探索一门新兴的学科—多姿多彩的分形几何学

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1、探索一门新兴的学科 多姿多彩的分形几何学 可以相信 明天谁不熟悉分形 谁就不能被认为是科学上的文化人 美国著名物理学家惠勒 Wheeler 问题的提出 你知道人脑表面的皱纹 菜花纹路可以用数学来刻画吗 你知道各大江主支流的状况可以用数学来刻画吗 你知道演绎了旷世恋情的 泰坦尼克号 电影中那条豪华游轮在危难时的 海浪背景 是如何生成的吗 你知道维数可以是分数吗 认识分形如果你从未听说过 分形 一时又很难搞清楚分形是什么 有一个简单迅捷的方法 去市场买一颗新鲜的菜花 花椰菜 掰下一枝 切开 仔细观察 思考其组织结构 这就是分形 分形可以是自然存在的 也可以是人造的 花椰菜 树木山川 云朵 脑电图

2、材料断口等都是典型的分形 再想想闪电 冲积扇 泥裂 冻豆腐 水系 晶簇 蜂窝石 小麦须根系 树冠 支气管 星系 各种生物体的表面 小肠绒毛 大脑皮层等等的形状 结构 分形 fractal 分形几何理论诞生于20世纪70年代 创始人是美国科学院院士 著名数学家曼德尔布罗特 B B Mandelbrot 他1982年出版的 自然界中的分形几何学 TheFractalGeometryofNature 是这一学科经典之作 分形 fractal 是近20多年来科学前沿领域提出的一个非常重要的概念 混沌 chaos 孤立子 solitons 和分形 fractals 是非线性科学 nonlinearsci

3、ence 中三个最重要的概念 报告提纲一 从研究 英国的海岸线有多长 所引发的问题二 分形几何学发展的历史回顾1 对几类分形集的认识2 对长度 面积等度量概念的重新探索3 分形几何学的创立三 分形概念的建立1 对产生分形实际背景的分析2 分形的直观描述四 分形维数1 经典的拓扑维数2 由维数与测量尺度的密切关系而得到的启示 3 自相似维数与豪斯道夫维数4 计算分形维数的典型例子5 分形的描述性定义五 分形在当代社会中的应用1 在一些学科方面的应用举例2 一些分形维数的实际例子3 两个有趣的应用实例4 分形的计算机编程实现六 结束语1 分形几何学与欧几里得几何学的比较2 陈省身的观点3 分形几何

4、学发展的意义和作用4 多姿多彩的分形几何学火焰 一 从研究 英国的海岸线有多长 所引发的问题 1967年曼德尔布罗特在 科学 上发表了题为 英国的海岸线有多长 统计自相似性与分数维数 的著名论文 此文的原由在于曼德尔布罗特发现许多国家公布的公共边界线存在极大的误差 往往是大国公布的公共边界线短 而小国公布的公共边界线长 原因在于边界线是一条复杂的曲线 所用的测量尺度越小 测量的长度就越长 二 分形几何学发展的历史回顾 分形理论是非线性科学研究中十分活跃的一个分支 它的研究对象是自然界和非线性系统中出现的不光滑和不规则的几何形体 分形理论的数学基础是分形几何学 分形理论的发展大致可分为三个阶段

5、下面简要回顾一下分形理论在这三个历史阶段的发展过程 第一阶段 对几类分形集的认识 自1875年至1925年 人们已认识到几类典型的分形集 并且力图对这类集合与经典几何的差别进行描述 分类和刻划 自然界中的所有形状和人类迄今所考虑的一切图形 大致可分为如下两种 一种是有特征长度的图形 另一种是不具特征长度的图形 属于具有一定特征长度的一类物体的基本形状 具有其线 面为光滑的共同性质 1827年发现的布朗 R Brown 运动是一种极为典型的随机分形集 其轨迹连续但处处不可微 维尔斯特拉斯函数 1872年 德国分析学大师魏尔斯特拉斯 K Weierstrass 构造出函数证明了它连续而处处不可微

6、这一反例在当时引起了极大的震动 遗憾的是 尽管人们在观念上产生了改变 但仍视这种类型的函数为 病态 之例而打入另册 实例一康托三分集 记是单位长直线段 0 1 设是去掉中间的1 3部分所得到的集 即 然后从构成的2个子区间中分别去掉中间的1 3部分 所得的4个子区间构成 即 如此继续下去 是从构成的每个区间中分别去掉中间的1 3部分而得到的长度为的个子区间之并集 当充分大时 与之间只在精细的细节上不同 康托三分集是指由所有的公共点构成的集 即 C实际上是集序列当n趋于无穷时的极限 图1康托三分集前四步的构造 实例二科赫曲线 设K0是单位长直线段 K1是由过原三等分这线段 去掉中间一份而代之以底

7、边为被去掉的线段的等边三角形向上指的另外两条边所得到图形 它包含边长为1 3的四条线段 对K1的每条线段都重复上述过程来构造K2 它包含边长为的16条线段 如此继续下去 于是得到一个曲线序列 Kn 其中Kn是将Kn 1的每条线段上中间1 3部分用底边为这1 3部分的等边三角形向上指的另外两边取代而得到的 当n充分大时 曲线Kn和Kn 1只在精细的细节上不同 而当n 时 曲线序列 Kn 的极限就称为科赫曲线 图2三分法科赫曲线前五步的构造 实例三科赫雪片 若将K0换成单位长度的等边三角形 对每边按上述方法构造科赫曲线 便得到讨人喜欢的科赫雪片 如图3所示 图3科赫雪片前三步的构造 实例四皮亚诺曲

8、线 皮亚诺 peano 于1890年构造出填充平面的曲线 这一曲线出现后 人们提出应正确考虑以往的长度与面积的概念 皮亚诺曲线以及其他的例子导致了后来拓扑维数的引入 第二阶段 对长度 面积等度量单位概念的重新探索 在1926年到1975年这半个世纪里 人们对分形集的性质进行了深入的研究 特别是维数理论的研究已获得了丰富的成果 贝西康维奇 Besicovitch 及其他学者的研究工作贯穿了第二阶段 他们研究了曲线的维数 分形集的局部性质 分形集的结构 S 集的分析与几何性质 以及在数论 调和分析 几何测度论中的应用 问题的关键 一个几何对象的量度依赖于测量方式以及在测量时所选取的尺度 经济学上的

9、一个实际背景 1960年 曼德尔布罗特在对棉花价格数据随60年时间变化的曲线进行分析时 通过在数学上对这批数据进行计算机处理 发现了惊人的结果 价格的每一次特定的变化是随机的 但长期的变化又是与时间尺度无关的 反映在价格的日变曲线与月变化曲线完全一致 甚至在经历两次世界大战和一次经济大萧条的60年动荡岁月中 价格这种变化的规律保持不变 大量无序的数据里竟然存在着一种出乎意料的有序 第三阶段 分形几何学的创立 自1975年至今是分形几何学创立并形成独立学科 分形几何在各个领域的应用取得全面进展的阶段 1967年 曼德尔布罗特在国际权威杂志美国 科学 上发表了题为 英国的海岸线有多长 的研究论文

10、震动了整个学术界 分形的概念开始萌芽生长 1973年 在法兰西学院讲学期间 他提出了创立分形几何学的思想 认为分形几何学可以处理自然界中那些极不规则的构型 指出分形几何学将成为研究许多物理现象 自然现象的有力工具 分形 fractal 一词的由来 1975年冬天的一个下午 曼德尔布罗特翻看儿子的拉丁文词典 突然受到启发 破坏 不规则的 断裂 分数 既是名词 又是形容词 既是英文 又是法文 分形 一词的命名 70年代末fractal传到中国 一时难以定译 中科院物理所李荫远院士说 fractal 应当译成 分形 郝柏林 张恭庆 朱照宣等院士表示赞同 于是在中国大陆 fractal被定译 分形 如

11、今台湾还译 碎形 显然不如 分形 好 分形的特点是 整体与部分之间存在某种自相似性 整体具有多种层次结构 分形 之译 的确抓住了fractal的本质 科学本质 哲学本质和艺术本质 分形 一词的命名 中国传统文化中关于 分 与 形 有丰富的论述 想必李荫远院士极为熟悉 李院士是物理学名词审定委员会三名顾问之一 宋明理学关于 理 理念 或者 太极 与 万物 整体与部分 一般与具体的关系的思想吸收了佛家观念 特别是华严宗和禅宗的观念 李荫远的译名实在是于平凡处见功力 如李善兰 1811 1882 译 微分 differentiation 积分 integration 王竹溪 1911 1983 译

12、湍流 turbulence 逾渗 perculation 和 运输 transportation 曼德尔布罗特的历史贡献 1975年曼德尔布罗特用法文出版了奠基性专著 分形对象 形状 机遇与维数 Lesobjetsfractals forme hasardetdimension 1977年出版了此书的英译本 Fractals Form ChanceandDimension 第一次系统地阐述了分形集合的思想 内容意义和方法 1982年又出版了此书的增补本 改名为 自然界中的分形几何学 这两部著作的发表 标志着分形几何学迈进了现代新兴学科之林 激发起了国际科学界的极大兴趣 曼德尔布罗特经过长期艰苦

13、努力所获得的巨大成就 致使他赢得了崇高的荣誉 一个有趣的故事 20世纪70年代末曼德尔布罗特所著 分形 形状 机遇和维数 的英文版 Fractals Form ChanceandDimension 在北京中关村一带的地摊上便可见到数十部 当时北京大学力学系黄永念教授和朱照宣教授每人买了一部 据说只花了几元钱 那时 国际 国内科学界基本上不知道分形是怎么回事 十多年后 当分形理论被科学界认同而热起来时 在世界上再去寻找这部原版名著 已经是几乎不可能的事了 三 分形概念的建立 康托集C是自相似的 迭代过程中每步所保留的两个部分与整体的相似比例均为1 3 C具有精细结构 即在任意小的比例尺度内都包含

14、整体特征 C是无穷次迭代的结果 连续的迭代过程可得到C之越来越好的近似Cn C难以用经典的数学语言来描述 它既不是满足某些简单几何条件的点的轨迹 也不是任何简单方程的解集 C是无限不可数集 但其长度为 康托集C的特性 1 对产生分形实际背景的分析 科赫曲线K的特性 科赫曲线K是自相似的 迭代过程中每次所得到的四个部分与整体的相似比例均为1 3 K具有精细结构 即在任意小的比例尺度内都包含整体特征 K是无穷次迭代的结果 连续迭代过程可得到K之越来越好的近似Kn K难以用经典的数学语言来描述 它既不是满足某些简单几何条件的点的轨迹 也不是任何简单方程的解集 K的长度为 而面积为0 科赫雪片E的面积

15、 波兰著名数学家谢尔平斯基 W Sierpin ski 在1915 1916年期间构造了几个典型的分形例子 这些有趣的图形常分别称为谢尔平斯基垫片 谢尔平斯基毯片与谢尔平斯基海绵 谢尔平斯基垫片 毯片与海绵 图4谢尔平斯基垫片前五步的构造 的放大 图5谢尔平斯基毯片前四步的构造 图6谢尔平斯基海绵第一步的构造 图7谢尔平斯基海绵 2 分形的直观描述 曼德尔布罗特经过几十年的探索 在对大量不具有特征长度几何图形进行分析 综合的基础上 提炼出 在尺度变换下保持不变性 即 无标度性 这一要素 于1986年给出分形概念以如下的直观描述 分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形 Afractalisas

16、hapemadeofpartssimilartothewholeinsomeway 自相似性在数学计算上的应用举例 例1由 解得 即 类似地 由 解得 即 例2记 熟知这是一个收敛的几何级数 注意到 解得 即 分析 x包含它自身的一个分数部分 即 例3由连分数 得 解之 得 取正解 因此得所给的连分数 四 分形维数 维数是几何对象的一个重要特征 欧几里得 曲面有两个量度 曲线有一个量度 点连一个量度也没有 这里的量度即为后来人们所说的欧几里得维数 随着数学本身的发展 人们将维数定义为确定几何对象中一个点的位置需要的独立坐标的个数 点是0维的 直线是1维的 正方形是2维的 立方体是3维的 1 经典的拓扑维数 对于更抽象或更复杂的几何形体 只要它的每个局部可以和欧几里得空间相对应 并且图形在连续形变下保持维数不变 这样的维数叫做拓扑维数 如此 由于空间中一条规则的曲线经连续形变可变为直线 故其拓扑维数是1 由于空间中一个规则的曲面经连续形变可变为正方形 故它的拓扑维数是2 由于空间中一个规则的立体经连续形变可变为正方体 所以其维数是3 集合的拓扑维数始终是一个整数 当我们测量几何图形的长度