《（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线课件 文 苏教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线课件 文 苏教版（61页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 9 7抛物线 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 抛物线的概念平面内到一个定点F和一条定直线l F不在l上 的距离的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的 定直线l叫做抛物线的 2 抛物线的标准方程与几何性质 知识梳理 相等 焦点 准线 1 抛物线y2 2px p 0 上一点P x0 y0 到焦点的距离PF x0 也称为抛物线的焦半径 2 y2 ax的焦点坐标为 准线方程为x 3 设AB是过抛物线y2 2px p 0 焦点F的弦 若A x1 y1 B x2 y2 则 1 x1x2 y1y2 p2 2 弦长AB x1 x2 p 为弦AB的倾斜角 3 以
2、弦AB为直径的圆与准线相切 4 通径 过焦点垂直于对称轴的弦 长等于2p 通径是过焦点最短的弦 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线 2 方程y ax2 a 0 表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线 且其焦点坐标是 0 准线方程是x 3 抛物线既是中心对称图形 又是轴对称图形 4 AB为抛物线y2 2px p 0 的过焦点F 0 的弦 若A x1 y1 B x2 y2 则x1x2 y1y2 p2 弦长AB x1 x2 p 考点自测 1 2016 四川改编 抛物线y2 4x的焦点坐标是 答案 解析 1 0 对于抛物线y2 ax
3、其焦点坐标为 对于y2 4x 焦点坐标为 1 0 2 2017 苏州模拟 已知抛物线C y2 x的焦点为F A x0 y0 是C上一点 AF 则x0 答案 解析 1 由抛物线的定义 可得AF x0 3 2016 苏州模拟 设坐标原点为O 抛物线y2 2x与过焦点的直线交于A B两点 则 答案 解析 设A x1 y1 B x2 y2 由题意知过焦点的直线斜率不为0 设其直线方程为x ky 则由得y2 2ky 1 0 几何画板展示 4 教材改编 已知抛物线的顶点是原点 对称轴为坐标轴 并且经过点P 2 4 则该抛物线的标准方程为 答案 解析 y2 8x或x2 y 设抛物线方程为y2 2px p 0
4、 或x2 2py p 0 将P 2 4 代入 分别得方程为y2 8x或x2 y 5 2017 南京月考 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆x2 y2 6x 7 0相切 则p的值为 答案 解析 2 抛物线y2 2px p 0 的准线为x 圆x2 y2 6x 7 0 即 x 3 2 y2 16 则圆心为 3 0 半径为4 又因为抛物线y2 2px p 0 的准线与圆x2 y2 6x 7 0相切 所以3 4 解得p 2 题型分类深度剖析 题型一抛物线的定义及应用例1设P是抛物线y2 4x上的一个动点 若B 3 2 则PB PF的最小值为 答案 解析 4 如图 过点B作BQ垂直准线于点Q 交抛
5、物线于点P1 则P1Q P1F 则有PB PF P1B P1Q BQ 4 即PB PF的最小值为4 几何画板展示 引申探究1 若将本例中的B点坐标改为 3 4 试求PB PF的最小值 解答 由题意可知点 3 4 在抛物线的外部 因为PB PF的最小值即为B F两点间的距离 即PB PF的最小值为 几何画板展示 2 若将本例中的条件改为 已知抛物线方程为y2 4x 直线l的方程为x y 5 0 在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1 到直线l的距离为d2 求d1 d2的最小值 解答 由题意知 抛物线的焦点为F 1 0 点P到y轴的距离d1 PF 1 所以d1 d2 d2 PF 1 易知d2 PF
6、的最小值为点F到直线l的距离 故d2 PF的最小值为 所以d1 d2的最小值为 1 几何画板展示 与抛物线有关的最值问题 一般情况下都与抛物线的定义有关 由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性 因此此类问题也有一定的难度 看到准线想焦点 看到焦点想准线 这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径 思维升华 跟踪训练1设P是抛物线y2 4x上的一个动点 则点P到点A 1 1 的距离与点P到直线x 1的距离之和的最小值为 答案 解析 如图 易知抛物线的焦点为F 1 0 准线是x 1 由抛物线的定义知 点P到直线x 1的距离等于点P到F的距离 于是 问题转化为在抛物线上求一点P 使点P到点A 1 1 的
7、距离与点P到F 1 0 的距离之和最小 显然 连结AF与抛物线相交的点即为满足题意的点 此时最小值为 几何画板展示 题型二抛物线的标准方程和几何性质命题点1求抛物线的标准方程例2已知双曲线C1 1 a 0 b 0 的离心率为2 若抛物线C2 x2 2py p 0 的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2 则抛物线C2的方程为 答案 解析 x2 16y 1的离心率为2 x2 2py p 0 的焦点坐标为 1的渐近线方程为y 即y 由题意得 2 p 8 故C2的方程为x2 16y 命题点2抛物线的几何性质例3已知抛物线y2 2px p 0 的焦点为F A x1 y1 B x2 y2 是过F的直线与抛物
8、线的两个交点 求证 1 y1y2 p2 x1x2 证明 由已知得抛物线焦点坐标为 0 由题意可设直线方程为x my 代入y2 2px 得y2 即y2 2pmy p2 0 则y1 y2是方程 的两个实数根 所以y1y2 p2 2 为定值 证明 因为x1x2 x1 x2 AB p 代入上式 3 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 证明 设AB的中点为M x0 y0 分别过A B作准线的垂线 垂足为C D 过M作准线的垂线 垂足为N 所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切 1 求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法 其关键是判断焦点位置 开口方向 在方程的类型已经确定的前提下 由于标准方程只有一个参
9、数p 只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 2 在解决与抛物线的性质有关的问题时 要注意利用几何图形的形象 直观的特点来解题 特别是涉及焦点 顶点 准线的问题更是如此 思维升华 跟踪训练2 1 2016 全国乙卷改编 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A B两点 交C的准线于D E两点 已知AB DE 则C的焦点到准线的距离为 答案 解析 4 不妨设抛物线C y2 2px p 0 则圆的方程可设为x2 y2 r2 r 0 如图 点A x0 在抛物线y2 2px上 8 2px0 点A x0 在圆x2 y2 r2上 8 r2 点在圆x2 y2 r2上 5 r2 联立 解得p 4 即C的焦点到准线的
10、距离为4 2 若抛物线y2 4x上一点P到其焦点F的距离为3 延长PF交抛物线于Q 若O为坐标原点 则S OPQ 答案 解析 如图所示 由题意知 抛物线的焦点F的坐标为 1 0 又PF 3 由抛物线定义知 点P到准线x 1的距离为3 点P的横坐标为2 将x 2代入y2 4x 得y2 8 由图知点P的纵坐标y P 2 直线PF的方程为y x 1 方法一联立直线与抛物线的方程 方法二将y x 1 代入y2 4x 得2x2 5x 2 0 x1 x2 PQ x1 x2 p O到PQ的距离d 题型三直线与抛物线的综合问题命题点1直线与抛物线的交点问题例4已知抛物线C y2 8x与点M 2 2 过C的焦点
11、且斜率为k的直线与C交于A B两点 若 0 则k 答案 解析 2 抛物线C的焦点为F 2 0 则直线方程为y k x 2 与抛物线方程联立 消去y化简得k2x2 4k2 8 x 4k2 0 设点A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 4 x1x2 4 所以y1 y2 k x1 x2 4k y1y2 k2 x1x2 2 x1 x2 4 16 因为 x1 2 y1 2 x2 2 y2 2 x1 2 x2 2 y1 2 y2 2 x1x2 2 x1 x2 y1y2 2 y1 y2 8 0 将上面各个量代入 化简得k2 4k 4 0 所以k 2 命题点2与抛物线弦的中点有关的问题例5 2016
12、全国丙卷 已知抛物线C y2 2x的焦点为F 平行于x轴的两条直线l1 l2分别交C于A B两点 交C的准线于P Q两点 1 若F在线段AB上 R是PQ的中点 证明 AR FQ 证明 由题意知 设l1 y a l2 y b 则ab 0 记过A B两点的直线为l 则l的方程为2x a b y ab 0 由于F在线段AB上 故1 ab 0 记AR的斜率为k1 FQ的斜率为k2 则 所以AR FQ 几何画板展示 2 若 PQF的面积是 ABF的面积的两倍 求AB中点的轨迹方程 解答 设过AB的直线为l 设l与x轴的交点为D x1 0 由题意可得 所以x1 1 x1 0 舍去 设满足条件的AB的中点为
13、E x y 当AB与x轴不垂直时 由kAB kDE可得 x 1 而 y 所以y2 x 1 x 1 当AB与x轴垂直时 E与D重合 此时E点坐标为 1 0 所以所求轨迹方程为y2 x 1 x 1 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 双曲线的位置关系类似 一般要用到根与系数的关系 2 有关直线与抛物线的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 可直接使用公式AB x1 x2 p 若不过焦点 则必须用一般弦长公式 3 涉及抛物线的弦长 中点 距离等相关问题时 一般利用根与系数的关系采用 设而不求 整体代入 等解法 提醒 涉及弦的中点 斜率时一般用 点差法 求解 思维升华 跟踪训练
14、3 2016 南京 盐城 徐州二模 在平面直角坐标系xOy中 已知抛物线C x2 4y的焦点为F 定点A 0 若射线FA与抛物线C相交于点M 与抛物线C的准线相交于点N 则FM MN 答案 解析 1 3 由题意得F 0 1 直线AF的方程为 1 将它与抛物线方程联立解得 M 准线方程为y 1 又交点在第一象限 故易求得N 1 由三角形相似性质得 典例 16分 已知抛物线C y mx2 m 0 焦点为F 直线2x y 2 0交抛物线C于A B两点 P是线段AB的中点 过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q 1 求抛物线C的焦点坐标 2 若抛物线C上有一点R xR 2 到焦点F的距离为3 求此时m的值
15、3 是否存在实数m 使 ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形 若存在 求出m的值 若不存在 请说明理由 直线与圆锥曲线问题的求解策略 答题模板系列7 思维点拨 答题模板 3 中证明 0 规范解答 解 1 抛物线C x2 它的焦点F 0 2分 2 RF yR 2 3 得m 4分 3 存在实数m 使 ABQ定以Q为直角顶点的直角三角形 联立方程消去y 得mx2 2x 2 0 依题意 有 2 2 4 m 2 0 m 7分 若存在实数m 使 ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形 即2m2 3m 2 0 m 2或m 存在实数m 2 使 ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形 16分 返回 解决直线与圆锥曲线的位
16、置关系的一般步骤第一步 联立方程 得关于x或y的一元二次方程 第二步 写出根与系数的关系 并求出 0时参数范围 或指出直线过曲线内一点 第三步 根据题目要求列出关于x1x2 x1 x2 或y1y2 y1 y2 的关系式 求得结果 第四步 反思回顾 查看有无忽略特殊情况 返回 课时作业 1 2017 盐城模拟 若抛物线y ax2的焦点坐标是 0 1 则a 因为抛物线的标准方程为x2 所以其焦点坐标为 0 则有 1 a 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 已知抛物线y2 2px p 0 过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A B两点 若线段AB的中点的纵坐标为2 则该抛物线的准线方程为 答案 解析 x 1 y2 2px p 0 的焦点坐标为 0 过焦点且斜率为1的直线方程为y x 即x y 将其代入y2 2px 得y2 2py p2 即y2 2py p2 0 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 2p p 2 抛物线的方程为y2 4x 其准线方程为x 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 淮安模拟 已知
