《2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何 1.1.4 投影与直观图课件 新人教B版必修2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017-2018学年高中数学 第一章 立体几何 1.1.4 投影与直观图课件 新人教B版必修2（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 1 4投影与直观图 一 二 三 一 投影的概念 问题思考 1 填写下表 一 二 三 2 如果一个平面图形所在的平面与投射面平行 试问 中心投影后得到的图形与原图形有什么关系 提示 若一个平面图形所在的平面与投射面平行 则中心投影后得到的图形与原图形的关系是相似 一 二 三 3 做一做 下列图形中采用中心投影画法的是 答案 A 一 二 三 二 平行投影的性质 问题思考 1 填空 当图形中的直线或线段不平行于投射线时 平行投影具有如下性质 5 在同一直线或平行直线上 两条线段平行投影的比等于这两条线段的比 一 二 三 2 中心投影与平行投影有何区别和联系 提示 中心投影与平行投影都是空间图形的
2、基本画法 但应注意的是 1 画实际效果图时 一般用中心投影法 如人的视觉 照片 美术作品等都具有中心投影的特点 2 中心投影和平行投影的区别在于平行投影的投射线都互相平行 中心投影的投射线交于同一点 3 平行投影包括斜二测画法和下节将要学习的三视图 经中心投影后的图形与原图形相比虽然改变较多 但直观性强 看起来与人的视觉效果一致 最像原来的物体 4 画立体几何中的图形时 一般用平行投影法 一 二 三 3 做一做 如果图形所在的平面不平行于投射线 那么下列说法正确的是 A 矩形的平行投影一定是矩形B 梯形的平行投影一定是梯形C 正方形的平行投影一定是矩形D 正方形的平行投影一定是菱形解析 结合平
3、行投影的性质去判断 答案 B 一 二 三 三 直观图与斜二测画法 问题思考 1 画一个水平放置的正三角形的直观图 如何建系最合理 提示 如图所示 建系时一是要考虑正三角形的对称性 二是尽量使三个顶点都落在坐标轴上 一 二 三 2 填空 1 概念 当投射线和投射面成适当的角度或改变图形相对于投射面的位置时 一个空间图形在投射面上的平行投影 平面图形 可以形象地表示这个空间图形 像这样用来表示空间图形的平面图形 叫做空间图形的直观图 2 空间图形的直观图画法 斜二测画法 3 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤是 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴 两轴相交于点O 画直观图时 把它们画成
4、对应的x 轴与y 轴 两轴交于点O 且使 x O y 45 或135 它们确定的平面表示水平面 已知图形中平行于x轴或y轴的线段 在直观图中分别画成平行于x 轴或y 轴的线段 一 二 三 已知图形中平行于x轴的线段 在直观图中保持原长度不变 平行于y轴的线段 长度为原来的一半 擦去作为辅助线的坐标轴 就得到了平面图形的直观图 一 二 三 4 用斜二测画法画立体图形的直观图的步骤 在已知图形所在的空间中取水平平面 作互相垂直的轴Ox Oy 再作Oz轴 使 xOz 90 yOz 90 画出与轴Ox Oy Oz对应的轴O x O y O z 使 x O y 45 或135 x O z 90 x O
5、y 所确定的平面表示水平平面 已知图形中 平行于x轴 y轴和z轴的线段 在直观图中分别画成平行于x 轴 y 轴和z 轴的线段 并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同 已知图形中平行于x轴和z轴的线段 在直观图中保持长度不变 平行于y轴的线段 长度为原来的一半 擦去作为辅助线的坐标轴 就得到了空间图形的直观图 一 二 三 3 做一做 画水平放置的正三角形的直观图 解 画法 如图所示 第一步 在已知的正三角形ABC中 取AB所在的直线为x轴 取对称轴CO为y轴 画对应的x 轴 y 轴 使 x O y 45 第二步 在x 轴上取O A OA O B OB 在y
6、轴上取O C OC 第三步 连接A C B C 所得 A B C 就是正三角形ABC的直观图 一 二 三 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 三角形的直观图可能为一条线段 2 菱形的直观图可能为矩形 3 空间几何体的直观图是唯一的 4 如果一个水平放置的三角形ABC的面积为S 用斜二测画法画出的直观图的面积为S 那么S与S 的关系是S S 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 平行投影性质的应用 例1 下列四个说法 矩形的平行投影一定是平行四边形 梯形的平行投影一定是梯形 两条相交直线的平行投影可能平行 如果一个三角形的平行投影仍是三角形 那么它的中位线
7、的平行投影一定是这个三角形的平行投影的三角形的中位线 其中正确说法的个数为 A 0B 1C 2D 3 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 解析 当投射线与投射面垂直 矩形所在平面与投射面平行时 矩形的平行投影是矩形 当投射线与矩形所在平面平行时 投影是一条线段 当投射线与矩形不平行 矩形所在平面与投射面不平行时 其投影一般情况下为平行四边形 错误 当投射线与梯形所在平面平行时 投影是一条线段 当梯形所在平面与投射线不平行时 梯形的平行投影一定是梯形 错误 当投射线与两相交直线所在平面平行时 投影是一条直线 当投射线与两相交直线确定的平面不平行时 投影仍是两条相交直线 错误 一个三角形的平
8、行投影仍是三角形 说明投射线与三角形所在的平面不平行 故可以用平行投影的性质 在平行直线上 两条线段平行投影的比等于这两条线段的比 来判断 是正确的 答案 B 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 反思感悟1 在应用平行投影性质时 要注意投射线 投射面之间的位置关系 尤其不要忽视投射线平行于所给平面图形的情形 2 常见图形的平行投影 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 变式训练1 1 下列说法 正方形的平行投影一定是菱形 三角形的平行投影一定是三角形 平行直线的平行投影仍是平行的直线 当直线或线段不平行于投射线时 它的平行投影仍是直线或线段 其中正确的个数是 A 0B 1C 2D 3
9、 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 2 如图所示 在正方体ABCD A B C D 中 E F分别是A A C C的中点 则下列判断正确的是 填序号 四边形BFD E在底面ABCD内的投影是正方形 四边形BFD E在面A D DA内的投影是菱形 四边形BFD E在面A D DA内的投影与在面ABB A 内的投影是全等的平行四边形 答案 1 B 2 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 画平面图形的直观图 例2 画出水平放置的等腰梯形的直观图 思路分析 根据斜二测画法的规则 首先在原来的等腰梯形中建立平面直角坐标系 要使尽可能多的顶点和线段在坐标轴上 这样作起图来较为方便 然后按横线
10、相等 竖线是原来的一半的原则 作出对应的各个顶点 连线即成 画法 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 1 如图 取AB所在直线为x轴 AB中点O为原点 建立直角坐标系 画对应的坐标系x O y 使 x O y 45 2 以O 为中点在x 轴上取A B AB 在y 轴上取O E OE 以E 为中点画C D x 轴 并使C D CD 3 连接B C D A 并擦去辅助线x 轴和y 轴及O 点 E 点 所得的四边形A B C D 就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图 如图 反思感悟1 画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定顶点的位置 2 建立平面直角坐标系时 结合图形的结构特征 尽量使原
11、平面图形的顶点在坐标轴或与坐标轴平行的线段上 3 原图中不与x轴或y轴平行的线段 可以先作坐标轴的平行线为辅助线画出其端点 再连线 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 画空间图形的直观图 例3 有一个正三棱锥 底面边长为3cm 高为3cm 画出这个正三棱锥的直观图 思路分析 根据斜二测画法 先建立恰当的坐标系画出正三角形的直观图 再确定出正三棱锥的顶点即可 解 1 画出边长为3cm的正三角形水平放置的直观图 如图 所示 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 2 过正三角形的中心O 建立z 轴 画出正三棱锥的顶点V 使V O 3cm 连接V A
12、 V B V C 如图 所示 3 擦去辅助线 被遮住部分用虚线表示 得到正三棱锥的直观图 如图 反思感悟1 画空间几何体的直观图时 一般先按照画平面图形直观图的方法与步骤 画出其底面的直观图 再在z轴上确定该几何体的顶点或另一个底面的直观图所需坐标系的原点 从而作出另一个底面的直观图 最后得到整个几何体的直观图 2 对于台体 柱体等有上底面的几何体 在作上底面的直观图时 可先作出高线 再在上底面所在的平面内建一个两轴分别与下底面中的坐标系的两轴平行的坐标系 最后作出表示相应等量的线段并连接 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 变式训练2画出长为5 宽为4 高为5的长方体的直观图 解 1
13、画出x轴 y轴 z轴三轴相交于点O 使 xOy 45 xOz 90 2 在x轴上取OA 5 在y轴上取OC 2 过点A作AB OC 过点C作CB OA 则四边形OABC为下底面 3 在z轴上取OO 5 过点O 作O x Ox O y Oy 建立坐标系x O y 重复 2 的步骤作出上底面O A B C 4 连接AA BB CC OO 即得到长方体OABC O A B C 的直观图 探究四 思维辨析 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 直观图的还原 例4 1 如图所示为一个水平放置的正方形ABCO 在直角坐标系xOy中 点B的坐标为 1 1 则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中 点B 到
14、x 轴的距离为 2 已知 ABC的平面直观图 A B C 是边长为a的正三角形 那么原 ABC的面积为 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 解析 2 如图所示 过C 作y 轴的平行线C D 与x 轴交于点D 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 反思感悟直观图的还原其实是画直观图的逆过程 只要明确角与边的转化关系 即可解答相关问题 1 角的关系 原图形斜二测直观图形 xOy 90 x O y 45 或135 2 长度关系 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 1 水平放置的 ABC的斜二测直观图如图所示 已知A C 3 B C 2 则AB边上的中线的实际长度为 2 将本例4 1
15、中的条件变为某四边形的直观图是边长为1的正方形ABCO 求原图形中B 到C O 的距离 将本例4 1 中的条件不变 将求B 到x 轴的距离改为求直观图的面积 结果如何 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 1 解析 分析易知 ABC是以 C为直角的直角三角形 且AC 3 BC 2 2 4 所以AB 5 故AB边上的中线长为 2 解 根据斜二测画法的规则及斜二测坐标系在原图形中B O 与C O 垂直 所以B 到C O 的距离即BO的两倍 为2 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 利用斜二测画法画图时 因未改变长度或方向而致误 典例 画出如图 1 所示的四边形OABC的直观图 图中数据已
16、经给出 错解以O为原点 OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy 如图 2 所示 作 C O B 45 其中O B 是水平的 O B 4 O D 3 O C 1 过D 作 B D A 90 使A D 1 顺次连接O A A B B C 所得四边形O A B C 即为四边形OABC的直观图 如图 3 所示 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 以上解答过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何订正 你怎么防范 提示 错误的根源是没有充分理解斜二测画法的原则和要求 本题错解将点A 的位置画错了 结合原来图形可知应有O C A D 探究一 探究二 探究三 探究四 思维辨析 正解 如图 4 所示 作 C O B 45 其中O B 是水平的 O B 4 O D 3 O C 1 过点D 作 B D A 135 使A D 1 顺次连接O A A B B C 所得四边形O A B C 即为四边形OABC的直观图 防范措施用斜二测画法画直观图 一定要理解画法的原则和要求 其中正确建系是关键 把握核心要素或关键点是解决问题的根本 画好直观图后注意与原图进行比对 检查 探究一 探究二 探究三 探究四
