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1、高考专题突破六高考中的概率与统计问题 考点自测 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 考点自测 1 2017 淮安月考 一射手对同一目标进行4次射击 且射击结果之间互不影响 已知至少命中一次的概率为 则此射手的命中率为 答案 解析 答案 解析 2 在可行域内任取一点 其规则如流程图所示 则能输出数对 x y 的概率是 依题意可行域为正方形 3 红 蓝两色车 马 炮棋子各一枚 将这6枚棋子按车 马 炮顺序排成一列 记事件 每对同字的棋子中 均为红棋子在前 蓝棋子在后 为事件A 则事件A发生的概率为 红 蓝两色车 马 炮棋子各一枚 将这6枚棋子按车 马 炮顺序排成一列 基本事件总数n 2 2 2
2、8 每对同字的棋子中 均为红棋子在前 蓝棋子在后为事件A 则事件A包含的基本事件个数m 1 答案 解析 4 设集合P 2 1 0 1 2 x P且y P 则点 x y 在圆x2 y2 4内部的概率为 答案 解析 以 x y 为基本事件 可知满足x P且y P的基本事件有25个 若点 x y 在圆x2 y2 4内部 则x y 1 1 0 用列表法或坐标法可知满足x 1 1 0 且y 1 1 0 的基本事件有9个 所以点 x y 在圆x2 y2 4内部的概率为 答案 解析 5 为了从甲 乙两名运动员中选拔一人参加某次运动会跳水项目 对甲 乙两名运动员进行培训 现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛
3、成绩中随机抽取6次 得到茎叶图如图所示 从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑 你认为选派 填甲或乙 运动员合适 甲 题型分类深度剖析 例1 1 2016 山东 在 1 1 上随机地取一个数k 则事件 直线y kx 题型一古典概型与几何概型 由已知得 圆心 5 0 到直线y kx的距离小于半径 答案 解析 与圆 x 5 2 y2 9相交 发生的概率为 2 若任意x A 则 A 就称A是 和谐 集合 则在集合M 的所有非空子集中 和谐 集合的概率是 答案 解析 由题意 和谐 集合中不含0和4 几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性 几何概型经常涉及的几何度量有长度 面积 体积等 解决几何概型
4、的关键是找准几何测度 古典概型是命题的重点 对于较复杂的基本事件空间 列举时要按照一定的规律进行 做到不重不漏 思维升华 跟踪训练1 1 2016 江苏 将一颗质地均匀的骰子 一种各个面上分别标有1 2 3 4 5 6个点的正方体玩具 先后抛掷2次 则出现向上的点数之和小于10的概率是 答案 解析 基本事件共有36个 列举如下 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4
5、 6 5 6 6 其中满足点数之和小于10的有30个 故所求概率为P 答案 解析 例2某公司春节联欢会中设一抽奖活动 在一个不透明的口袋中装入外形一样 号码分别为1 2 3 10的十个小球 活动者一次从中摸出三个小球 三球号码有且仅有两个连号的为三等奖 奖金30元 三球号码都连号为二等奖 奖金60元 三球号码分别为1 5 10为一等奖 奖金240元 其余情况无奖金 1 求员工甲抽奖一次所得奖金 的概率分布与均值 题型二求离散型随机变量的均值与方差 解答 由题意知甲抽奖一次 基本事件总数是 120 奖金 的可能取值是0 30 60 240 故 的概率分布为 2 若员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会
6、 则他中奖次数 的方差是多少 解答 离散型随机变量的均值和方差的求解 一般分两步 一是定型 即先判断随机变量的分布是特殊类型 还是一般类型 如两点分布 二项分布 超几何分布等属于特殊类型 二是定性 对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解 而对于一般类型的随机变量 应先求其概率分布然后代入相应公式计算 注意离散型随机变量的取值与概率间的对应 思维升华 跟踪训练2 2016 泰州模拟 为了参加市中学生运动会 某校从四支较强的班级篮球队A B C D中选出12人组成校男子篮球队 队员来源如下表 1 从这12名队员中随机选出两名 求两人来自同一个队的概率 从这12名队员中随机选出两名 两人来
7、自同一个队 记作事件A 解答 2 比赛结束后 学校要评选出3名优秀队员 每一个队员等可能被评为优秀队员 设其中来自A队的人数为 求随机变量 的概率分布和均值 解答 的所有可能取值为0 1 2 3 所以 的概率分布为 题型三概率与统计的综合应用 例3经销商经销某种农产品 在一个销售季度内 每售出1t该产品获利润500元 未售出的产品 每1t亏损300元 根据历史资料 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图 如图所示 经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品 以X 单位 t 100 X 150 表示下一个销售季度内的市场需求量 T 单位 元 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润 1 将T表
8、示为X的函数 当X 100 130 时 T 500X 300 130 X 800X 39000 当X 130 150 时 T 500 130 65000 解答 2 根据直方图估计利润T不少于57000元的概率 由 1 知利润T不少于57000元当且仅当120 X 150 由直方图知需求量X 120 150 的频率为0 7 所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0 7 解答 3 在直方图的需求量分组中 以各组的区间中点值代表该组的各个值 需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 例如 若需求量X 100 110 则取X 105 且X 105的概率等于需求量落入
9、 100 110 的频率 求T的均值 依题意可得T的概率分布为 所以E T 45000 0 1 53000 0 2 61000 0 3 65000 0 4 59400 解答 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体 已成为近几年高考的一大亮点和热点 它与其他知识融合 渗透 情境新颖 充分体现了概率与统计的工具性和交汇性 思维升华 跟踪训练3某校从高一年级学生中随机抽取40名学生 将他们的期中考试数学成绩 满分100分 成绩均为不低于40分的整数 分成六段 40 50 50 60 90 100 后得到如图所示的频率分布直方图 解答 1 求图中实数a的值 由已知 得10 0 005 0 010 0
10、 020 a 0 025 0 010 1 解得a 0 03 2 若该校高一年级共有640人 试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数 根据频率分布直方图 可知成绩不低于60分的频率为1 10 0 005 0 010 0 85 由于该校高一年级共有学生640人 利用样本估计总体的思想 可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为640 0 85 544 解答 3 若从数学成绩在 40 50 与 90 100 两个分数段内的学生中随机选取2名学生 求这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率 解答 易知成绩在 40 50 分数段内的人数为40 0 05 2 这2人分别记
11、为A B 成绩在 90 100 分数段内的人数为40 0 1 4 这4人分别记为C D E F 若从数学成绩在 40 50 与 90 100 两个分数段内的学生中随机选取2名学生 则所有的基本事件有 A B A C A D A E A F B C B D B E B F C D C E C F D E D F E F 共15个 如果2名学生的数学成绩都在 40 50 分数段内或都在 90 100 分数段内 那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10 如果一个成绩在 40 50 分数段内 另一个成绩在 90 100 分数段内 那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10 记 这2名学
12、生的数学成绩之差的绝对值不大于10 为事件M 则事件M包含的基本事件有 A B C D C E C F D E D F E F 共7个 故所求概率P M 课时作业 1 2016 陕西西北工业大学附中二模 甲 乙两人进行两种游戏 两种游戏规则如下 游戏 口袋中有质地 大小完全相同的5个球 编号分别为1 2 3 4 5 甲先摸出一个球 记下编号 放回后乙再摸一个球 记下编号 如果两个编号的和为偶数算甲赢 否则算乙赢 游戏 口袋中有质地 大小完全相同的6个球 其中4个白球 2个红球 由裁判有放回地摸两次球 即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次 摸出两球同色算甲赢 摸出两球不同色算乙赢 1 求游戏 中
13、甲赢的概率 解答 1 2 3 4 5 6 游戏 中有放回地依次摸出两球的基本事件有5 5 25 个 其中甲赢有 1 1 1 3 1 5 3 1 3 3 3 5 5 1 5 3 5 5 2 2 2 4 4 4 4 2 共13个基本事件 游戏 中甲赢的概率为P 1 2 3 4 5 6 2 求游戏 中乙赢的概率 并比较这两种游戏哪种游戏更公平 请说明理由 解答 设4个白球为a b c d 2个红球为A B 则游戏 中有放回地依次摸出两球 基本事件有6 6 36 个 其中乙赢有 a A b A c A d A a B b B c B d B A a A b A c A d B a B b B c B
14、d 共16个基本事件 1 2 3 4 5 6 2 某车间共有12名工人 随机抽取6名 他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示 其中茎为十位数 叶为个位数 解答 1 根据茎叶图计算样本平均值 1 2 3 4 5 6 2 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人 解答 1 2 3 4 5 6 3 从该车间12名工人中 任取2人 求恰有1名优秀工人的概率 解答 设事件A 从该车间12名工人中 任取2人 恰有1名优秀工人 1 2 3 4 5 6 3 一个均匀的正四面体的四个面上分别涂有1 2 3 4四个数字 现随机投掷两次 正四面体面朝下的数字分别为b
15、c 1 z b 3 2 c 3 2 求z 4的概率 解答 1 2 3 4 5 6 因为是投掷两次 因此基本事件 b c 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 3 1 3 2 3 3 3 4 4 1 4 2 4 3 4 4 共16个 当z 4时 b c 的所有取值为 1 3 3 1 1 2 3 4 5 6 2 若方程x2 bx c 0至少有一根x 1 2 3 4 就称该方程为 漂亮方程 求方程为 漂亮方程 的概率 解答 1 2 3 4 5 6 若方程一根为x 1 则1 b c 0 即b c 1 不成立 若方程一根为x 2 则4 2b c 0 若方程一根为x 3 则9 3
16、b c 0 若方程一根为x 4 则16 4b c 0 1 2 3 4 5 6 由 知 b c 的所有可能取值为 1 2 2 3 3 4 1 2 3 4 5 6 4 2016 南京 盐城 徐州联考 已知某校有甲 乙两个兴趣小组 其中甲组有2名男生 3名女生 乙组有3名男生 1名女生 学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动 1 求选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数 解答 1 2 3 4 5 6 解答 2 记X为选出的4名选手中女选手的人数 求X的概率分布和均值 1 2 3 4 5 6 X的可能取值为0 1 2 3 所以X的概率分布为 1 2 3 4 5 6 5 某班甲 乙两名同学参加100米达标训练 在相同条件下两人10次训练的成绩 单位 秒 如下 解答 1 请画出茎叶图 如果从甲 乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛 从成绩的稳定性方面考虑 选派谁参加比赛更好 并说明理由 不用计算 可通过统计图直接回答结论 1 2 3 4 5 6 甲 乙两人10次训练的成绩的茎叶图如图 从统计图中可以看出 乙的成绩较为集中 差异程度较小 乙成绩的稳定性更好 所以选派乙同学代表班级
