式，属于简单题目.6.对数不等式的解集是，则实数的值为_.【答案】2.【解析】【分析】先解出不等式，再结合已知解集，可得结果.【详解】将对数不等式两边同时乘以，得，即，所以此不等式的解为：或，因为其解集为，所以，故答案是：2.【点睛】该题考查的是有关根据不等式的解集求参数值的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法和对数不等式的解法，属于简单题目.7.若无穷等比数列的各项和为2，则首项的取值范围为_.
4、【答案】.【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2，可以确定其公比满足，利用等比数列各项和的公式得到，得到，分和两种情况求得的取值范围，得到结果.【详解】因为无穷等比数列的各项和为2，所以其公比满足，且，所以，当时，当时，所以首项的取值范围为，故答案是：.【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.8.已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_【答案】【解析】试题分析：，由正弦定理得.考点：解三角形，三角形外接圆.9.已知关于的实系数方程的两虚数根为、，且满足，则的值为_.【答案】5.
5、【解析】【分析】首先利用求根公式将两根和求出来，之后求得，最后利用复数模的公式，求得的值.详解】解方程，可得，所以，所以，所以，解得，故答案是：5.【点睛】该题考查的是有关实系数方程的根求解问题，涉及到的知识点有求根公式的应用，复数模的公式，属于简单题目.10.从集合中任取两个数，欲使取到的一个数大于，另一个数小于（其中）的概率是，则_.【答案】4或7.【解析】【分析】先求出所有的基本事件有45种，再求出取到的一个数大于，另一个数小于的基本事件有种，根据古典概型概率公式即可得到关于的方程解得即可.【详解】从集合中任取两个数的基本事件有种，取到的一个数大于，另一个数小于，比小的数有个，比大的数有
6、个，故一共有个基本事件，由题意可得，即，整理得，解得或，故答案是：4或7.【点睛】该题考查的是有关古典概型概率求解问题，涉及到的知识点有实验对应的基本事件数的求解，古典概型概率公式，属于简单题目.11.若，且，则的值为_【答案】【解析】【分析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值，然后求解三角函数值即可.【详解】，(2)32sincos2=0，即(2)3+sin(2)2=0.由可得.故2和是方程x3+sinx2=0的两个实数解.再由，所以和的范围都是，由于函数x3+sinx在上单调递增，故方程x3+sinx2=0在上只有一个解，所以，则的值为.【点睛】本题主要
7、考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知，函数的图像的两个端点分别为、，设是函数图像上任意一点，过作垂直于轴的直线，且与线段交于点，若恒成立，则的最大值是_.【答案】.【解析】【分析】由的坐标可以将直线的方程找到，通过点的坐标可以得到的坐标，将其纵坐标作差可以得到关于的不等式，通过求范围可以将绝对值去掉，由基本不等式可以得到的最大值.【详解】因为，所以，所以直线的方程为，设，所以，因为恒成立，所以恒成立，所以，因为在时小于等于0恒成立，所以，当或时，显然成立；当时，所以由基本不等式得，此时，所以的最大值为，故答案是：.【点睛】该题考查的是
8、有关根据恒成立求对应参数的取值范围的问题，在解题的过程中，主意对题中条件的转化，应用基本不等式求最值，属于较难题目.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.已知与均为单位向量，其夹角为，则命题：是命题：的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不是充分条件也不是必要条件【答案】C【解析】【分析】根据向量模长与向量数量积的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由得，即，因为与均为单位向量，所以，即，则，即成立，反之，当时，从而可以得到，所以是的充要条件，故选C.【点睛】该题考查的是有关充分必要条件的问题，涉及到的知识点有向量的模的
9、平方与向量的平方是相等的，单位向量的模为1，向量夹角的余弦公式，属于简单题目.14.设，则的值为（ ）A. 2B. 0C. D. 1【答案】C【解析】【分析】分别令和即可求得结果.【详解】令，可得：令，可得： 本题正确选项：【点睛】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.15.已知，是关于的方程的两个实数根，则经过两点，的直线与双曲线公共点的个数是（ ）A. 2B. 1C. 0D. 不确定【答案】D【解析】【分析】首先根据韦达定理，得到两根和与两根积，利用斜率坐标公式求得，利用点斜式将直线方程写出来，从而确定出直线过定点，再由判别式大于零，求得的范围，进而
10、得到直线与双曲线焦点的个数有1个或两个，从而得到结果.【详解】因为，是关于的方程的两个实数根，所以，且，又因为，所以直线的方程为：，即，即，即，所以直线恒过点，因为方程的两个实数根，所以，解得或，因为直线过点，且斜率为，所以当时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点，其余情况都有两个交点，所以直线与双曲线的交点的个数是不确定的，故选D.【点睛】该题考查的是有关判定直线与双曲线交点个数的问题，涉及到的知识点有直线的斜率公式，直线过定点问题，过某个点的直线与双曲线的交点个数，属于较难题目.16.在平面上，.若，则 的取值范围是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先由0得，再由推理
11、得，再计算2，最后根据推理得 的取值范围.【详解】，0，.，. ，222()2，0，0， ，即|.故答案：D【点睛】(1)本题主要考查向量的运算和向量的数量积的计算，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题关键的地方有两点，其一是由0得，其二是由推理得，本题属于难题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.如图，已知正方体的棱长为2，、分别为棱、的中点.（1）求三棱锥的体积；（2）求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）观察分析几何体的特征，利用椎体的体积公式求得结果；（2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利
12、用向量所成角的余弦值求得线面角的正弦值，利用反正弦求得结果.【详解】（1）根据题意，可得；（2）如图建立空间直角坐标系，则有，所以，设平面的法向量为，所以有，即，取，则有，所以平面的一个法向量为，所以，所以求直线AB与平面PQR所成角的正弦值是，所以直线AB与平面PQR所成角的大小为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有椎体的体积，应用空间向量求线面角的正弦值，利用反三角表示角的大小，属于简单题目.18.在中，角、所对的边分别为、.（1）若，求面积的最大值；（2）若，试判断的形状.【答案】（1）；（2）直角三角形或等腰三角形.【解析】【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将
13、，代入，整理后利用基本不等式求出的最大值，即可确定出三角形面积的最大值；（2）根据三角形内角和定理，得到，代入已知等式，展开化简合并，得，最后讨论当时与时，分别对的形状加以判断，可以得到结论.【详解】（1）因为，所以由余弦定理得：，即，整理得，因为，所以，即，所以，当且仅当时取等号，则的最大值为.（2）由，所以，化简得，即，所以或，因为与都为三角形内角，所以或，所以是直角三角形或等腰三角形.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有余弦定理，利用基本不等式求最值，三角形的面积公式，三角形形状的判断，属于简单题目.19.某城市自2014年至2019年每年年初统计得到的人口数量如表所
14、示.年份201420152016201720182019人数（单位：万）208221352203227623392385（1）设第年的人口数量为（2014年为第1年），根据表中的数据，描述该城市人口数量和2014年至2018年每年该城市人口的增长数量的变化趋势；（2）研究统计人员用函数拟合该城市的人口数量，其中的单位是年.假设2014年初对应，的单位是万.设的反函数为，求的值（精确到0.1），并解释其实际意义.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据表中的数据可得从2014年到2019年人口增加的数量，逐年增多，从2017年后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年增加的；（2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可.【详解】（1），
