《最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第三章导数及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新理科优化设计一轮高考模拟试卷-第三章导数及其应用（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算专题1导数的概念与几何意义(2015江西重点中学盟校高三第一次联考,导数的概念与几何意义,选择题,理3)函数y=x3的图象在原点处的切线方程为()A.y=xB.x=0C.y=0D.不存在解析:由f(x)=3x2,得f(0)=0,所以f(x)在原点处的切线方程为y=0,故选C.答案:C3.2导数与函数的单调性、极值、最值专题1导数与函数的单调性(2015东北三省三校高三二模,导数与函数的单调性,选择题,理12)若函数y=sin 2x+acos x在(0,)上是增函数,则实数a的取值范围是()A.(-,-1B.-1,+)C.(-,0)D.(0,+)解析:依题
2、意,当x(0,)时,y=2cos2x-asinx0,即a-2sinx恒成立.令t=sinx,则当x(0,)时,t(0,1,函数y=-2t在区间(0,1上是减函数,所以函数y=-2t在区间(0,1上的最小值是y|t=1=1-21=-1,于是有a-1,实数a的取值范围是(-,-1,故选A.答案:A专题2导数与函数的极值(2015江西八所重点中学高三联考,导数与函数的极值,解答题,理21)已知f(x)=x2+ax+sinx,x(0,1).(1)若f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围;(2)当a=-2时,记f(x)得极小值为f(x0),若f(x1)=f(x2),求证:x1+x22x0.解:(1)
3、f(x)=2x+a+cosx,x(0,1).依题意f(x)0恒成立,2x+cosx-a,令g(x)=2x+cosx,x(0,1),g(x)=2-sinx,g(x)在x(0,1)单调递减,且g(0)0,g(1)0,(1)=2-0.故存在唯一实数,使得()=0.(x)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减.即f(x)在(0,)上单调递增,在(,1)上单调递减.又f(0)=-2+0,由f(x0)=0,知0x01.f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,0)上单调递增.不妨设x1x2,由f(x1)=f(x2),则0x1x0x21,令F(x)=f(x0+x)-f(x0-x),则F(x)=f(x0
4、+x)+f(x0-x)=4x0-4+=4x0-4+cosx0cosx.又F(x)在x(0,1)上单调递减,F(x)F(0)=4x0-4+cosx0=2f(x0)=0,F(x)在x(0,1)上单调递减,F(x)F(0)=0,即f(x0+x)f(x0-x).又f(x1)=f(x2)=fx0-(x0-x2)fx0+(x0-x2)=f(2x0-x2),0x1x0,02x0-x2x0.又f(x)在(0,x0)上单调递减,x12x0.(2015东北三省三校高三第一次联考,导数与函数的极值,解答题,理21)已知a是实常数,函数f(x)=xln x+ax2.(1)若曲线y=f(x)在x=1处的切线过点A(0,
5、-2),求实数a的值;(2)若f(x)有两个极值点x1,x2(x1x2).求证:-af(x1)-.解:(1)由已知得f(x)=lnx+1+2ax(x0),切点坐标为(1,a),切线方程为y-a=(2a+1)(x-1),把(0,-2)代入解得a=1.(2)证明:依题意得f(x)=0有两个不等的实数根x1,x2(x10),()当a0时,g(x)0,g(x)是增函数,不符合题意;()当a0,则g(x),g(x)的变化情况为x-g(x)+0-g(x)极大值依题意得g=ln0,解得-a0.综上所述,实数a的取值范围为-af(x1).又f(1)=g(1)=2a+10,故x1(0,1),由(1)知ax1=,
6、f(x1)=x1lnx1+a(x1lnx1-x1)(0x11),设h(x)=(xlnx-x)(0x1),则h(x)=lnxh(1)=-,即f(x1)-.综上所述,f(x2)f(x1)-成立.专题3导数与函数的最值(2015辽宁大连高三双基测试,导数与函数的最值,选择题,理12)已知f(x)=x+xln x,若kZ,且k(x-2)2恒成立,则k的最大值为()A.3B.4C.5D.6解析:依题意,当x=4时,不等式k(x-2)f(x)成立,于是有2k4+4ln4,即k2+2ln4=2+ln162+3=5,由此可排除选项C,D,猜测整数k的最大值为4.下面证明当k=4时,不等式k(x-2)2恒成立.
7、记g(x)=f(x)-4(x-2)=xlnx-3x+8,则g(x)=lnx-2,当2xe2时,g(x)e2时,g(x)0,因此g(x)在(2,+)上的最小值为g(e2)=8-e20,即对任意x2,均有g(x)g(e2)0,即k(x-2)1,存在实数a,b满足0abg(c),即恒成立,所以k1.令p(c)=,c1,则p(c)=.令q(c)=c-2-lnc,c1,因为q(c)=1-0,所以q(c)单调递增,得q(c)q(1)=-1,又q(3)=1-ln30,所以存在c0(3,4),使得q(c0)=0,即c0-2=lnc0,当c(1,c0)时,q(c)0,p(c)单调递增,p(c)min=p(c0)
8、=,将c0-2=lnc0代入得p(c)min=c0,所以kc0,k3,易知0a,当k=3时可证明存在f(a)=g(b)时,g(x)0,当-x时,g(x)0时,f(x)g(x).解:(1)f(x)=ax-2-lnx(aR),f(x)=a-.又f(x)在点(e,f(e)处的切线的斜率为,f(e)=,a=.切点为(e,-1),将切点代入切线方程得b=-2e.(2)由(1)知f(x)=a-(x0).当a0时,f(x)0时,令f(x)=0,得x=.当x变化时,f(x),f(x)随x的变化情况如下表:f(x)-0+f(x)由表可知f(x)在上单调递减,在上单调递增.综上所述,当a0时,f(x)的单调减区间
9、为(0,+);当a0时,f(x)的单调减区间为,单调增区间为.(3)证明:当x0时,要证f(x)g(x),即证f(x)-ax+ex0.即证ex-lnx-20,令h(x)=ex-lnx-2(x0),只需证g(x)0,h(x)=ex-,由指数函数及幂函数的性质知h(x)=ex-在(0,+)上是增函数.又h(1)=e-10,h-30,h(1)h0.h(x)在内存在唯一的零点,也即h(x)在(0,+)上有唯一零点,设h(x)的零点为t,则h(t)=et-=0.即et=.由h(x)的单调性知,当x(0,t)时,h(x)h(t)=0,g(x)为增函数,当x0时,h(x)h(t)=et-lnt-2=-ln-
10、2=+t-22-2=0,又t0.(2015辽宁东北育才高三第五次模拟,导数与函数的最值,解答题,理20)已知函数f(x)=ln(a+x)-ln(a-x)(a0).(1)曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=2x,求a的值;(2)当x0时,不等式f(x)2x+恒成立,试求a的取值范围.解:(1)已知f(x)=ln(a+x)-ln(a-x)(a0),则f(x)=,f(0)=,由题意知f(0)=2,=2,a=1.(2)令g(x)=f(x)-2x-(0xa),则g(x)=f(x)-2-2x2=-2-2x2=x4-(a2-1)x2+a-a2.当0a1时,a2-10,a-a20,当0xa时,x4-(a2-1)x2+a-a20,即g(x)0.函数g(x)在0,a)上为增函数,g(x)g(0)=0,即当01时,a2-10,a-a20.0xa时,x2-(a2-1)0,x2x2-(a2-1)0,从而x4-(a2-1)x2+a-a20,即g(x)0,从而函数g(x)在(0,)上为减函数.当0x时,g(x)g(0)=0,不符合题意.综上所述,当x0时,使f(x)2x+恒成立的a的取值范围为0a1.(2
