《五年级下册数学专项训练小学奥数第十三讲简单的统筹规划问题通用版习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《五年级下册数学专项训练小学奥数第十三讲简单的统筹规划问题通用版习题（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十三讲 简单的统筹规划问题这一讲我们讨论有关物资调运、下料问题及配套生产等实例。例1 某工地A有20辆卡车，要把60车渣土从A运到B，把40车砖从C运到D（工地道路图如图所示），问如何调运最省汽油？分析 把渣土从A运到B或把砖从C运到D，都无法节省汽油.只有设法减少跑空车的距离，才能省汽油。解：如果各派10辆车分别运渣土和砖，那么每运一车渣土要空车跑回300米，每运一车砖则要空车跑回360米，这样到完成任务总共空车跑了3006036040=32400（米）。如果一辆车从ABCDA跑一圈，那么每运一车渣土、再运一车砖要空车跑240+90330（米）.因此，先派20辆车都从A开始运渣土到B，再空
2、车开往C运砖到D后空车返回A，这样每辆车跑两圈就完成了运砖任务.然后再派这20辆车都从A运渣土到B再空车返回A，则运渣土任务也完成了.这时总共空车跑了33040+3002019200（米）.后一种调运方案比前一种减少跑空车13200米，这是最佳节油的调运方案。说明：“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则：下面通过例子再介绍“避免对流”的原则。例2 一支勘探队在五个山头A、B、C、D、E设立了基地，人数如图所示.为调整使各基地人数相同，如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）分析 在人员调运时不考虑路程远近的因素，就只需避免两个基地之间相互调整，即“避免对流现象”。解：五个基地人员总数为1
3、7+4+16+14+9=60（人）依题意，调整后每个基地应各有605=12（人）。因此，需要从多于12人的基地A、C、D向不足12人的基地B、E调人.为了避免对流，经试验容易得到调整方案如下：先从D调2人到E，这样E尚缺1人；再由A调1人给E，则E达到要求.此时，A尚多余4人，C也多余4人，总共8人全部调到B，则B亦符合要求。调动示意图如图所示.这样的图形叫做物资流向图.用流向图代替调运方案，能直观地看出调运状况及有无对流现象，又可避免列表和计算的麻烦，图中箭头表示流向，箭杆上的数字表示流量。说明：发生对流的调运方案不可能是最优方案.这个原则可以证明：如图，设A1B2a千米，B2B1=b千米，
4、B1A2c千米.如果从A1运1吨货物到B1，同时又从A2运1吨货物到B2，那么在B1B2之间A1的物资从西向东运输，A2的货物从东向西运输，两者发生对流，于是这样调动的总吨千米数为（ab）+（bc）ac+2b.而如果从A1运1吨货物到B2，同时从A2运1吨货物到B1，显然a+ca+c+2b。例3 在一条公路上每隔100千米有一个仓库（如图，）共有5个仓库.一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？分析 欲使花费的运输费少，关键在于运输的货物和
5、路程尽可能少，实际经验告诉我们一个原则“小往大处靠”.下面就以两地调运问题为例加以计算验证：如图，在公路上A、B两地各有10吨、15吨麦子，问打麦场建在何处运费最少？设打麦场建在C点，则总运费是（假定每吨小麦运输1千米的费用是a元）W10aAC15aBC10aAC10aBC5aBC10a（ACBC）5aBC=10aAB5aBC上式中10aAB是固定的值，不随C点的选取而改变；只有5aBC随BC的变化而改变，若BC越小，则W也越小.当BC=0时，即C点与B点重合时，W的值最小.因此打麦场建在B点时总运费是10aAB（元）为最少.显然当打麦场建在AB线段之外时，总运费都大于10aAB（元）。解：根
6、据“小往大处靠”的原则，先把一号仓库的10吨货物送往二号仓库集中，需运费100.5100=500（元）。这时可以认为二号仓库有30吨货物，而五号仓库有40吨货物，于是又应把二号仓库的30吨货物运往五号仓库集中，需运费300.5300=4500（元）。所以，把货物集中存放在五号仓库时所花运费最少，需要5004500=5000（元）。说明：“小往大处靠”的原则也不是一成不变的，具体问题还要具体分析。再举两例如下：例如一号仓库有20吨货物，二号仓库有30吨货物，其他仓库存货照样如前，那么应该往哪个仓库集中呢？首先仍应把一号仓库的20吨货物运往二号仓库集中，然后再把五号仓库的40吨货物也运往二号仓库集
7、中，这样运费最少。又如一号仓库有30吨货物，二号仓库有20吨货物，其他仓库存货仍然如前，那么应该往哪个仓库集中呢？先把一号仓库的30吨货物运往二号仓库集中，再把五号仓库的40吨货物也运往二号仓库集中，这样运费最省.（想想为什么？）还有一点值得注意，在决定货物往何处集中时，起决定作用的是货物的重量，至于距离仅仅是为了计算运费.如果把本题中各个仓库之间的距离换成另外一些数值，仍应该把货物集中到五号仓库。本题可以推广为一般命题：“一条公路上有n个仓库，它们分别存货A1吨、A2吨、an吨.现在需要把所有的货物集中存放在一个仓库里，应该选取哪个仓库可以使总运输费最少？”它的解法将涉及到一次函数的知识，同
8、学们在学过初三代数之后就会完全明白了。例4 189米长的钢筋要剪成4米或7米两种尺寸，如何剪法最省材料？分析 显然无残料的剪法是最优方案.于是考虑二元一次不定方程的整数解问题。解：设4米长的剪x根，7米长的剪y根，依题意列方程4x7y189。根据倍数分析法可知7x（即x是7的倍数）。令x10，则7y189，解出y1=27；x27，则7y161，解出y223；x3=14，则7y133，解出y319；x4=21，则7y=105，解出y4=15；x528，则7y=77，解出y5=11；x6=35，则7y49，解出y67；x7=42，则7y21，解出y7=3。因此，有七种剪法都是最省材料的。说明：本例
9、是最简单的下料问题，属于“线性规划”的范畴，线性规划是运用一次方程（组）、一次函数来解决规划问题的数学分支。规划论研究的问题主要有两类：一类是确定了一项任务，研究怎样精打细算使用最少人力、物力和时间去完成它；另一类是在已有一定数量的人力、物力和财力的条件下，研究怎样合理调配，使它们发挥最大限度的作用，从而完成最多的任务。例5 用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎么截法最合算？分析 不难想到有三种截法省料：截法1：截成3尺、3尺、4尺三段，无残料；截法2：截成3尺、3尺、3尺三段，残料1尺；截法3：截成4尺、4尺两段，残料2尺。由于截
10、法1最理想（无残料），因此应该充分应用截法1.考虑用原材料50根，可以截成100根3尺长的短竹竿，而4尺长的仅有50根，还差50根.于是再应用截法3，截原材料25根，可以得到4尺长的短竹竿50根，留下残料 22550（尺）。解：至少要用75根原材料，其中50根用截法1，25根用截法3，这样的截法最省料.说明：一般说来，一定长度的条形材料要截取两种毛坯的下料问题，用本例的方法求解是比较省料的，这种解法的理论根据要用到二元不等式及一次函数图像，有兴趣的读者可参阅有关书刊。例6 甲、乙两个服装厂每个工人和设备都能全力生产同一规格的西产1200套西服.现在两厂联合生产，尽量发挥各自特长多生产西服，那么
11、现在每月比过去多生产西服多少套？分析 根据已知条件，甲厂生产一条裤子与一件上衣的时间之比为23，因此在单位时间内甲厂生产的上衣与裤子的数量之比也是23（注意：在固定时间内，数量与每件所用时间成反比）；同理可知，在单位时间内乙厂生产上衣与裤子的数量之比是34。单说明理由：如果甲厂生产9条裤子，则相当甲厂生产6件上衣；如果让乙厂生产这6件上衣，则相当于生产8条裤子.这就是说，甲厂生产9条裤子时乙厂只能生产8条裤子.显然甲厂善于生产裤子.类似地，如果乙厂生产9件上衣，则相当于乙厂生产12条裤子；如果让甲厂生产这12条裤子，则相当甲厂生产8件上衣.这就是说，乙厂生产9件上衣时甲厂只能生产8件上衣.显然
12、乙厂善于生产上衣.解：两厂联合生产，尽量发挥各自特长，安排乙厂全力生产上衣.由同时，安排甲厂全力生产裤子，则甲厂全月可生产裤子 为了配套生产，甲厂先全力生产2100条裤子，这需要于是，现在联合生产每月比过去多生产西服（210060）-（9001200）=60（套）。说明：本例是线性规划中劳力组合问题.劳力组合最简单的情况就是效率比问题.这里给出多种劳力（或机械）干两种配套活的一般分工原则：习题十三1.某乡共有六块甘蔗地，每块地的产量如下图所示.现在准备建设一座糖厂，问糖厂建于何处总运费最省？2.产地A1、A2、A3和销售地B1、B2、B3、B4都在铁路线上，位置如下图所示.已知A1、A2、A3
13、的产量分别为5吨、3吨、2吨；B1、B2、B3、B4的销售量分别是1吨、2吨、3吨、4吨.试求出使总运输吨公里数最小的调运方案。3.把长239米的钢筋截成17米和24米长的钢筋，如何截法最省材料？4.钢筋原材料每件长7.3米，每套钢筋架子用长2.9米、2.1米和1.5米的钢筋各1段.现在需要绑好钢筋架子100套，至少要用去原材料几件？截料方法怎样最省？5.某车间有铣床3台，车床3台，自动机床1台，生产一种由甲、乙两个零件组成的产品.每台铣床每天生产甲零件10个，或者生产乙零件20个；每台车床每天生产甲零件20个，或者生产乙零件30个；每台自动机床每天生产甲零件30个，或者生产乙零件80个.如何安排这些机器的生产任务才能获得最大数量的成套产品？每天最多可生产多少套产品？
