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1、 第一部分考点研究 第三章函数 课时13反比例函数 反比例函数 反比例函数的图象与性质反比例函数中比例系数k的几何意义反比例函数解析式的确定 考点精讲 名师PPT 反比例函数 二 四 增大 一 三 减小 反比例函数的图象与性质 原点 反比例函数中比例系数k的几何意义 1 k的几何意义 2 常见的三种面积类型 k的几何意义 在反比例函数y 的图象上任取一点P x y 过这一点分别作x轴 y轴的垂线PM PN与坐标轴围成的矩形PMON的面积S xy k 常见的三种面积类型 2 k 反比例函数解析式确定 方法一 待定系数法方法二 可根据系数k的几何意义求解 详见本页 反比例函数中比例系数k的几何意义
2、 在求反比例函数解析式确定k值时 应该注意双曲线所在的象限 当双曲线位于第一 三象限时 k 0 当双曲线位于第二 四象限时 k 0 1 设出反比例函数解析式y k 0 2 找出满足反比例函数解析式的点P a b 3 将点P a b 代入解析式得k ab 4 确定反比例函数解析式y 温馨提示 例1问题1 如果反比例函数y 的图象经过点M 则此反比例函数的解析式为 重难点突破 反比例函数的图象与性质 例1题图 一 y 问题2 根据上述反比例函数解析式 判断下列结论是否正确 图象还经过点 1 2 在每一个象限内 y随x的增大而增大 当x 1时 y 2 若点 2 a 2 b 在反比例函数图象上 则a
3、b 解析 根据解析式可知 图象经过点 1 2 故 正确 根据函数图象可知 第二象限内 y随x的增大而增大 第四象限内 y随x的增大而增大 故 正确 函数图象过点 1 2 且x 1时 y随着x的增大而增大 故y 2 即 正确 当x 2 0时 y 1 0 当x 2 0时 y 1 0 故a b 即 正确 练习1下列选项中 函数y 对应的图象为 A 解析 y 中x 0 当x 0时 y 0 此时图象位于第一象限 当x0 此时图象位于第二象限 故选A 例2 反比例函数比例系数k的几何意义 2016齐齐哈尔 如图 已知点P 6 3 过点P作PM x轴于点M PN y轴于点N 反比例函数y 的图象交PM于点A
4、 交PN于点B 若四边形OAPB的面积为12 则k 例2题图 6 二 思维教练 根据P点坐标可知矩形OMPN的面积 结合反比例函数中比例系数k的几何意义可知S ONB与S OAM的值 由S矩形OMPN S ONB S OAM S四边形OAPB即可求出k值 解析 P 6 3 PM x轴 PN y轴 OM 6 ON 3 S矩形OMPN 6 3 18 反比例函数的图象过点A B S OBN S OAM 又 S矩形OMPN S四边形OAPB S OBN S OAM 12 18 解得k 6 练习2如图 点A在双曲线y 上 点B在双曲线y 上 且AB x轴 点C D在x轴上 若四边形ABCD为矩形 则它的
5、面积为 练习2题图 2 解析 如解图 延长BA交y轴于点E 根据k的几何意义可知 矩形ADOE的面积为1 矩形BCOE的面积为3 则矩形ABCD的面积为3 1 2 反比例函数与几何图形结合 例3如图 反比例函数y k 0 的图象与正方形OABC相交于点E F 点E为BC的中点 点B坐标为 4 4 分别连接OE CF OE与CF相交于点M 1 求反比例函数的解析式及点F的坐标 2 你认为线段OE与CF有何位置关系 请说明你的理由 例3题图 三 1 思维教练 要求反比例函数y 的解析式 需知经过反比例函数图象点E的坐标 根据点B的坐标和点E为BC的中点 可求得点E的坐标 即可求得反比例函数解析式
6、根据正方形的性质得到点F坐标 解 1 正方形ABCO B 4 4 E点为BC的中点 OA AB BC OC 4 CE BE 2 点F的横坐标是4 点E的坐标是 2 4 把点E的坐标代入y 得k 8 反比例函数解析式为y 点F在双曲线上 把点F的横坐标4代入y 得y 2 F 4 2 反比例函数的解析式是y 点F的坐标是 4 2 2 思维教练 已知E点 B点 F点的坐标 求得BF的长 结合正方形的性质证得 OCE CBF 从而根据等量代换证得OE CF 解 线段OE与CF的位置关系是OE CF 理由 点E的坐标是 2 4 点B的坐标是 4 4 点F的坐标是 4 2 BF 4 2 2 CE 四边形O
7、ABC是正方形 OC BC B BCO 90 在 OCE和 CBF中 CE BF OCE B OCE CBF SAS COE BCF BCO 90 COE CEO 90 BCF CEO 90 CME 180 BCF CEO 180 90 90 即OE CF 练习3如图 将菱形ABCD放置在平面直角坐标系中 已知A 0 3 B 4 0 1 求经过点C的反比例函数解析式 2 设P是 1 中所求函数图象上的一点 以P O A为顶点的三角形的面积与 COD的面积相等 求点P的坐标 练习3题图 解 1 由题意知 OA 3 OB 4 在Rt AOB中 由勾股定理得AB 5 四边形ABCD为菱形 AD BC
8、 AB 5 C 4 5 设经过点C的反比例函数的解析式为y k 0 则k 4 5 20 所求的反比例函数的解析式为y 2 设P x y AD AB 5 OA 3 OD 2 S COD 2 1 4 2 4 在 POA中 AO x 4 x x 当x 时 y 当x 时 y 点P的坐标为 或 1 思维教练 要求 AHO的周长 即AH HO AO AH y轴 根据tan AOH 可得AH的长 根据勾股定理 可得AO的长 再相加即可 解 1 由OH 3 tan AOH 得AH 4 即A 4 3 由勾股定理 得AO 5 AHO的周长为AO AH OH 5 4 3 12 2 思维教练 由 1 求出A点坐标 即
9、可求反比例函数解析式 由反比例函数解析式可得B点坐标 由A B两点坐标即可求一次函数解析式 B 2 确定函数解析式 当已知函数y ax b及y 的图象上的一个交点A的坐标及交点B的横 纵 坐标 确定两个函数的解析式时 可先将点A的坐标代入反比例函数解析式中 从而得到y 再将点B的横 纵 坐标代入y 得到点B的坐标 然后利用A B的坐标 待定系数法 确定直线y ax b的解析式 3 利用函数图象确定不等式ax b 或ax b 的解集时 首先过它们图象上的交点A B分别作y轴的平行线 连同y轴 将平面分为四部分 如图 2 1 对于不等式ax b 的解集 从函数图象上反映为一次函数图象在反比例函数图象上方的部分 即过点A的虚线的右侧及过点B的虚线右侧与y轴的左侧部分 尤其注意y轴的取舍 从而可得其解集为x xA或xB x 0 2 对于不等式ax b 的解集 从函数图象上反映为一次函数图象在反比例函数图象下方的部分 即过B点虚线的左侧及y轴与过A点虚线之间的部分 从而其解集为0 x xA或x xB
